初中數(shù)學(xué)思想方法課件

初中數(shù)學(xué)常見思想方法初中數(shù)學(xué)

所謂數(shù)學(xué)思想是指對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的認(rèn)識，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點，具有普遍的指導(dǎo)意義，是建立和解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想。

數(shù)學(xué)方法是指在數(shù)學(xué)的提出和解決問題過程中所采用的各種方式、手段、途徑等。所謂數(shù)學(xué)思想是指對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的認(rèn)識，是從某些

對于學(xué)習(xí)者來說，運用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是感性認(rèn)識不斷積累的過程，當(dāng)這種積累達(dá)到一定程度就會產(chǎn)生飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想，一旦數(shù)學(xué)思想形成之后，便對數(shù)學(xué)方法起著指導(dǎo)作用.因此，人們通常將數(shù)學(xué)思想與方法看成一個整體概念——數(shù)學(xué)思想方法.如果說小學(xué)階段是具體的積累過程，那么初中階段則是一個將之升華的過程.

對于學(xué)習(xí)者來說，運用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程就是

數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)由數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和思維系統(tǒng)兩部分組成，組成數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的是概念、定理、公式、法則；組成思維系統(tǒng)的則是數(shù)學(xué)思想方法和思維策略。數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)由數(shù)學(xué)的知識結(jié)構(gòu)和思維系統(tǒng)

中學(xué)常見的數(shù)學(xué)思想方法有:觀察、試驗、歸納類比、分析綜合、抽象概括等形成數(shù)學(xué)理論的方法，還有一般的邏輯推理證明方法，以及化歸遞推，等價轉(zhuǎn)化，推廣與限定以及用字母代替數(shù)的思想方法、集合的思想方法、函數(shù)、映射對應(yīng)的思想方法、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法、最優(yōu)化思想方法、統(tǒng)計思想和數(shù)據(jù)處理方法、極限思想和逼近方法、分類的思想方法、參數(shù)的思想方法等.中學(xué)常見的數(shù)學(xué)思想方法有:

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)途徑:一般可以通過充分挖掘教材中的數(shù)學(xué)思想方法，有目的、有意識的滲透.數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)途徑:

分類討論思想

分類討論思想

(1)分類時每一部分互相獨立.(2)一次分類必須是同一個標(biāo)準(zhǔn).(3)分類討論應(yīng)該逐級進(jìn)行,不能越級討論.(4)分類必須周全,要做到不重不漏.【特別提醒】(1)分類時每一部分互相獨立.【特別提醒】

1.方程:

若含有字母系數(shù)的方程有實數(shù)根時,要考慮二次項系數(shù)是否等于0,進(jìn)行分類討論.常見的六種類型1.方程:常見的六種類型常見的六種類型2.等腰三角形:

如果等腰三角形給出兩條邊求第三條邊或給出一角求另外兩角時,要考慮所給的邊是腰還是底邊,所給出的角是頂角還是底角分類解決.常見的六種類型2.等腰三角形:例

等腰三角形一條邊的邊長為3,它的另兩條邊的邊長是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+k=0的兩個根,則k的值是(

)A.27

B.36

C.27或36

D.18例等腰三角形一條邊的邊長為3,它的另兩條邊的邊長是關(guān)（2）若3是等腰三角形的腰,則3是關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+k=0的一個解,∴32-12×3+k=0,解得k=27.當(dāng)k=27時,方程x2-12x+27=0的解是3或9,3,3,9構(gòu)不成三角形,∴k=27不合題意.故選B.【解析】（1）若3是等腰三角形的底邊,則關(guān)于x的一元二次方程x2-12x+k=0有兩個相等的實數(shù)根,∴(-12)2-4k=0,解得k=36;（2）若3是等腰三角形的腰,則3是關(guān)于x的一元二次方程x2-常見的六種類型3.直角三角形:

在直角三角形中給出兩邊的長度,確定第三邊時,若沒有指明直角邊和斜邊,要注意分情況進(jìn)行討論(分類討論),然后利用勾股定理即可求解.常見的六種類型3.直角三角形:

