2021-2022學年北京錢庫高級中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析

2021-2022學年北京錢庫高級中學高三數(shù)學理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=，若數(shù)列{an}滿足an=f（n）（n∈N*），且{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．[，4） B．（，4） C．（2，4） D．（1，4）參考答案：C【考點】數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】函數(shù)f（x）=，數(shù)列{an}滿足an=f（n）（n∈N*），且{an}是遞增數(shù)列，可得，解出即可得出．【解答】解：函數(shù)f（x）=，數(shù)列{an}滿足an=f（n）（n∈N*），且{an}是遞增數(shù)列，∴，解得2＜a＜4．故選：C．2.對于R上可導的任意函數(shù)，若滿足，則必有

A．

B．

C．

D．參考答案：A當時，，此時函數(shù)遞減。當時，，此時函數(shù)遞增，即當，函數(shù)取得極小值同時也是最小值，所以，即，選A.3.曲線：在點處的切線恰好經過坐標原點，則點的坐標為

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：A4.在等差數(shù)列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，則2a10﹣a12的值為(

)A．20 B．22 C．24 D．28參考答案：C【考點】等差數(shù)列的性質．【專題】計算題．【分析】由等差數(shù)列的性質可知，項數(shù)之和相等的兩項之和相等且等于項數(shù)之和一半的項，把已知條件化簡后，即可求出a8的值，然后再由等差數(shù)列的性質得到所求的式子與a8的值相等，即可求出所求式子的值．【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12=（a4+a12）+（a6+a10）+a8=5a8=120，解得a8=24，且a8+a12=2a10，則2a10﹣a12=a8=24．故選C【點評】此題考查學生靈活運用等差數(shù)列的性質化簡求值，是一道中檔題．5.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的(

)A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A6.已知雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，則橢圓mx2+ny2=1的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】K4：橢圓的簡單性質；KC：雙曲線的簡單性質．【分析】雙曲線、橢圓方程分別化為標準方程，利用雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，可得m=3n，從而可求橢圓mx2+ny2=1的離心率．【解答】解：雙曲線mx2﹣ny2=1化為標準方程為：∵雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，∴∴m=3n橢圓mx2+ny2=1化為標準方程為：∴橢圓mx2+ny2=1的離心率的平方為=∴橢圓mx2+ny2=1的離心率為故選C．【點評】本題考查橢圓、雙曲線的離心率，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．7.在直角坐標系中，定義兩點之間的“直角距離”為，現(xiàn)給出四個命題：①已知，則為定值；②用表示兩點間的“直線距離”，那么；③已知為直線上任一點，為坐標原點，則的最小值為；④已知三點不共線，則必有.A．②③

B．①④

C．①②

D．①②④參考答案：C略8.已知函數(shù)f（x）=cos4x﹣sin4x，下列結論錯誤的是(

)A．f（x）=cos2xB．函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=0對稱C．f（x）的最小正周期為πD．f（x）的值域為[﹣，]參考答案：D【考點】二倍角的余弦．【專題】計算題；數(shù)形結合；數(shù)形結合法；三角函數(shù)的圖像與性質．【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡函數(shù)解析式可得f（x）=cos2x，利用余弦函數(shù)的圖象和性質及余弦函數(shù)的周期公式即可得解．【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A正確；由利用余弦函數(shù)的圖象可知f（x）=cos2x為偶函數(shù)，故B正確；由周期公式可得f（x）的最小正周期為：T=，故C正確；由余弦函數(shù)的性質可得f（x）=cos2x的值域為[﹣1，1]，故D錯誤；故選：D．【點評】本題主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函數(shù)公式，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基礎題．9.已知球的直徑，是該球面上的兩點，，，則三棱錐

