期華東師大版八年級第13章 全等三角形單元測試（含答案）

/本章檢測(滿分：120分限時：90分鐘)一、選擇題(每小題3分，共30分)1．觀察下列幾個命題：①相等的角是對頂角；②同位角都相等；③三個角相等的三角形是等邊三角形；④兩直線平行，內(nèi)錯角相等；⑤若a2＝b2，則a＝b.其中真命題的個數(shù)有(C)A．0個B．1個C．2個D．3個解析：③④是真命題．故選C.2．有下列說法：①如果兩個三角形可以依據(jù)“A.A.S.”來判定全等，那么一定也可以依據(jù)“A.S.A.”來判定它們?nèi)?；②如果兩個三角形都和第三個三角形全等，那么這兩個三角形也一定全等；③要判定兩個三角形全等，給出的條件中至少要有一組邊對應(yīng)相等．其中，正確的是(D)A．①② B．②③C．①③ D．①②③解析：若三角形中已知兩組角對應(yīng)相等，則第三組角一定相等，故①正確；若兩個三角形都與第三個三角形全等，則這三個三角形能完全重合，故②正確；全等三角形的判定條件“S.S.S.、S.A.S.、A.S.A.、A.A.S.、H.L.”中至少有一組邊對應(yīng)相等，故③正確．故選D.3．如圖，樂樂在∠ABC的平分線上任取一點(diǎn)P，并作PE⊥AB于點(diǎn)E，經(jīng)測量知PE＝2cm，由此可以推斷點(diǎn)P到BC的距離為(C)A．4cm B．3cmC．2cm D．1cm解析：由角平分線的性質(zhì)得點(diǎn)P到BC的距離為2cm.故選C.4．如圖所示，AB、CD相交于點(diǎn)O，△AOC≌△BOD，點(diǎn)E、F分別在OA、OB上，要使△EOC≌△FOD，添加的一個條件不可能是(C)A．∠OCE＝∠ODFB．∠CEA＝∠DFBC．CE＝DFD．OE＝OF解析：∠OCE＝∠ODF時，可由A.S.A.判定△EOC≌△FOD，故A可以；∠CEA＝∠DFB時，可由A.A.S.判定△EOC≌△FOD，故B可以；CE＝DF時，由S.S.A.不能判定這兩個三角形全等，故C不可以；OE＝OF時，可由S.A.S.判定△EOC≌△FOD，故D可以．故選C.5．若等腰三角形的一個內(nèi)角是68°，則頂角是(C)A．68° B．44°C．68°或44° D．68°或112°解析：當(dāng)68°是頂角時，頂角為68°；當(dāng)68°是底角時，頂角為180°－68°－68°＝44°，故選C.6．到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是三角形(A)A．三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三邊垂直平分線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)解析：根據(jù)角平分線性質(zhì)定理的逆定理可以判斷到三角形三條邊的距離都相等的點(diǎn)是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，故選A.7．如圖所示，在△ABC中，AB＝BD＝AC，AD＝CD，則∠ADB的度數(shù)是(A)A．72° B．60°C．45° D．36°解析：設(shè)∠C＝x°，由AB＝AC知∠B＝∠C＝x°.∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝x°.∴∠ADB＝2x°.由AB＝BD知∠BAD＝∠ADB＝2x°.∴∠BAC＝3x°.在△ABC中，∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴x＋3x＋x＝180，解得x＝36，∴∠ADB＝72°.故選A.8．如圖所示，AD是△ABC的中線，點(diǎn)E、F分別在AD和AD的延長線上，且DE＝DF，連結(jié)BF、CE.有下列說法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD的面積相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中，正確的有(D)A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：在△BDF和△CDE中，∵BD＝CD，∠BDF＝∠CDE，DF＝DE，∴△BDF≌△CDE(S.A.S.)，故④正確；由④知，CE＝BF，①正確；由④知，∠BFD＝∠CED，∴BF∥CE，③正確；∵△ABD與△ACD等底同高．∴△ABD與△ACD的面積相等，故②正確．故選D.9．如圖所示，點(diǎn)A、B分別是∠NOP、∠MOP平分線上的點(diǎn)，AB⊥OP于點(diǎn)E，BC⊥MN于點(diǎn)C，AD⊥MN于點(diǎn)D，下列結(jié)論錯誤的是(B)A．AD＋BC＝ABB．與∠CBO互余的角有兩個C．∠AOB＝90°D．