一直角三角形的兩邊長分別為3和4,則第三邊的長為(

)A.5 B.C.D.5或【解析】選D.(1)當(dāng)兩邊均為直角邊時,由勾股定理得,第三邊為(2)當(dāng)4為斜邊時,由勾股定理得,第三邊為∴直角三角形的第三邊為5或例一直角三角形的兩邊長分別為3和4,則例常見的六種類型4.相似三角形:

(1)如果題目中出現(xiàn)兩個三角形相似,需要討論各邊的對應(yīng)關(guān)系;(2)若出現(xiàn)位似,則考慮兩個圖形在位似中心的同旁或兩旁兩種情況討論.常見的六種類型4.相似三角形:例

如圖,M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B,C的一定點,過點M作直線截△ABC,使截得的三角形與△ABC相似,這樣的直線共有A.1條 B.2條C.3條 D.4條例如圖,M是Rt△ABC的斜邊BC上異于B,C的一定【解析】選C.如圖,分別過點M作△ABC三邊的垂線l1,l2,l3,易證此時分別形成的三角形均與原三角形相似,所以共3條.【解析】選C.如圖,分別過點M作△ABC三邊的垂線l1,l2常見的六種類型5.一次函數(shù):

(1)已知一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積,求k的值,常分直線交于坐標(biāo)軸正半軸和負(fù)半軸討論;(2)確定反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點個數(shù),常分一、三象限或二、四象限兩種情況討論.常見的六種類型5.一次函數(shù):常見的六種類型6.圓:

(1)圓的一條弦(直徑除外)對兩條弧,常分優(yōu)弧和劣弧兩種情況討論;(2)求圓中兩條平行弦的距離,常分兩弦在圓心的同旁和兩旁兩種情況討論;常見的六種類型6.圓:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,半徑為2的☉P的圓心P的坐標(biāo)為(-3,0),將☉P沿x軸正方向平移,使☉P與y軸相切,則平移的距離為(

)A.1

B.1或5

C.3

D.5例如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,半徑為2的☉P的圓心

數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”，數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂

1.在實數(shù)與數(shù)軸中的應(yīng)用:

實數(shù)與數(shù)軸上的點具有一一對應(yīng)關(guān)系,因此借助數(shù)軸觀察數(shù)的特點,直觀明了。常見的四種類型1.在實數(shù)與數(shù)軸中的應(yīng)用:常見的四種類型實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示,則下列式子中正確的是(

)A.ac>bc B.|a-b|=a-bC.-a<-b<c D.-a-c>-b-c實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示,則下列式子中正確的是【解析】選D.

由圖得a<b<0<c,由不等式的性質(zhì)可得ac<bc,故A選項錯誤;因為a-b<0,所以|a-b|=b-a,所以B選項錯誤;由a,b,c在數(shù)軸上的位置可得-a>-b>c,故C選項錯誤;因為a<b,所以-a>-b,所以-a-c>-b-c,故D選項正確.【解析】選D.

2.在幾何中的應(yīng)用:

對于幾何問題,我們常通過圖形,找出邊、角的數(shù)量關(guān)系,通過邊、角的數(shù)量關(guān)系,得出圖形的性質(zhì)等。常見的四種類型2.在幾何中的應(yīng)用:常見的四種類型

如圖,在小山的東側(cè)A點有一個熱氣球,由于受西風(fēng)的影響,以30m/min的速度沿與地面成75°角的方向飛行,25min后到達(dá)C處,此時熱氣球上的人測得小山西側(cè)B點的俯角為30°,則小山東西兩側(cè)A,B兩點間的距離為

.例如圖,在小山的東側(cè)A點有一個熱氣球,由于受西風(fēng)的影響【解析】由題意得AC=30×25=750(m)，∠B=30°，過點A作AD⊥BC，垂足為D，∵∠ACB=75°－∠B=45°，∴AD=AC×sin45°，在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AB=2AD=2AC×sin45°=答案：【解析】由題意得AC=30×25=750(m)，∠B=30°

3.解方程(組)或不等式(組)中的應(yīng)用:

