《古典概型》 省賽獲獎

古典概型基礎知識·自主學習題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分典例：(14分)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；審題路線圖系列6六審細節(jié)更完善審題路線圖規(guī)范解答基本事件為取兩個球↓(兩球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取兩個球的所有結(jié)果列舉出來↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}↓兩球編號之和不大于4(注意：和不大于4，應為小于4或等于4)審題路線圖規(guī)范解答↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式P＝

＝規(guī)范解答審題路線圖解從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6個.從袋中取出的球的編號之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}兩個.因此所求事件的概率P＝

＝.6分

2分

規(guī)范解答審題路線圖典例：(14分)一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n<m＋2的概率.溫馨提醒規(guī)范解答審題路線圖審題路線圖溫馨提醒兩球分兩次取，且有放回↓(兩球的編號記錄是有次序的，用坐標的形式表示)基本事件的總數(shù)可用列舉法表示↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)規(guī)范解答↓(注意細節(jié)，m是第一個球的編號，n是第2個球的編號)n<m＋2的情況較多，計算復雜(將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題)↓計算n≥m＋2的概率↓n≥m＋2的所有情況為(1,3)，(1,4)，(2,4)↓P1＝審題路線圖溫馨提醒規(guī)范解答(注意細節(jié)，P1＝

是n≥m＋2的概率，需轉(zhuǎn)化為其對立事件的概率)n<m＋2的概率為1－P1＝.審題路線圖溫馨提醒規(guī)范解答解先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個.8分

審題路線圖溫馨提醒規(guī)范解答又滿足條件n≥m＋2的事件為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，12分

所以滿足條件n≥m＋2的事件的概率為P1＝.故滿足條件n<m＋2的事件的概率為1－P1＝1－

＝.14分

審題路線圖溫馨提醒規(guī)范解答(1)本題在審題時，要特別注意細節(jié)，使解題過程更加完善.如第(1)問，注意兩球一起取，實質(zhì)上是不分先后，再如兩球編號之和不大于4等；第(2)問，有次序.(2)在列舉基本事件空間時，可以利用列舉、畫樹狀圖等方法，以防遺漏.同時要注意細節(jié)，如用列舉法，第(1)問應寫成{1,2}的形式，表示無序，第(2)問應寫成(1,2)的形審題路線圖溫馨提醒規(guī)范解答式，表示有序.(3)本題解答時，存在格式不規(guī)范，思維不流暢的嚴重問題.如在解答時，缺少必要的文字說明，沒有按要求列出基本事件.在第(2)問中，由于不能將事件n<m＋2的概率轉(zhuǎn)化成n≥m＋2的概率，導致數(shù)據(jù)復雜、易錯.所以按要求規(guī)范解答是做好此類題目的基本要求.返回審題路線圖溫馨提醒規(guī)范解答方法與技巧1.古典概型計算三步曲第一，本試驗是不是等可能的；第二，本試驗的基本事件有多少個；第三，所求事件是什么，它包含的基本事件有多少個.2.確定基本事件的方法(1)當基本事件總數(shù)較少時，可列舉計算；(2)列表法、樹狀圖法.3.較復雜事件的概率可靈活運用互斥事件、對立事件、相互獨立事件的概率公式簡化運算.失誤與防范1.古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個數(shù)時，它們是不是等可能的.失誤與防范2.概率的一般加法公式：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A＋B的概率，當AB＝?時，A、B互斥，此時P(AB)＝0，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；(2)要計算P(A＋B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件AB，并求其概率；(3)該公式可以看作一個方程，知三可求一.返回1.(2013·課標全國Ⅰ改編)從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是______.23456789101解析基本事件的總數(shù)為6，構(gòu)成“取出的2個數(shù)之差的絕對值為2”這個事件的基本事件的個數(shù)為2，所以所求概率P＝

＝.2.甲乙兩人一起去游泰山，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是________.34567891012解析最后一個景點甲有6種選法，乙有6種選法，共有36種，他們選擇相同的景點有6種，所以P＝

＝.3.(2013·安徽改編)若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為________.24567891013解析由題意知，從五位大學畢業(yè)生中錄用三人，所有不同的可能結(jié)果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，24567891013丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10種，其中“甲與乙均未被錄用”的所有不同的可能結(jié)果只有(丙，丁，戊)這1種，故其對立事件“甲或乙被錄用”的可能結(jié)果有9種，所求概率P＝.4.(2014·江西改編)擲兩顆均勻的骰子，則點數(shù)之和為5的概率為________.23567891014解析擲兩顆骰子，點數(shù)有以下情況：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，23567891014(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36種，其中點數(shù)之和為5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4種，故所求概率為