點(diǎn)O是CD的中點(diǎn)解析：因?yàn)辄c(diǎn)A是∠NOP平分線上的點(diǎn)，AE⊥OP，AD⊥ON，所以AE＝AD，同理可得BE＝BC，所以AB＝AD＋BC，故A正確；因?yàn)镺A平分∠PON，OB平分∠MOP，∠MON是平角，所以∠AOB＝90°，故C正確；由已知可得，∠CBO＝∠EBO，∠OAE＝∠OAD，∠BOC＝∠BOE，而∠BOE＋∠AOE＝90°，∠AOE＋∠OAE＝90°，所以∠BOE＝∠OAE，所以與∠CBO互余的角有四個，分別是∠BOC、∠BOE、∠OAE、∠OAD，故B不正確；因?yàn)椤鱋BC≌△OBE，△OAD≌△OAE，所以O(shè)C＝OE，OE＝OD，所以O(shè)C＝OE＝OD，所以點(diǎn)O是CD的中點(diǎn)，故D正確．故選B.10．如圖所示，已知△ABC與△CDE均是等邊三角形，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，AE與BD交于點(diǎn)O，AE與CD交于點(diǎn)G，AC與BD交于點(diǎn)F，連結(jié)OC、FG，則下列結(jié)論：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC.其中正確結(jié)論的個數(shù)為(D)A．1 B．2C．3 D．4解析：由BC＝AC，∠BCD＝∠ACE＝120°，CD＝CE，得△BCD≌△ACE，則①AE＝BD是正確的；由△BCD≌△ACE，得∠FBC＝∠GAC，再根據(jù)BC＝AC，∠BCF＝∠ACG＝60°，得△BCF≌△ACG，∴②AG＝BF是正確的；由△BCF≌△ACG，得CF＝CG，∵∠FCG＝60°，∴∠CGF＝∠CFG＝∠FCG＝60°，∴③FG∥BE是正確的；如圖，過C作CM⊥BD于點(diǎn)M，CN⊥AE于點(diǎn)N，易證△BCM≌△ACN，∴CM＝CN，∴④∠BOC＝∠EOC是正確的．故選D.二、填空題(每小題3分，共18分)11．如圖所示，∠C＝60°，AC＝BC＝150m，則池塘的寬AB＝150_m.解析：因?yàn)锳C＝BC＝150m，∠C＝60°，所以AC＝BC＝AB＝150m.12．“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”的逆命題是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．解析：由互逆命題的定義可以得到答案．13．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，∠BAC的平分線為AF，AF與CD交于點(diǎn)E，則△CEF是等腰三角形．解析：∵AF平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAF.∵∠FEC＝∠AED＝90°－∠EAD，∠EFC＝90°－∠CAF，∴∠EFC＝∠FEC，∴EC＝FC，即△CEF是等腰三角形．14．如圖所示，在△ABC中，∠A＝80°，點(diǎn)O為∠ABC和∠ACB的平分線的交點(diǎn)，則∠BOC＝130度．解析：在△OBC中，∠O＝180°－(∠OBC＋∠OCB)，又∵BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，∴∠OBC＋∠OCB＝eq\f(1,2)∠ABC＋eq\f(1,2)∠ACB＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)＝eq\f(1,2)×(180°－∠A)＝eq\f(1,2)×(180°－80°)＝50°，∴∠O＝180°－50°＝130°.15．如圖所示，△ABC為等邊三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于點(diǎn)R，PS⊥AC于點(diǎn)S，PR＝PS，有下列四個結(jié)論：①點(diǎn)P在∠BAC的平分線上；②AS＝AR；③QP∥AB；④△BRP≌△CSP.其中，正確的有①②③④(填序號即可)．解析：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，故①正確；在Rt△APR和Rt△APS中，∵PR＝PS，AP＝AP，∴Rt△APR≌Rt△APS，∴AR＝AS，故②正確；∵AQ＝PQ，∴∠QAP＝∠APQ，又∵∠QAP＝∠BAP，∴∠BAP＝∠APQ，∴QP∥AB，故③正確；在△BRP和△CSP中，∵∠B＝∠C，∠BRP＝∠CSP＝90°，PR＝PS，∴△BRP≌△CSP，故④正確．16．王師傅常用角尺平分一個角，如圖所示，學(xué)生小明可用三角尺平分一個角，他們在∠AOB兩邊上分別取OM、ON，使OM＝ON，前者使角尺兩邊相同刻度分別與M、N重合，角尺頂點(diǎn)為P；后者分別過M、N作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P，則均可得到△OMP≌△ONP，其依據(jù)分別是S.S.S.，H.L..解析：①由題意知OM＝ON，OP＝OP，PM＝PN，可用S.S.S.證明△OMP≌△ONP.