數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)2(第二版)課件

第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算2.2邏輯代數(shù)的基本定律和運(yùn)算規(guī)則2.3復(fù)合邏輯和常用邏輯門(mén)2.4邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式2.5邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算12.1.1邏輯函數(shù)的基本概念邏輯是指事物因果之間所遵循的規(guī)律。為了避免用冗繁的文字來(lái)描述邏輯問(wèn)題，邏輯代數(shù)將事物發(fā)生的原因（條件）和結(jié)果分別用邏輯變量和邏輯函數(shù)來(lái)描述。2.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算2.1.1邏輯函數(shù)的基本概念2.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算2邏輯變量與普通代數(shù)的變量相似，可以用A、B、C和x、y、z等字母來(lái)表示。所不同的是，普通代數(shù)中變量的取值可以是任意的，而邏輯代數(shù)的變量和常量取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，因而稱為二值邏輯。必須指出，這里的邏輯0和邏輯1并不表示數(shù)量的大小，而是代表事物矛盾雙方的兩種狀態(tài)，即兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)。例如，它們可以代表事件的真、偽，對(duì)、錯(cuò)，型號(hào)的有、無(wú)，開(kāi)關(guān)的通、斷，電平的高、低等。邏輯變量與普通代數(shù)的變量相似，可以用A、B、C和x、y、3邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相似，它是隨著自變量的變化而變化的因變量。因此，如果用自變量和因變量分別表示某一事件發(fā)生的條件和結(jié)果，那么該事件的因果關(guān)系就可以用邏輯函數(shù)來(lái)描述。數(shù)字電路響應(yīng)輸入的方式稱為電路的邏輯，任何一個(gè)數(shù)字電路的輸出與輸入變量之間都存在一定的邏輯關(guān)系，并可以用邏輯函數(shù)來(lái)描述。例如，對(duì)于某電路，若輸入邏輯變量A、B、C、…的取值確定后，其輸出邏輯變量F的值也被唯一確定了，則可以稱F是A、B、C、…的邏輯函數(shù)，并記為F=f（A,B,C,…）。邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相似，它是隨著自變量的變化而變42.1.2三種基本邏輯運(yùn)算邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算有與（AND）、或（OR）、非（NOT）三種，它們可以由相應(yīng)的邏輯門(mén)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

1.與運(yùn)算（邏輯乘）與運(yùn)算（邏輯乘）表示這樣一種邏輯關(guān)系：只有當(dāng)決定一事件結(jié)果的所有條件同時(shí)具備時(shí)，結(jié)果才發(fā)生。例如在圖2.1.1所示的串聯(lián)開(kāi)關(guān)電路中，只有在開(kāi)關(guān)A和B都閉合的條件下，燈F才亮，這種燈亮與開(kāi)關(guān)閉合的關(guān)系就稱為與邏輯。如果設(shè)開(kāi)關(guān)A、B閉合為1，斷開(kāi)為0，設(shè)燈F亮為1，滅為0，則F與A、B的與邏輯關(guān)系可以用表2.1.1所示的真值表來(lái)描述。所謂真值表,就是將輸入邏輯變量的所有取值組合與其對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)值列成表格的表示形式。2.1.2三種基本邏輯運(yùn)算5圖2-1與邏輯實(shí)例圖2-1與邏輯實(shí)例6表2.1.1與邏輯真值表ABF000110110001與邏輯可以用邏輯表達(dá)式表示為 F=A·B