＝.5.連擲兩次骰子分別得到點數(shù)m、n，則向量(m，n)與向量(－1,1)的夾角θ>90°的概率是________.23467891015解析

∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.基本事件總共有6×6＝36(個)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(個).6.若A、B為互斥事件，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，則P(B)＝________.23457891016解析因為A、B為互斥事件，所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，故P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.0.37.(2014·江蘇)從1,2,3,6這4個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù)，則所取2個數(shù)的乘積為6的概率是________.23456891017解析取兩個數(shù)的所有情況有：{1,2}，{1,3}，{1,6}，{2,3}，{2,6}，{3,6}，共6種情況.乘積為6的情況有：{1,6}，{2,3}，共2種情況.所求事件的概率為

＝.8.用兩種不同的顏色給圖中三個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，則相鄰兩個矩形涂不同顏色的概率是________.23456791018

解析由于只有兩種顏色，不妨將其設為1和2，若只用一種顏色有111；222.若用兩種顏色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8種.又相鄰顏色各不相同的有2種，故所求概率為.234567910189.設連續(xù)擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3).(1)求使得事件“a⊥b”發(fā)生的概率；23456781019解由題意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36種.a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2種：(3,1)，(6,2)，所以事件a⊥b的概率為

＝.(2)求使得事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率.23456781019解

|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6種，其概率為

＝.10.(2013·天津)某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標分別為x，y，z，用綜合指標S＝x＋y＋z評價該產(chǎn)品的等級.若S≤4，則該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標列表如下：23456789110產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5質(zhì)量指標(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)產(chǎn)品編號A6A7A8A9A10質(zhì)量指標(x，y，z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)23456789110(1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率；解計算10件產(chǎn)品的綜合指標S，如下表：產(chǎn)品編號A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為＝0.6，從而可估計該批產(chǎn)品的一等品率為0.6.23456789110(2)在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品.①用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果；②設事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標S都等于4”，求事件B發(fā)生的概率.解

①在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種.23456789110②在該樣本的一等品中，綜合指標S等于4的產(chǎn)品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種.所以P(B)＝

＝.23451234511.從正六邊形的6個頂點中隨機選擇4個頂點，則以它們作為頂點的四邊形是矩形的概率＝________.解析如圖所示，從正六邊形ABCDEF的6個頂點中隨機選4個頂點，可以看作隨機選2個頂點，剩下的4個頂點構(gòu)成四邊形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F，E、F，共15種.若要構(gòu)成矩形，只要選相對頂點即可，有A、D，B、E，C、F，共3種，故其概率為

＝.答案

234512.(2014·湖北改編)隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為p1，點數(shù)之和大于5的概率記為p2，點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3，則p1，p2，p3的大小關(guān)系為________.23451解析隨機擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所有可能的結(jié)果共有36種.答案

p1<p3<p2234513.2014年3月8日發(fā)生的馬來西亞航空公司MH370失聯(lián)事件，引起了全世界人們長達數(shù)周的密切關(guān)注.為了消除人們對航空安全的擔憂，某航空公司決定對該公司所屬的波音777－200，波音777－300，空客A350，空客A380四架客機進行集中安全大檢查.若檢測人員分兩周對客機進行全方位的檢測，每周檢測兩架客機，則波音777－200，波音777－300兩架客機在同一周被檢測的概率為________.23451解析設波音777－200，波音777－300，空客A350，空客A380四架客機分別記為A，B，C，D，檢測人員分兩周對客機進行全方位的檢測，每周檢測兩架客機基本事件是：(A，B；C，D)，(A，C；B，D)，(A，D；B，C)，(B，C；A，D)，(B，D；A，C)，(C，D；A，B)，共6種，其中波音777－200，波音777－300兩架客機在同一周被檢測即(A，B；C，D)，(C，D；A，B)，共2種，所以波音777－200，波音777－300兩架客機在同一周被檢測的概率為P＝

＝.答案

234514.(2014·課標全國Ⅰ)將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概率為________.解析所有的基本事件共有A＝6個，2本數(shù)學相鄰的排法有AA＝4種.故2本數(shù)學書相鄰的概率為＝.234515.一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：

轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標準型30045060023451按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛.(1)求z的值；解設該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得

＝

，所以n＝2000，則z＝2000－100－300－150－450－600＝400.23451(2)按型號用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；解設所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意得

＝

，則a＝2.234