機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論 第二章

機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論

(第二章）新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院第二章空間描述和變換本章內(nèi)容2.1概述2.2描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系2.3映射：從坐標(biāo)系到坐標(biāo)系的變換2.4總結(jié)2.5變換算法2.1概述機(jī)器人操作：通過某種機(jī)構(gòu)使零件和工具在空間中運動。如何定義和運用表達(dá)操作臂位姿的數(shù)學(xué)量？我們必須定義坐標(biāo)系并并給出表達(dá)規(guī)則。世界坐標(biāo)系：我們采用的一個體系，作為我們討論任何問題，特別是定義其它坐標(biāo)系的一個參照坐標(biāo)系。2.2描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系描述：描述可用來確定一個操作系統(tǒng)處理的各種對象的特性。這些對象包括零件、工具和操作臂本身。描述：位置、姿態(tài)與坐標(biāo)系1.位置描述一旦建立了坐標(biāo)系，我們就能用一個3×1位置矢量對世界坐標(biāo)系中的任何點進(jìn)行定位。其它坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系向量向相應(yīng)軸的投影注意：位置矢量必須附加信息，標(biāo)明是在哪一個坐標(biāo)系被定義的這個前置的上標(biāo)A標(biāo)明此位置矢量是在坐標(biāo)系{A}中定義的2.姿態(tài)描述對于一個剛體來說，我們發(fā)現(xiàn)不僅經(jīng)常需要表示它在空間中的位置，還經(jīng)常需要描述空間中物體的姿態(tài)。為了描述剛體的姿態(tài)，我們將在剛體上固定一個坐標(biāo)系并且給出此坐標(biāo)系相對于參考系的表達(dá)。已知坐標(biāo)系{B}以某種方式固定在物體上因此點的位置可用矢量描述，物體的姿態(tài)可用固定在物體上的坐標(biāo)系來描述。坐標(biāo)系{B}主軸方向的三個單位矢量，把它們在坐標(biāo)系{A}中表達(dá)出來坐標(biāo)系{B}的單位矢量寫成在{A}中的表達(dá)矢量在坐標(biāo)系{A}三個主軸方向的投影矢量在坐標(biāo)系{A}三個主軸方向的投影矢量在坐標(biāo)系{A}三個主軸方向的投影我們將這三個單位矢量按照的順序排列組成一個3×3的矩陣位置能用矢量來表示，姿態(tài)能用旋轉(zhuǎn)矩陣來表示怎樣計算?

可用每個矢量在其參考坐標(biāo)系中單位方向上投影的分量來表示。這個稱為旋轉(zhuǎn)矩陣于是，旋轉(zhuǎn)矩陣的各個分量可用一對單位矢量的點積來表示：兩個單位矢量的點積可得到二者之間夾角的余弦，因此各分量又被稱作方向余弦那么坐標(biāo)系{A}在坐標(biāo)系{B}的表達(dá)又是什么樣的？進(jìn)一步觀察上頁的式子，可以看出矩陣的行是單位矢量{A}在{B}中的表達(dá)；即因此，為坐標(biāo)系{A}相對于{B}中的表達(dá)；即以上表明旋轉(zhuǎn)矩陣的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣3.坐標(biāo)系的描述完整描述圖中的操作手位姿所需的信息為位置和姿態(tài)我們定義這樣一對包含位置和姿態(tài)信息的坐標(biāo)實體旋轉(zhuǎn)矩陣原點位置矢量一個參考系可以用一個坐標(biāo)系相對于另一坐標(biāo)系的關(guān)系來描述。2.3映射什么是映射？描述一個量從一個坐標(biāo)系到另一個坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)變換。1.平移映射兩個坐標(biāo)系具有相同的姿態(tài)2.關(guān)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的映射前面介紹了用連體坐標(biāo)系主軸的三個單位矢量來描述姿態(tài)的方法。包含三個單位矢量的旋轉(zhuǎn)矩陣被用來描述姿態(tài)。我們已知矢量相對于某坐標(biāo)系{B}的定義，怎樣求矢量相對另一個坐標(biāo)系{A}的定義？且這兩個坐標(biāo)系原點重合。例2.1圖中表示坐標(biāo)系{B}相對于坐標(biāo)系{A}繞軸旋轉(zhuǎn)30度。這里軸指向為由紙面向外。{B}繞軸旋轉(zhuǎn)30度在{{A}中寫出{B}的單位矢量，并且將它們按列組成旋轉(zhuǎn)矩陣，得到:已知：求出：這里，的作用是將相對于坐標(biāo)系{A}描述的映射到。注意:從映射的角度看，原矢量P在空間并沒有改變，我們只不過求出了這個矢量相對于另一個坐標(biāo)系的新的描述。3.關(guān)于一般坐標(biāo)系的映射

問題：我們已知矢量相對某坐標(biāo)系{B}的描述，想求出它相對于另一個坐標(biāo)系{A}的描述。一般的情形：（1）坐標(biāo)系{B}和坐標(biāo)系{A}不具有相同的姿態(tài)（2）坐標(biāo)系{B}和坐標(biāo)系{A}原點不重合(1)在坐標(biāo)系{B}和坐標(biāo)系{A}之間有一個矢量偏移(2){B}相對于{A}有旋轉(zhuǎn)，用描述問題：給出