利用函數(shù)圖象解決方程問題時,常把方程根的問題看作兩個函數(shù)圖象的交點問題來解決;利用數(shù)軸或函數(shù)圖象解有關(guān)不等式(組)的問題直觀,形象,易于找出不等式(組)解的公共部分或判斷不等式組有無公共解.常見的四種類型3.解方程(組)或不等式(組)中的應(yīng)用:把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，正確的是()【解析】選D.解得例把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，正確的是(如圖，雙曲線y=與直線y=kx+b相交于點M，N，且點M的坐標(biāo)為(1，3)，點N的縱坐標(biāo)為－1．根據(jù)圖象信息可得關(guān)于x的方程=kx+b的解為()A．－3，1B．－3，3C．－1，1D．-1,3例如圖，雙曲線y=與直線y=kx+b相交于點M，N，且點【解析】選A.把點M的坐標(biāo)(1，3)代入解析式可得m=3，即反比例函數(shù)的解析式為把y=-1代入可得x=-3，∴N(-3，-1),M(1,3)和N(-3，-1)的橫坐標(biāo)即為方程的解，所以選A.【解析】選A.把點M的坐標(biāo)(1，3)代入解析式

已知反比例函數(shù)y1=的圖象與一次函數(shù)y2=ax+b的圖象交于點A(1，4)和點B(m，－2)．(1)求這兩個函數(shù)的解析式.(2)觀察圖象，當(dāng)x>0時，直接寫出y1>y2時自變量x的取值范圍.例已知反比例函數(shù)y1=的圖象與一次函數(shù)y2=ax+【解】(1)∵函數(shù)y1=的圖象過點A(1，4)，即∴k=4，即又∵點B(m，－2)在上，∴m=－2，∴B(－2，－2)，又∵一次函數(shù)y2=ax+b過A,B兩點，即解得∴y2=2x+2．綜上可得y2=2x+2．（2）由圖象可得：0<x<1【解】(1)∵函數(shù)y1=的圖象過點A(1，4)，即

4.在函數(shù)中的應(yīng)用:

借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用的方法,函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。常見的四種類型4.在函數(shù)中的應(yīng)用:常見的四種類型

如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,x=-1是對稱軸,有下列判斷:①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③a-b+c=-9a;④若(-3,y1),

是拋物線上兩點,則y1>y2,其中正確的是(

)A.①②③ B.①③④C.①②④ D.②③④例如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一【解析】選B.∵對稱軸為x=-1，∴b-2a=0；∵當(dāng)x=0時，y＞0，∴當(dāng)x=-2時，y＞0，即4a-2b+c＞0；當(dāng)x=2時，4a+2b+c=0，即4a+4a+c=0,∴c=-8a.∴當(dāng)x=-1時，a-b+c=a-2a-8a=-9a；∵(-3，y1)到對稱軸的距離為2，到對稱軸的距離為∴y1＞y2，故①③④正確.【解析】選B.∵對稱軸為x=-1，∴b-【知識歸納】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象性質(zhì)(1)開口向上?a>0;開口向下?a<0.(2)c>0?圖象與y軸的正半軸有交點;c=0?圖象過坐標(biāo)原點;c<0?圖象與y軸的負(fù)半軸有交點.(3)根據(jù)對稱軸x=-和a符號確定b的符號以及a,b之間的數(shù)量關(guān)系.【知識歸納】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象性質(zhì)(4)根據(jù)x=1時y的值來確定a+b+c的符號;根據(jù)x=-1時y的值來確定a-b+c的符號;x=2時y的值來確定4a+2b+c的符號;根據(jù)x=-2時y的值來確定4a-2b+c的符號.(5)b2-4ac>0?拋物線與x軸有兩個交點;b2-4ac=0?拋物線與x軸有一個交點;b2-4ac<0?拋物線與x軸沒有交點.(4)根據(jù)x=1時y的值來確定a+b+c的符號;根據(jù)x=-1(1)由數(shù)思形,由形想數(shù),搞清數(shù)形關(guān)系,做好數(shù)形轉(zhuǎn)化.(2)應(yīng)用函數(shù)圖象,求方程(組)或不等式(組)的解、解集問題:解題的關(guān)鍵是理解圖象交點的含義,正確把握圖象所反映的信息,涉及實際問題時,還要注意分析縱軸與橫軸所代表的含義.(3)解決與動點有關(guān)的問題時,其關(guān)鍵是弄清在運動過程中某些特殊位置關(guān)系及其相對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,明確數(shù)與形的聯(lián)系.在解題時還要特別關(guān)注題目中的常量、固定的關(guān)系式、特殊的關(guān)系式及特定的限制條件,構(gòu)建方程或函數(shù)求解.(4)注意形的生動性和直觀性與數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性之間的統(tǒng)一.【特別提醒】(1)由數(shù)思形,由形想數(shù),搞清數(shù)形關(guān)系,做好數(shù)形轉(zhuǎn)化.【特別