表2.1.1與邏輯真值表ABF07在邏輯代數(shù)中，將與邏輯稱為與運(yùn)算或邏輯乘。符號(hào)“·”表示邏輯乘，在不致混淆的情況下，常省去符號(hào)“·”。在有些文獻(xiàn)中，也采用∧、∩及&等符號(hào)來(lái)表示邏輯乘。實(shí)現(xiàn)與邏輯的單元電路稱為與門(mén)，其邏輯符號(hào)如圖2.1.2所示。其中,圖（a）為特定外形符號(hào)，圖（b）為矩形輪廓符號(hào)。這兩種符號(hào)都是IEEE/ANSI（電氣與電子工程師協(xié)會(huì)/美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)協(xié)會(huì)）認(rèn)定的圖形符號(hào)，且與IEC（國(guó)際電工協(xié)會(huì)）標(biāo)準(zhǔn)相兼容。其中,圖（a）表示的特定外形符號(hào)目前在國(guó)外教材和EDA軟件中已被普遍使用，因此本書(shū)均采用這種特定外形符號(hào)。在邏輯代數(shù)中，將與邏輯稱為與運(yùn)算或邏輯乘。符8圖2.1.2與門(mén)的邏輯符號(hào)圖2.1.2與門(mén)的邏輯符號(hào)9

2.或運(yùn)算（邏輯加）或運(yùn)算（邏輯加）表示的邏輯關(guān)系是：決定事件結(jié)果的所有條件中，只要有一個(gè)滿足，結(jié)果就會(huì)發(fā)生。例如，圖2.1.3所示的并聯(lián)開(kāi)關(guān)電路中，只要開(kāi)關(guān)A、B中有一個(gè)閉合，燈F就亮，這種燈亮與開(kāi)關(guān)閉合的關(guān)系稱為或邏輯。F與A、B的或邏輯關(guān)系可以用表2.1.2所示的真值表來(lái)描述。2.或運(yùn)算（邏輯加）10圖2.1.3或邏輯實(shí)例圖2.1.3或邏輯實(shí)例11表2.1.2或邏輯真值表

ABF0001101101１1或邏輯可以用邏輯表達(dá)式表示為F=A+B

或邏輯也稱為或運(yùn)算或邏輯加。符號(hào)“+”表示邏輯加。有些文獻(xiàn)中也采用∨、∪等符號(hào)來(lái)表示邏輯加。表2.1.2或邏輯真值表ABF000或邏輯12實(shí)現(xiàn)或邏輯的單元電路稱為或門(mén)，其邏輯符號(hào)如圖2-5所示，其中圖(a)為我國(guó)常用的傳統(tǒng)符號(hào)，圖(b)為國(guó)外流行的符號(hào)，圖(c)為國(guó)標(biāo)符號(hào)(見(jiàn)附錄一)。圖2-6是一個(gè)2輸入的二極管或門(mén)電路。圖中輸入端A、B的電位可以取兩種值：高電位+3V或低電位0V。設(shè)二極管為理想開(kāi)關(guān)，并規(guī)定高電位為邏輯1，低電位為邏輯0，則F與A、B之間邏輯關(guān)系的真值表與表2-2相同，因此實(shí)現(xiàn)了F=A+B的功能。實(shí)現(xiàn)或邏輯的單元電路稱為或門(mén)，其邏輯符號(hào)如圖213圖2.1.4或門(mén)的邏輯符號(hào)圖2.1.4或門(mén)的邏輯符號(hào)143.非運(yùn)算(邏輯反)非運(yùn)算(邏輯反)是邏輯的否定：當(dāng)條件具備時(shí)，結(jié)果不會(huì)發(fā)生；而條件不具備時(shí)，結(jié)果一定會(huì)發(fā)生。例如，在圖2-7所示的開(kāi)關(guān)電路中，只有當(dāng)開(kāi)關(guān)A斷開(kāi)時(shí)，燈F才亮，當(dāng)開(kāi)關(guān)A閉合時(shí)，燈F反而熄滅。燈F的狀態(tài)總是與開(kāi)關(guān)A的狀態(tài)相反。這種結(jié)果總是同條件相反的邏輯關(guān)系稱為非邏輯。非邏輯的真值表如表2-3所示，其邏輯表達(dá)式為通常稱A為原變量，A為反變量。3.非運(yùn)算(邏輯反)通常稱A為原變量，15圖2.1.5非邏輯實(shí)例AF0110表2.1.3非邏輯運(yùn)算真值表圖2.1.5非邏輯實(shí)例AF01表2.1.3非邏輯運(yùn)16圖2.1.6非門(mén)邏輯符號(hào)圖2.1.6非門(mén)邏輯符號(hào)172.2邏輯代數(shù)的基本定律和運(yùn)算規(guī)則2.2.1基本定律邏輯代數(shù)的基本定律如表2.2.1所示。2.2邏輯代數(shù)的基本定律和運(yùn)算規(guī)則18數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)2(第二版)課件19

