四川省樂山市美卓博愛中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

四川省樂山市美卓博愛中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)，函數(shù)，則的最小值為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B

【知識點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．B11B12解析：設(shè)z=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，則z的幾何意義是兩條曲線上動點(diǎn)之間的距離的平方，求函數(shù)y=sin2x﹣（x∈[0，π]）的導(dǎo)數(shù)，f′（x）=2cos2x，直線y=x+3的斜率k=1，由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=，即2x=，解得x=，此時y=six2x﹣=﹣=0，即函數(shù)在（，0）處的切線和直線y=x+3平行，則最短距離d=，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值d2=（）2=，故選：B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平移切線法，求出和直線y=x+3平行的切線方程或切點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到結(jié)論．2.設(shè)曲線y=在點(diǎn)（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a=(

)A．2 B．﹣2 C．﹣ D．參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，切線的斜率，由兩直線垂直的條件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲線y=在點(diǎn)（3，2）處的切線的斜率k=﹣，∵曲線y=在點(diǎn)（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，∴直線ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的求法，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線與直線垂直的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．3.若為平面內(nèi)任一點(diǎn)且，則是A．直角三角形或等腰三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形但不一定是直角三角形D．直角三角形但不一定是等腰三角形參考答案：C略4.下列命題是真命題是（）①如果命題“p且q是假命題”，“非p”為真命題，則命題q一定是假命題；②已知命題P：?x∈（﹣∞，0），2x＜3x；命題，tanx＞sinx．則（￢p）∧q為真命題；③命題p：若，則與的夾角為鈍角是真命題；④若p：|x+1|＞2，q：x＞2，則￢p是￢q成立的充分不必要條件；⑤命題“存在x0∈R，2≤0”的否定是“不存在x0∈R，2＞0”A．①③ B．②④ C．③④ D．②⑤參考答案：B【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①，如果命題“p且q是假命題”，“非p”為真命題，則p為假命題，命題q可能是假命題，也可能是真命題；②，只需判定命題P，q真假即可；③，若，則與的夾角為鈍角或π；④，由q是p的充分不必要條件，則￢p是￢q成立的充分不必要條件；⑤，命題“存在x0∈R，2≤0”的否定是“?x0∈R，2＞0”．【解答】解：對于①，如果命題“p且q是假命題”，“非p”為真命題，則p為假命題，命題q可能是假命題，也可能是真命題，故錯；對于②，當(dāng)x∈（﹣∞，0），?2x＞3x，故命題P是假命題；命題，tanx=＞sinx．則故命題q是假命題，故（￢p）∧q為真命題，正確；對于③，命題p：若，則與的夾角為鈍角或π，故③錯；對于④，若p：|x+1|＞2，q：x＞2，?q是p的充分不必要條件，則￢p是￢q成立的充分不必要條件，故正確；對于⑤，命題“存在x0∈R，2≤0”的否定是“?x0∈R，2＞0”，故錯．故選：B．5.下列函數(shù)中，圖像的一部分如右圖所示的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D．試題分析：由圖可知函數(shù)的周期，可排除A、C，又過點(diǎn)，故選D．考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像性質(zhì)．6.若實(shí)數(shù)滿足，則的值域是

.參考答案：令，則，做出可行域，平移直線，由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)是，最小，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時，最大，所以，所以，即的值域是.7.稱為兩個向量間的距離。若滿足：①②；③對任意的恒有，則

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B考察向量減法的三角法則，以及向量模的幾何意義。對任意的恒有，表明是所有中最短的一個，而垂線段最短，故有，選B8.已知復(fù)數(shù)，且為實(shí)數(shù)，則

A.3 B.2 C. D.參考答案：略9.已知命題；命題．則下面結(jié)論正確的是A．pq是真命題

B．pq是假命題

C．q是真命題

D．p是假命題

參考答案：A【知識點(diǎn)】復(fù)合命題的真假對于p：取α=，則cos（π﹣α）=cosα，因此正確；對于命題，正確．由上可得：pq是真命題．故選：A．【思路點(diǎn)撥】p：取α=，則cos（π﹣α）=cosα，即可判斷出真假；命題q：利用實(shí)數(shù)的性質(zhì)可得q的真假．再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可得出．

10.在R上定義運(yùn)算：.若關(guān)于的不等式的解集是集合的子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.

