2023年江蘇省南京市玄武區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共6小題，共12.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.的值等于()

A.B.C.D.

2.下列計(jì)算中，結(jié)果是是()

A.B.C.D.

3.反比例函數(shù)為常數(shù)的圖象位于()

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D(zhuǎn).第三、四象限

4.如圖是小麗和小歐依次進(jìn)入電梯時(shí)，電梯因超重而響起“嘀嘀”警示音的過(guò)程，且過(guò)程中沒(méi)有其他人進(jìn)出已知當(dāng)電梯承載的重量超過(guò)公斤時(shí)響起警示音，小麗、小歐的體重分別為公斤、公斤設(shè)小麗進(jìn)入電梯前電梯已承載的重量為公斤，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

5.如圖是一個(gè)直三棱柱，它的底面是邊長(zhǎng)為、、的直角三角形下列圖形中，是該直三棱柱的表面展開(kāi)圖的是()

A.

B.

C.

D.

6.如圖，在的點(diǎn)陣中，甲、乙、丙、丁四個(gè)玻璃球分別從、、、四個(gè)點(diǎn)處同時(shí)出發(fā)，按各自箭頭方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)秒后分別到達(dá)、、、處，若按照上述方式繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，則第一次發(fā)生碰撞的是()

A.甲和乙B.甲和丙C.甲和丁D.丙和丁

二、填空題（本大題共10小題，共20.0分）

7.數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示的點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_____．

8.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．

9.據(jù)測(cè)量，柳絮纖維的直徑約為米，用科學(xué)記數(shù)法表示是______．

10.計(jì)算的結(jié)果是______．

11.已知關(guān)于的方程的兩根為和，則______．

12.一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面積的倍，則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形圓心角等于______．

13.已知的直徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)的最短弦的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．

14.如圖，的頂點(diǎn)在軸上，頂點(diǎn)，在軸上，邊與軸交于點(diǎn)，若，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．

15.如圖，點(diǎn)是正五邊形和正三角形的中心，連接，交于點(diǎn)，則的度數(shù)為_(kāi)_____

16.如圖，在矩形中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，與邊交于點(diǎn)，連接，則的最小值為_(kāi)_____．

三、計(jì)算題（本大題共1小題，共7.0分）

17.解方程：．

四、解答題（本大題共10小題，共81.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

18.本小題分

先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．

19.本小題分

每年月日為“全國(guó)愛(ài)眼日”按照國(guó)家視力健康標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生視力狀況如下表所示．

類(lèi)別

視力視力視力視力

健康狀況視力正常輕度視力不良中度視力不良重度視力不良

為了解某學(xué)校學(xué)生視力狀況，隨機(jī)抽查了若干名學(xué)生進(jìn)行視力檢測(cè)，整理樣本數(shù)據(jù)，得到下列統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：

本次抽查的學(xué)生中，視力狀況屬于類(lèi)的學(xué)生有______人，類(lèi)所在扇形的圓心角的度數(shù)是______；

對(duì)于本次抽查的學(xué)生視力數(shù)據(jù)，中位數(shù)所在類(lèi)別為_(kāi)_____類(lèi)；

已知該校共有名學(xué)生，請(qǐng)估計(jì)該?！爸卸纫暳Σ涣肌焙汀爸囟纫暳Σ涣肌钡膶W(xué)生總?cè)藬?shù)．

20.本小題分

有四根細(xì)木棒，它們的長(zhǎng)度分別為，，，．

從中任取兩根，求長(zhǎng)度恰好相等的概率．

從中任取三根，恰好能搭成一個(gè)三角形的概率為_(kāi)_____．

21.本小題分

如圖，在中，，，垂足為是上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)．

證明≌；

若是的中點(diǎn)，，則的面積為_(kāi)_____．

22.本小題分

如圖，投影儀鏡頭看成一個(gè)點(diǎn)離地面的距離為，投影在墻上的像的高度為，經(jīng)測(cè)量，鏡頭到像頂端的仰角為，到像底端的俯角為，求像底端到地面的距離參考數(shù)據(jù)：，

23.本小題分

如圖，在中，，平分，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)．

判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；

若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

24.本小題分

如圖，一塊周長(zhǎng)為的矩形鐵皮，如果在該鐵皮的四個(gè)角上截去四個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，然后把四邊折起來(lái)，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵盒．

要使鐵盒的容積為，求矩形鐵皮的長(zhǎng)和寬；

要使鐵盒的容積最大，矩形鐵皮的長(zhǎng)和寬應(yīng)為多少？最大容積是多少？

25.本小題分

在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)．

求直線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

將直線(xiàn)______可以得到函數(shù)的圖象填寫(xiě)所有正確的序號(hào)

向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度；

向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度；

繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；

先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度．

26.本小題分

如圖，是的外接圓，，，是的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，．

求證∽；

若，，

求的半徑：

連接，與交于點(diǎn)，連接，，則______．

27.本小題分

已知函數(shù)為常數(shù)．

若，，求該函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離；

若函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，將該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新函數(shù)的圖象，且這兩個(gè)函數(shù)圖象與軸的四個(gè)交點(diǎn)中任意相鄰兩點(diǎn)之間的距離都相等．