1.變量和常量的關(guān)系0-1律、自等律、重疊律和互補(bǔ)律都是屬于變量和常量的關(guān)系式。由于邏輯常量只有0、1兩種取值，因此邏輯變量與常量的運(yùn)算結(jié)果可直接根據(jù)三種基本邏輯運(yùn)算的定義推出。這些定律也稱為公理，可以用來(lái)證明其他公式。1.變量和常量的關(guān)系202.與普通代數(shù)相似的定律交換律、結(jié)合律、分配律的運(yùn)算法則與普通代數(shù)相似，但是分配律中A+BC=(A+B)(A+C)在普通代數(shù)中是不成立的。該定律稱為加對(duì)乘的分配律，可以采用公式法證明。證：(A+B)(A+C)=A·A+A·B+A·C+B·C=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC因此有

A+BC=(A+B)(A+C)2.與普通代數(shù)相似的定律21表2.2.2反演律證明AB0001101111101110100010003.邏輯代數(shù)中的特殊定律反演律和還原律是邏輯代數(shù)中的特殊定律。反演律又稱為德·摩根（DeMorgan）定理，在邏輯代數(shù)中具有特殊重要的作用,它提供了一種變換邏輯表達(dá)式的方法，即可以將與運(yùn)算之非變成或運(yùn)算，將或運(yùn)算之非變成與運(yùn)算。反演律的正確性可以通過(guò)表2.2.2所示的真值表證明。表2.2.2反演律證明AB0011113.邏輯代222.2.2三個(gè)重要規(guī)則1.代入規(guī)則任何一個(gè)邏輯等式，如果將等式兩邊所出現(xiàn)的某一變量都代之以同一邏輯函數(shù)，則等式仍然成立，這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。由于邏輯函數(shù)與邏輯變量一樣，只有0、1兩種取值，所以代入規(guī)則的正確性不難理解。運(yùn)用代入規(guī)則可以擴(kuò)大基本定律的運(yùn)用范圍。例如，已知A+B=A·B(反演律)，若用F=B+C代替等式中的B，則可以得到適用于多變量的反演律，即2.2.2三個(gè)重要規(guī)則232.反演規(guī)則對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F，如果將其表達(dá)式中所有的算符“·”換成“+”，“+”換成“·”，常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則所得到的結(jié)果就是。稱為原函數(shù)F的反函數(shù)，或稱為補(bǔ)函數(shù)。反演規(guī)則是反演律的推廣，運(yùn)用它可以簡(jiǎn)便地求出一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)。例如：若則若則運(yùn)用反演規(guī)則時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：①不能破壞原式的運(yùn)算順序——先算括號(hào)里的，然后按“先與后或”的原則運(yùn)算。②不屬于單變量上的非號(hào)應(yīng)保留不變。2.反演規(guī)則若則若則24