化歸轉(zhuǎn)化思想

化歸轉(zhuǎn)化思想

化歸的基本功能是：

1、生疏化成熟悉，

2、復(fù)雜化成簡單，

3、抽象化成直觀，

4、含糊化成明朗?；瘹w的基本功能是：(1)熟悉化原則:將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題(2)簡單化原則:將復(fù)雜的問題化歸為簡單問題,通過對簡單問題的解決,達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的,或獲得某種解題的啟示和依據(jù).(3)和諧化原則:化歸問題的條件或結(jié)論,使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式,或者轉(zhuǎn)化命題,使其推演有利于運用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律.(4)直觀化原則:將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決.化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的五個基本原則(1)熟悉化原則:將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)

1.在解方程組中的應(yīng)用

通過消元將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程;通過降次把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程;通過去分母把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.常見的六種類型1.在解方程組中的應(yīng)用常見的六種類型分式方程的解為()例分式方程的解為()例

2.多邊形化為三角形

解決平行四邊形、正多邊形的問題通過添加輔助線轉(zhuǎn)化為全等三角形、等腰三角形、直角三角形去解決.常見的六種類型2.多邊形化為三角形常見的六種類型

3.立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形:

立體圖形的展開與折疊、立體圖形的三視圖體現(xiàn)了立體圖形與平面圖形之間的相互轉(zhuǎn)化.常見的六種類型3.立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形:常見的六種類型

4.一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形

通過作已知三角形的高,將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.常見的六種類型4.一般三角形轉(zhuǎn)化為直角常見的六種類型

5.化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形

根據(jù)圖形的特點進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、割與補(bǔ)等方法將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形(如三角形、矩形、扇形等)面積的和或差進(jìn)行求解.常見的六種類型5.化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形常見的六種類型如圖,正三角形ABC的邊長為2,D,E,F分別為BC,CA,AB的中點,以A,B,C三點為圓心,半徑為1作圓,則圖中陰影部分的面積是

.如圖,正三角形ABC的邊長為2,D,E,F分

6.轉(zhuǎn)化化歸在圓中的應(yīng)用

圓中圓心角與圓周角、等弧與等弦、等弧與等弧所對的圓周角都是相互轉(zhuǎn)化的.常見的六種類型6.轉(zhuǎn)化化歸在圓中的應(yīng)用常見的六種類型

數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模思想

1.建立“方程(組)”模型現(xiàn)實生活中廣泛存在著數(shù)量之間的相等關(guān)系,“方程(組)”模型是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的最基本的數(shù)學(xué)模型,它可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度更正確、清晰地認(rèn)識、描述和把握現(xiàn)實世界.諸如納稅問題、分期付款、打折銷售、增長率、儲蓄利息、工程問題、行程問題、濃度配比等問題,?？梢猿橄蟪伞胺匠?組)”模型,通過列方程(組)加以解決.常見的四種模型1.建立“方程(組)”模型常見的四種模型2.建立“不等式(組)”模型

現(xiàn)實生活中同樣也廣泛存在著數(shù)量之間的不等關(guān)系.諸如統(tǒng)籌安排、市場營銷、生產(chǎn)決策、核定價格范圍等問題,可以通過給出的一些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,將實際問題轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的不等式(組)問題,利用不等式的有關(guān)性質(zhì)加以解決.常見的四種模型2.建立“不等式(組)”模型常見的四種模型3.建立“函數(shù)”模型