的體積為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：D10.一個直三棱柱的每條棱長都是4，且每個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A．84π B．96π C．112π D．144π參考答案：C【考點】球的體積和表面積．【分析】設此直三棱柱兩底面的中心分別為O1，O2，則球O的球心O為線段O1O2的中點，設球O的半徑為R，利用勾股定理求出R2，由此能求出球O的表面積．【解答】解：∵一個直三棱柱的每條棱長都是4，且每個頂點都在球O的球面上，∴設此直三棱柱兩底面的中心分別為O1，O2，則球O的球心O為線段O1O2的中點，設球O的半徑為R，則R2=（）2+（）2=28，∴球O的表面積S=4πR2=112π．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復數(shù)z=（i為虛數(shù)單位）的虛部為

．參考答案：1【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：z==i+1的虛部為1．故答案為：1．12.鈍角中，若，，則的最大值為

.

參考答案：13.二維空間中圓的一維測度(周長)，二維測度(面積)；三維空間中球的二維測度(表面積)，三維測度(體積)；試類比觀察，若四維空間中“超球”的三維測度為，猜想其四維測度________．參考答案：14.過點（－2，0）且垂直于直線2x-6y+l=0的直線的方程是

。參考答案：15.在數(shù)列{an}中，若存在一個確定的正整數(shù)T，對任意n∈N*滿足an+T=an，則稱{an}是周期數(shù)列，T叫做它的周期．已知數(shù)列{xn}滿足x1=1，x2=a（a≤1），xn+2=|xn+1﹣xn|，若數(shù)列{xn}的周期為3，則{xn}的前100項的和為．參考答案：67【考點】數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由已知條件推導出x3=1﹣a，x4=|1﹣2a|，且x4=x1，從而得a=0或a=1．由此能求出{xn}的前100項的和．【解答】解：由xn+2=|xn+1﹣xn|，得x3=|x2﹣x1|=|a﹣1|=1﹣a，x4=|x3﹣x2|=|1﹣2a|，∵數(shù)列{xn}的周期為3，∴x4=x1，即|1﹣2a|=1，解得a=0或a=1．當a=0時，數(shù)列為1，0，1，1，0，1，…，∴S100=2×33+1=67．當a=1時，數(shù)列為1，1，0，1，1，0，…，∴S100=2×33+1=67．綜上：{xn}的前100項的和為67．故答案為：67．【點評】本題考查數(shù)列的前100項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數(shù)列的周期性和分類討論思想的合理運用．16.若函數(shù)f(x)＝x＋asinx在R上遞增，則實數(shù)a的取值范圍為______．參考答案：[-1,1]17.已知向量的夾角為,，,則