3.對(duì)偶規(guī)則對(duì)于任何一個(gè)邏輯函數(shù)，如果將其表達(dá)式F中所有的算符“·”換成“+”,“+”換成“·”，常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則得出的邏輯函數(shù)式就是F的對(duì)偶式，記為F′(或F*)。例如：以上各例中F′是F的對(duì)偶式。不難證明F也是F′對(duì)偶式。即F與F′互為對(duì)偶式。3.對(duì)偶規(guī)則以上各例中F′是F的對(duì)偶式。不25任何邏輯函數(shù)式都存在著對(duì)偶式。若原等式成立，則對(duì)偶式也一定成立。即，如果F=G,則F′=G′。這種邏輯推理叫做對(duì)偶原理，或?qū)ε家?guī)則。必須注意，由原式求對(duì)偶式時(shí)，運(yùn)算的優(yōu)先順序不能改變，且式中的非號(hào)也保持不變。觀察前面邏輯代數(shù)基本定律和公式，不難看出它們都是成對(duì)出現(xiàn)的，而且都是互為對(duì)偶的對(duì)偶式。例如，已知乘對(duì)加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC，根據(jù)對(duì)偶規(guī)則有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加對(duì)乘的分配律也成立。任何邏輯函數(shù)式都存在著對(duì)偶式。若原等式成立262.2.3若干常用公式1.合并律在邏輯代數(shù)中，如果兩個(gè)乘積項(xiàng)分別包含了互補(bǔ)的兩個(gè)因子(如B和B)，而其它因子都相同，那么這兩個(gè)乘積項(xiàng)稱為相鄰項(xiàng)。合并律說(shuō)明，兩個(gè)相鄰項(xiàng)可以合并為一項(xiàng)，消去互補(bǔ)量。證：2.2.3若干常用公式1.合并律在邏輯27數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)2(第二版)課件282.吸收律A+AB=A證： A+AB=A(1+B)=A·1=A吸收律①說(shuō)明，兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如果一個(gè)乘積項(xiàng)的部分因子（如AB項(xiàng)中的A）恰好等于另一乘積項(xiàng)（如A）的全部，則該乘積項(xiàng)（AB）是多余的，可以消去。證：①2.吸收律證：①29該公式說(shuō)明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)乘積項(xiàng)(如A)取反后是另一個(gè)乘積項(xiàng)(如的因子，則此因子是多余的。證：推論：該公式及推論說(shuō)明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果兩個(gè)乘積項(xiàng)中的部分因子互補(bǔ)(如AB項(xiàng)和AC項(xiàng)中的A和A)，而這兩個(gè)乘積項(xiàng)中的其余因子(如B和C)都是第三個(gè)乘積項(xiàng)中的因子，則這個(gè)第三項(xiàng)是多余的。③該公式說(shuō)明，在一個(gè)與或表達(dá)式中，如果一個(gè)乘積302.3復(fù)合邏輯和常用邏輯門(mén)

2.3.1復(fù)合邏輯運(yùn)算和復(fù)合門(mén)1.與非、或非、與或非邏輯運(yùn)算與非邏輯運(yùn)算是與運(yùn)算和非運(yùn)算的組合，即或非邏輯運(yùn)算是或運(yùn)算和非運(yùn)算的組合，即與或非邏輯運(yùn)算是與、或、非三種運(yùn)算的組合，即2.3復(fù)合邏輯和常用邏輯門(mén)2.3.1復(fù)合邏輯運(yùn)算和復(fù)合31圖2.3.1與非門(mén)、或非門(mén)和與或非門(mén)的邏輯符號(hào)