②由題意知在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM＝ON，OP＝OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP(H.L.)．三、解答題(共72分)17．(10分)如圖所示，點(diǎn)B、C在∠SAF的兩邊上，且AB＝AC.(1)請按下列語句用尺規(guī)作出圖形(不寫作法，保留作圖痕跡)；①AN⊥BC，垂足為點(diǎn)N；②∠SBC的平分線交AN的延長線于點(diǎn)M；③連結(jié)CM.(2)該圖中有幾對全等三角形？解：(1)如圖所示．(2)根據(jù)對稱性，△ABN≌△ACN，△ABM≌△ACM，△BMN≌△CMN，共3對．18．(10分)如圖，在△ABC中，點(diǎn)F是∠ABC與∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，F(xiàn)D∥AB交BC于點(diǎn)D，F(xiàn)E∥AC交BC于點(diǎn)E，若BC＝8，求△FDE的周長．解：∵FD∥AB，F(xiàn)E∥AC，∴∠ABF＝∠BFD，∠CFE＝∠ACF.∵點(diǎn)F是∠ABC與∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，∴∠ABF＝∠DBF，∠ECF＝∠ACF，∴∠FBD＝∠BFD，∠CFE＝∠FCE，∴BD＝FD，EF＝EC.∴△FDE的周長＝FD＋DE＋EF＝BD＋DE＋EC＝BC＝8.19．(10分)如圖所示，PB⊥AB于點(diǎn)B，PC⊥AC于點(diǎn)C，且PB＝PC，D是AP上一點(diǎn)．求證：∠BDP＝∠CDP.證明：在Rt△ABP和Rt△ACP中，∵PA＝PA，PB＝PC，∴Rt△ABP≌Rt△ACP(H.L.)，∴∠BPD＝∠CPD.在△PBD和△PCD中，∵PB＝PC，∠BPD＝∠CPD，PD＝PD，∴△PBD≌△PCD(S.A.S.)，∴∠BDP＝∠CDP.20．(12分)如圖所示，點(diǎn)B、C、E、F在同一條直線上，且AB＝AC，AE＝AF.求證：∠BAF＝∠CAE.證明：因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠C.因?yàn)锳E＝AF，所以∠AEF＝∠AFE.在△ABF與△ACE中，∵AB＝AC，∠B＝∠C，∠AFE＝∠AEF，所以△ABF≌△ACE(A.A.S.)，所以∠BAF＝∠CAE.21．(14分)如圖所示，已知△ABC中，AB＝AC，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，連結(jié)DE并延長交AC的延長線于點(diǎn)F，若DE＝EF，求證：DB＝CF.證明：如圖所示，過點(diǎn)D作DH∥AC交BC于點(diǎn)H，則∠DHB＝∠ACB，∠F＝∠HDE.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DHB＝∠B，∴DB＝DH.在△DHE與△FCE中，∵∠HDE＝∠F，DE＝EF，∠DEH＝∠FEC，∴△DHE≌△FCE(A.S.A.)，∴DH＝CF，∴DB＝CF.22．(16分)(1)如圖①，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E.證明：DE＝BD＋CE；(2)如圖②，將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE＝BD＋CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)拓展與應(yīng)用：如圖③，D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)(D、A、E三點(diǎn)互不重合)，點(diǎn)F為∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連結(jié)BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，試判斷△DEF的形狀．解：(1)∵BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°.∵∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD.在△ADB和△CEA中，∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，AB＝AC，∴△ADB≌△CEA(A.A.S.)，∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE.(2)成立．證明：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α.∴∠CAE＝∠ABD.在△ADB和△CEA中，∵∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，A