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）在平面直角坐標系中，是橢圓上任意一點，是橢圓的左焦點，直線的方程為。（1）求證：直線與橢圓有唯一公共點；（2）設點與點關于直線對稱，當點在橢圓上運動時，判斷直線是否過定點，若直線過定點，求出此定點的坐標；若直線不過定點，說明理由。參考答案：（1）聯(lián)立方程組，消去得：，又得，代入得：，因為：，所以原方程組有只有一組解，所以直線與橢圓有唯一公共點；（2）點的坐標為，過點且與直線垂直的直線方程為，解方程組得，所以點的坐標是，當時，，所以直線的方程為，即，過定點。當時，，此時點的坐標為，直線過定點，綜上：直線過定點。19.（12分）已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．（1）求實數(shù)k的值；（2）設g（x）=log4（a?2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點： 根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)奇偶性的性質．專題： 函數(shù)的性質及應用．分析： （1）由f（x）=f（﹣x），化簡可得x=﹣2kx對一切x∈R恒成立，從而求得k的值．（2）由題意可得，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，方程有且只有一個實根，且a?2x+a＞0成立，則a＞0．令t=2x＞0，則（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一個正根，分類討論求得a的范圍，綜合可得結論．解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）是偶函數(shù)可知：f（x）=f（﹣x），∴，化簡得，即x=﹣2kx對一切x∈R恒成立，∴．（2）由題意可得，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，即方程有且只有一個實根，化簡得：方程有且只有一個實根，且a?2x+a＞0成立，則a＞0．令t=2x＞0，則（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一個正根，設g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，所以①當a=1時，有t=1，合題意；②當0＜a＜1時，g（t）圖象開口向下，且g（0）=﹣1＜0，則需滿足，此時有；（舍去）．③當a＞1時，又g（0）=﹣1，方程恒有一個正根與一個負根．綜上可知，a的取值范圍是{}∪[1，+∞）．點評： 本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，二次函數(shù)的性質的應用，體現(xiàn)了化歸與轉化的數(shù)學思想，屬于基礎．20.（本小題滿分14分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知，，在底面的射影是線段的中點．（Ⅰ）證明：在側棱上存在一點，使得⊥平面，并求出的長；（II）求二面角的余弦值．參考答案：【知識點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．G5G11答案（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）解析：(Ⅰ)證明:連接AO,再中,作于點E,因為,所以,因為,所以,所以,所以，又得.(Ⅱ)如圖,分別以OA,OB,所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,則,由,得點E的坐標是,由(Ⅰ)知平面的一個法向量為設平面的法向量是,由得可取,所以.【思路點撥】(Ⅰ)連接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于點E，則E為所求．可以證出OE⊥BB1，BC⊥OE而得以證明．在RT中，利用直角三角形射影定理得出EO．(Ⅱ)如圖，分別以OA，OB，OA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面A1B1C的法向量是，利用夾角求平面A1B1C與平面BB1C1C夾角的余弦值．21.從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第個家庭的月收入（單位：千元）與月儲蓄（單位：千元）的數(shù)據資料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月儲蓄對月收入的線性回歸方程；（Ⅱ）判斷變量與之間是正相關還是負相關；（Ⅲ）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預測該家庭的月儲蓄．附：線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為．參考答案：解：（Ⅰ）由題意知,又由此得故所求回歸方程為.（Ⅱ）由于變量的值隨的值增加而增加,故量與之間是正相關.（Ⅲ）將代入回歸方程可以預測該家庭的月儲蓄為(千元).略22.已知函數(shù)f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R，（e≈2.718）．（1）若函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x）有極值1，求a的值；（2）若函數(shù)G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，求a的取值范圍；（3）證明：．參考答案：考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：（1）F（x）=ax﹣lnx，（x＞0），，對a分類討論，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值即可得出；（2）解法1：由函數(shù)G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，可得在（0，1）上恒成立在（0，1）上恒成立，設，利用導數(shù)研究其單調性極值與最值即可得出；解法2：由函數(shù)G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，可得對?x∈（0，1），（*）恒成立，由x∈（0，1），可得cos（x﹣1）＞0，對a分類討論：當a≤0時，（*）式顯然成立；當a＞0時，（*）式?在（0，1）上恒成立，設h（x）=xcos（x﹣1），利用其單調性即可得出．（3）證法1：由（2）知，當a=1時，G（x）=sin（x﹣1）﹣lnx＞G（1）=0，?sin（x﹣1）＞lnx．對任意的k∈N*有，可得，因此，利用對數(shù)的運算性質、“累加求和”即可得出；證法2：利用導數(shù)先證明當時，sinx＜x，由于對任意的k∈N*，，而．可得，利用“累加求和”即可證明．解答： 解：（1）∵F（x）=ax﹣lnx，（x＞0）∴，①若a≤0，則對任意的x∈（0，+∞）都有F'（x）＜0，即函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調遞減，函數(shù)F（x）在（0，+∞）上無極值；②若a＞0，由F'（x）=0得，當時，F(xiàn)'（x）＜0；當時，F(xiàn)'（x）＞0，即函數(shù)F（x）在單調遞減，在單調遞增，∴函數(shù)F（x）在處有極小值，∴=，∴a=1．（2）解法1：∵函數(shù)G（x）=f（sin（x﹣1））﹣g（x）=asin（x﹣1）﹣lnx在區(qū)間（0，1）上為減函數(shù)，且