函數(shù)反映了事物間的廣泛聯(lián)系,揭示了現(xiàn)實世界眾多的數(shù)量關(guān)系及運動規(guī)律.現(xiàn)實生活中,諸如最大獲利、用料最省、最佳投資、最小成本、方案最優(yōu)化等問題,常可建立函數(shù)模型求解.常見的四種模型3.建立“函數(shù)”模型常見的四種模型4.建立“幾何”模型:

幾何與人類生活和實際密切相關(guān),諸如測量、航海、建筑、工程定位、道路拱橋設(shè)計等涉及一定圖形的性質(zhì)時,常需建立“幾何”模型,把實際問題轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.常見的四種模型4.建立“幾何”模型:常見的四種模型【對點訓(xùn)練】1.如圖，某海監(jiān)船向正西方向航行，在A處望見一艘正在作業(yè)漁船D在南偏西45°方向，海監(jiān)船航行到B處時望見漁船D在南偏東45°方向，又航行了半小時到達(dá)C處，望見漁船D在南偏東60°方向，若海監(jiān)船的速度為50nmile/h，則A，B之間的距離為_______(取≈1.7，結(jié)果精確到0.1nmile)．【對點訓(xùn)練】【解析】∵∠DBA=∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三角形，過點D作DE⊥AB于點E，則設(shè)DE=xnmile，則AB=2xnmile，在Rt△CDE中，∠DCE=30°，則在Rt△BDE中，∠DBE=45°,則DE=BE=x，由題意得，解得∴AB=2x≈2×35．7=71.4(nmile).答案：71.4nmile【解析】∵∠DBA=∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三3.某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計的學(xué)生單人桌的抽屜部分是長方體,抽屜底面周長為180cm,高為20cm.請通過計算說明,當(dāng)?shù)酌娴膶抶為何值時,抽屜的體積y最大?最大為多少?(材質(zhì)及其厚度等暫忽略不計)3.某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計的學(xué)生單人桌的抽屜部分是長方體,【解析】根據(jù)題意，得整理，得y=－20x2+1800x．∵y=－20x2+1800x=－20(x2－90x+2025)+40500=－20(x－45)2+40500，∵－20＜0，∴當(dāng)x=45時，函數(shù)有最大值，y最大值=40500，即當(dāng)?shù)酌娴膶挒?5cm時，抽屜的體積最大，最大為40500cm3．【解析】根據(jù)題意，得4.為了保護(hù)環(huán)境,某開發(fā)區(qū)綜合治理指揮部決定購買A,B兩種型號的污水處理設(shè)備共10臺.已知用90萬元購買A型號的污水處理設(shè)備的臺數(shù)與用75萬元購買B型號的污水處理設(shè)備的臺數(shù)相同,每臺設(shè)備價格及月處理污水量如下表所示:4.為了保護(hù)環(huán)境,某開發(fā)區(qū)綜合治理指揮部決定購買A,B兩種型(1)求m的值.(2)由于受資金限制,指揮部用于購買污水處理設(shè)備的資金不超過165萬元,問有多少種購買方案?并求出每月最多處理污水量的噸數(shù).(1)求m的值.【解析】(1)由題設(shè)可知解得m=18.經(jīng)檢驗m=18符合題意和分式方程.(2)由(1)可知，A型號的污水處理設(shè)備每臺18萬元，B型號的污水處理設(shè)備每臺15萬元，設(shè)購買A型號的污水處理設(shè)備x臺，則購買B型號的污水處理設(shè)備為(10-x)臺.根據(jù)題設(shè)可知，18x+15(10-x)≤165,解得x≤5.【解析】(1)由題設(shè)可知因為x是指0到10之間的整數(shù)，于是購買方案共有6種.設(shè)各種方案每月能處理的污水量為w噸，則w=220x+180(10-x)=40x+1800.由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，w隨x的增大而增大，所以當(dāng)x=5，即購買A型號，B型號的污水處理設(shè)備分別為5臺，5臺時，月處理的污水量最多為2000噸.因為x是指0到10之間的整數(shù)，于