若函數(shù)的圖象如圖所示，直接寫(xiě)出新函數(shù)的表達(dá)式；

若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求，的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

．

故選：．

根據(jù)算術(shù)平方根定義解答．

此題考查了算術(shù)平方根的定義：若一個(gè)正數(shù)的平方等于，則是的算術(shù)平方根，熟記定義是解題的關(guān)鍵．

2.【答案】

【解析】解：，故A不符合題意；

，故B不符合題意；

，故C符合題意；

，故D不符合題意；

故選：．

根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)，積的乘方與冪的乘方法則，單項(xiàng)式乘除法則，逐項(xiàng)判斷可得答案．

本題考查整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握整式相關(guān)的運(yùn)算法則．

3.【答案】

【解析】解：，

反比例函數(shù)為常數(shù)的圖象位于第一、三象限．

故選B．

先根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)的特點(diǎn)確定比例系數(shù)，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求解．

本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)：

當(dāng)時(shí)，圖象分別位于第一、三象限；

當(dāng)時(shí)，圖象分別位于第二、四象限．

4.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意得：，

解得：．

故選：．

根據(jù)“小麗進(jìn)入電梯后不超重，小歐進(jìn)入電梯后超重”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍．

本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：選項(xiàng)中，展開(kāi)圖下方的直角三角形中的直角邊不能與其它棱完全重合，不合題意；

選項(xiàng)中，展開(kāi)圖上下兩個(gè)直角三角形中的直角邊不能與其它棱完全重合，不合題意；

選項(xiàng)中，展開(kāi)圖下方的直角三角形中的直角邊不能與其它棱完全重合，不合題意；

選項(xiàng)中，展開(kāi)圖能折疊成一個(gè)三棱柱，符合題意；

故選：．

三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形，底面是三角形，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查了幾何體的展開(kāi)圖，從實(shí)物出發(fā)，結(jié)合具體的問(wèn)題，辨析幾何體的展開(kāi)圖，通過(guò)結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀(guān)念，是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：各個(gè)球繼續(xù)運(yùn)動(dòng)如圖示：

由圖示得：甲和乙不相撞；

甲和丙經(jīng)過(guò)秒相撞；

甲和丁不相撞；

丙和丁不相撞，

故選：．

先畫(huà)各個(gè)球的運(yùn)動(dòng)路徑，再根據(jù)圖示求解．

本題考查了圖形的變化類(lèi)，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：．

故答案為：．

用數(shù)軸上右邊的數(shù)減去左邊的，再根據(jù)減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可求解．

本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的求解，用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可，比較簡(jiǎn)單．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)解答即可．

【解答】

解：由題意可知：，

．

故答案為：．

9.【答案】

【解析】解：，

故答案為：．

將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可得出答案．

本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．

10.【答案】

【解析】解：原式．

先分母有理化，再合并同類(lèi)二次根式．

本題考查了二次根式的加減法運(yùn)算，掌握二次根式的化簡(jiǎn)及合并同類(lèi)二次根式是解題的關(guān)鍵．

11.【答案】

【解析】解：

關(guān)于的方程的兩根為和，

，，

，，

，

故答案為：．

由根與系數(shù)的關(guān)系可分別求得、的值，代入則可求得答案．

本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為，底面半徑為，

底面周長(zhǎng)，底面面積，側(cè)面面積，

側(cè)面積是底面積的倍，

，

，即，

設(shè)圓心角為，有，

．

故答案為：．

根據(jù)圓錐的側(cè)面積是底面積的倍可得到圓錐底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng)的關(guān)系，利用圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)底面周長(zhǎng)即可得到該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的扇形圓心角度數(shù)．

本題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算．解題思路：解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)等于圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的扇形半徑；圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)，以及利用扇形面積公式求解是解題的關(guān)鍵．

13.【答案】

【解析】解：與垂直的弦最短．證明如下：

過(guò)點(diǎn)任作一條弦，作垂直于，垂足為，連接，

，

，

在中，，即，

，

，

弦最短，

故答案為：．

與垂直的弦最短，利用勾股定理求．

本題考查了垂徑定理，弄清與垂直的弦最短是關(guān)鍵．

14.【答案】

【解析】解：，，

，

，

，

，

，，，

四邊形是平行四邊形，

，

過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，，

，

，

故答案為：

求出，，，由平行四邊形的性質(zhì)得出，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求出，，求出的長(zhǎng)，則可得出答案．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

15.【答案】

【解析】解：如圖，連接、、、，

五邊形是的內(nèi)接正五邊形，

，

，

是的內(nèi)接正三角形，

，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，，

，

，

故答案為：．

根據(jù)正多邊形的中心角的計(jì)算方法分別求出，，，進(jìn)而求出的度數(shù)，由圓周角定理和三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．