C. D.參考答案：【知識點(diǎn)】一元二次不等式的應(yīng)用．E3D

解析：由題意得，，所以，即.當(dāng)時，不等式的解集為空集，符合題意；當(dāng)時，不等式的集解為，又解集為的子集，所以，得；當(dāng)時，不等式的集解為，又解集為的子集，所以，得.綜上所述，的取值范圍是..故選D.【思路點(diǎn)撥】首先理解*運(yùn)算的定義，得到不等式的具體形式，然后解不等式．不等式中有參數(shù)a，需要對參數(shù)的取值進(jìn)行討論，得到不等式的解集，然后再根據(jù)子集關(guān)系，確定出a的范圍．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，已知圓M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四邊形ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，當(dāng)正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動時，的最大值是．參考答案：6考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．

專題：平面向量及應(yīng)用．分析：由題意可得

=+．由ME⊥MF，可得=0，從而=．求得=6cos＜，＞，從而求得的最大值．解答：解：由題意可得=，∴==+．∵M(jìn)E⊥MF，∴=0，∴=．由題意可得，圓M的半徑為2，故正方形ABCD的邊長為2，故ME=，再由OM=3，可得=?3?cos＜，＞=6cos＜，＞，即=6cos＜，＞，故的最大值是大為6，故答案為6．點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．12.若函數(shù),則=

參考答案：13.已知兩曲線參數(shù)方程分別為和，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為___________．參考答案：14.已知函數(shù)，實(shí)數(shù)x，y滿足，若點(diǎn)M(1，2)，N(x，y)，則當(dāng)≤4時，的最大值為

(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))參考答案：12略15.在平行四邊形中，若，，則=

．參考答案：416.已知全集，集合，，則A∩B=

。參考答案：17.已知集合，集合，則．參考答案：{1}三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)不等式+≤a對一切x＞0，y＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】原題即a≥對一切x＞0，y＞0恒成立．設(shè)A=，可得：A2==1+≤2，即可得出．【解答】解：原題即a≥對一切x＞0，y＞0恒成立．設(shè)A=，A2==1+≤2，當(dāng)x=y時等號成立，∵A＞0，∴0＜A≤．即A有最大值．∴當(dāng)a≥時，+≤a對一切x＞0，y＞0成立．∴a的最小值為．【點(diǎn)評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19.從某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖：排號分組頻數(shù)1[0，2）62[2，4）83[4，6）174[6，8）225[8，10）256[10，12）127[12，14）68[14，16）29[16，18）2合計100

（Ⅰ）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計這名學(xué)生該周課外閱讀時間少于12小時的概率；（Ⅱ）求頻率分布直方圖中的a，b的值；（Ⅲ）假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第幾組（只需寫結(jié)論）參考答案：【考點(diǎn)】頻率分布直方圖；頻率分布表．

【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表求出1周課外閱讀時間少于12小時的頻數(shù)，再根據(jù)頻率=求頻率；（Ⅱ）根據(jù)小矩形的高=求a、b的值；（Ⅲ）利用平均數(shù)公式求得數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布表知：1周課外閱讀時間少于12小時的頻數(shù)為6+8+17+22+25+12=90，∴1周課外閱讀時間少于12小時的頻率為=0.9；（Ⅱ）由頻率分布表知：數(shù)據(jù)在[4，6）的頻數(shù)為17，∴頻率為0.17，∴a=0.085；數(shù)據(jù)在[8，10）的頻數(shù)為25，∴頻率為0.25，∴b=0.125；（Ⅲ）數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小時），∴樣本中的100名學(xué)生該周課外閱讀時間的平均數(shù)在第四組．【點(diǎn)評】本題考查了頻率分布表與頻率分布直方圖，再頻率分布直方圖中頻率=小矩形的面積=小矩形的高×組距=．20.設(shè)函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：定義域?yàn)?，?dāng)時，，且令，所以在定義域上是減函數(shù)，且，所以在上單增，在上單減，所以的極大值為無極小值。...........................6分（2）當(dāng)時，令，，所以所以...........................12分21.已知函數(shù).（1）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的解.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）若，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為，求的表達(dá)式.參考答案：(1)（i）；（ii）；(2).（?。┳鞒龊瘮?shù)圖象，得，故的取值范圍是.（ⅱ）∵，，，則有，即，又，∴，故的取值范圍是.（2），當(dāng)時，有，在上為減函數(shù)，則.當(dāng)時，有，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，此時，，則.當(dāng)時，有，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，此時，，，則.當(dāng)時，有，，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，此時，，則.當(dāng)時，有，在上為增函數(shù)，則.則考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及不等式的性質(zhì)等有關(guān)知識的綜合運(yùn)用．22.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），圓Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圓心Q在橢圓C上，點(diǎn)P（0，）到橢圓C的右焦點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)P作互相垂直的兩條直線l1，l2，且l1交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，直線l2交圓Q于C，D兩點(diǎn)，且M為CD的中點(diǎn)，求△MAB的面積的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）求得圓Q的圓心，代入橢圓方程，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，解方程可得a，b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）討論兩直線的斜率不存在和為0，求得三角形MAB的面積為4；設(shè)直線y=kx+，代入圓Q的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，求得MP的長，再由直線AB的方程為y=﹣x+，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，由三角形的面積公式，化簡整理，由換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得面積的范圍．【解答】解：（1）圓Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圓心為（2，），代入橢圓方程可得+=1，由點(diǎn)P（0，）到橢圓C的右焦點(diǎn)的距離為，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有橢圓的方程為+=1；（2）當(dāng)直線l2：y=，代入圓的方程