本題考查正多邊形和圓，三角形內(nèi)角和定理以及圓周角定理，掌握正三角形、正五邊形的性質(zhì)以及圓周角定理是正確解答的前提．

16.【答案】

【解析】解：的長(zhǎng)為，則，的長(zhǎng)為，

，，，

，

，，

，

∽，

，即，

，

，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為最小，

．

故答案為：．

根據(jù)垂直的定義得到，再根據(jù)等角的余角相等得到，根據(jù)三角形相似的判定得到∽，利用相似比得到與之間的函數(shù)關(guān)系式，由關(guān)系頂點(diǎn)式即可求得．

本題考查了相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的最大值，關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合的熟練應(yīng)用．

17.【答案】解：去分母得：，

移項(xiàng)合并得：，

經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解．

【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．

此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．

18.【答案】解：原式

，

當(dāng)，時(shí)，原式．

【解析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，將與的值代入計(jì)算即可求出值．

此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

19.【答案】

【解析】解：觀(guān)察兩個(gè)統(tǒng)計(jì)題知：類(lèi)有人，占，

所以調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人，

所以視力情況屬于類(lèi)的學(xué)生有人，

類(lèi)所在扇形的圓心角的度數(shù)為，

故答案為：，；

每類(lèi)人數(shù)分別為人，人，人，人，共人，

所以中位數(shù)為第人和第人的平均數(shù)，均落在了類(lèi)，

所以本次抽查的學(xué)生視力數(shù)據(jù)，中位數(shù)所在類(lèi)別為類(lèi)，

故答案為：．

人，

所以估計(jì)該?！爸卸纫暳Σ涣肌焙汀爸囟纫暳Σ涣肌钡膶W(xué)生總?cè)藬?shù)為人．

首先利用組的人數(shù)和所占的百分比求得總?cè)藬?shù)，然后乘以類(lèi)所占的百分比即可求得類(lèi)學(xué)生的人數(shù)；

用周角乘以類(lèi)所占的百分比即可；

用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體數(shù)據(jù)即可．

本題考查扇形統(tǒng)計(jì)圖、統(tǒng)計(jì)表、中位數(shù)以及用樣本估計(jì)總體等知識(shí)，關(guān)鍵是從扇形統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表中找出相應(yīng)的數(shù)據(jù)．

20.【答案】

【解析】解：列表如下：

由表知，共有種等可能結(jié)果，其中長(zhǎng)度恰好相等的有種結(jié)果，

所以長(zhǎng)度恰好相等的概率為；

從中任取三根，有、、、這種等可能結(jié)果，其中恰好能搭成一個(gè)三角形的有種結(jié)果，

所以恰好能搭成一個(gè)三角形的概率為，

故答案為：．

列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可；

列舉出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．

本題考查了列表法或樹(shù)狀圖法：通過(guò)列表法或樹(shù)狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出，再?gòu)闹羞x出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后根據(jù)概率公式求出事件或的概率．也考查了三角形三邊的關(guān)系．

21.【答案】

【解析】證明：，，

，

，

，，

，

在與中，

，

≌；

解：由可知≌，

，

連接，

是的中點(diǎn)，

，，

是等邊三角形，

，

，

，

，

的面積，

故答案為：．

根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用證明≌解答；

連接，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式解答．

此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)證明≌解答．

22.【答案】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

由題意得：，

設(shè)，

在中，，

，

在中，，

，

，

，

解得：，

，

，

像底端到地面的距離約為．

【解析】過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，然后設(shè)，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算可求出的長(zhǎng)，最后利用線(xiàn)段的和差關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答．

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．

23.【答案】

【解析】解：四邊形是菱形，理由如下：

，，

四邊形是平行四邊形，

平分，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

四邊形是菱形；

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

∽，

：：，

，

，

舍去負(fù)值．

故答案為：．

先證得四邊形是平行四邊形，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義結(jié)合平行線(xiàn)和等腰三角形的性質(zhì)證得，即可證得結(jié)論；

由∽，推出：：，得到，因此，即可求出．

本題考查菱形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)推出；證明∽，得到．

24.【答案】解：設(shè)矩形鐵皮的長(zhǎng)為，則寬為，

由圖知，鐵盒的長(zhǎng)為，寬為，

根據(jù)題意得：，

整理得：．

解得，舍，

矩形鐵皮的長(zhǎng)為，寬為；

設(shè)鐵盒的容積為，

根據(jù)題意得：，

，

當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，

此時(shí)，

矩形鐵皮的長(zhǎng)和寬應(yīng)各位時(shí)，容積最大，最大容積為．

【解析】設(shè)矩形鐵皮的長(zhǎng)為，則寬為，然后根據(jù)題意求出鐵盒的長(zhǎng)和寬，再根據(jù)長(zhǎng)寬高列出方程，解方程即可；

設(shè)鐵盒的容積為，然后根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式寫(xiě)出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式或方程．

25.【答案】

【解析】解：將點(diǎn)先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)直線(xiàn)的解析式為，

代入，得，

解得，

直線(xiàn)的解析式為；

將直線(xiàn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到；

將直線(xiàn)向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到；

將直線(xiàn)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到；

將直線(xiàn)先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到；

故答案為：．

求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系