圖2.3.1與非門(mén)、或非門(mén)和與或非門(mén)的邏輯符號(hào)32ABF000110110110表2.3.1異或邏輯真值表

2.異或和同或邏輯運(yùn)算異或邏輯的含義是：當(dāng)兩個(gè)輸入變量相異時(shí)，輸出為1；相同時(shí)輸出為0。是異或運(yùn)算的符號(hào)。異或運(yùn)算也稱模2加運(yùn)算。異或邏輯的真值表如表2-5所示，其邏輯表達(dá)式為ABF000表2.3.1異或邏輯真值表33表2.3.2同或邏輯真值表表2.3.2同或邏輯真值表34實(shí)現(xiàn)異或邏輯的單元電路稱為異或門(mén)，其邏輯符號(hào)如圖2.3.2（a）所示。實(shí)現(xiàn)同或邏輯的單元電路稱為同或門(mén)，其邏輯符號(hào)如圖2.3.2（b）所示。圖中第一行均為特定外形符號(hào)，第二行均為矩形輪廓符號(hào)。實(shí)現(xiàn)異或邏輯的單元電路稱為異或門(mén)，其邏輯符號(hào)如圖2.3.35圖2.3.2異或門(mén)和同或門(mén)的邏輯符號(hào)圖2.3.2異或門(mén)和同或門(mén)的邏輯符號(hào)36ABF000110111001表2.3.3異或、同或運(yùn)算的常用公式由定義和真值表可見(jiàn)，異或邏輯與同或邏輯互為反函數(shù)，即ABF001表2.3.3異或、同或運(yùn)算的常用公式37由定義和真值表可見(jiàn)，異或邏輯與同或邏輯互為反函數(shù)，即不僅如此，它們還互為對(duì)偶式。如果，G=A⊙B，不難證明F′=G,G′=F。因此可以將“”作為“⊙”的對(duì)偶符號(hào)，反之亦然。由以上分析可以看出，兩變量的異或函數(shù)和同或函數(shù)既互補(bǔ)又對(duì)偶，這是一對(duì)特殊函數(shù)。由定義和真值表可見(jiàn)，異或邏輯與同或邏輯互為反函數(shù)，即383．異或、同或運(yùn)算的常用公式異或和同或運(yùn)算的常用公式如表2.3.3所示。表中的公式可以利用真值表或前面的公式證明。3．異或、同或運(yùn)算的常用公式39表2.3.3異或、同或運(yùn)算的常用公式表2.3.3異或、同或運(yùn)算的常用公式40數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)2(第二版)課件41圖2.3.3用異或門(mén)控制同相、反相輸出圖2.3.3用異或門(mén)控制同相、反相輸出422.3.2常用邏輯門(mén)及邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式1．邏輯運(yùn)算符的完備性在邏輯代數(shù)中，與、或、非是三種最基本的邏輯運(yùn)算，用與、或、非三種運(yùn)算符和邏輯變量可以構(gòu)成任何邏輯函數(shù)，因此稱與、或、非邏輯運(yùn)算符是一組完備集。但是與、或、非三種運(yùn)算符并不是最好的完備集，因?yàn)橛盟鼘?shí)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)要使用三種不同規(guī)格的邏輯門(mén)。實(shí)際上由德·摩根定理可見(jiàn)，有了“與”和“非”便可得到“或”，有了“或”和“非”便可得到“與”，因此用“與非”、“或非”、“與或非”運(yùn)算中的任何一種都能單獨(dú)實(shí)現(xiàn)“與、或、非”運(yùn)算，這三種復(fù)合運(yùn)算每種都是完備集，而且實(shí)現(xiàn)函數(shù)只需一種規(guī)格的邏輯門(mén)，這就給設(shè)計(jì)帶來(lái)了許多方便。2.3.2常用邏輯門(mén)及邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式43

2．邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式幾種常用邏輯門(mén)的實(shí)際器件及引腳圖如圖2.3.4所示。從圖中可以看出，每個(gè)集成芯片都包含了若干個(gè)相同的邏輯門(mén)，如7400為四2輸入與非門(mén)，7402為四2輸入或非門(mén)，7404為6反相器等。當(dāng)用邏輯門(mén)實(shí)現(xiàn)某一邏輯函數(shù)時(shí)，如果選擇實(shí)際器件的功能、型號(hào)不同，則邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式也不相同，因此必須將邏輯函數(shù)式變換成相應(yīng)的形式。2．邏輯函數(shù)表達(dá)式的常用形式44圖2.3.4幾種常用邏輯門(mén)的實(shí)際器件及引腳圖圖2.3.4幾種常用邏輯門(mén)的實(shí)際器件及引腳圖45任何一個(gè)邏輯函數(shù)可以有多種邏輯函數(shù)表達(dá)式，最常用的形式有五種：與或式、或與式、與非-與非式、或非-或非式、與或非式。與或式和或與式是函數(shù)表達(dá)式的兩種基本形式。單個(gè)邏輯變量（或反變量）進(jìn)行與運(yùn)算構(gòu)成的項(xiàng)稱為“與項(xiàng)”或“乘積項(xiàng)”，由“與項(xiàng)”相“或”構(gòu)成的表達(dá)式稱為“與或”表達(dá)式或“積之和”表達(dá)式。單個(gè)邏輯變量（或反變量）進(jìn)行或運(yùn)算構(gòu)成的項(xiàng)稱為“或項(xiàng)”或“和項(xiàng)”，由“或項(xiàng)”相“與”構(gòu)成的表達(dá)式稱為“或與”表達(dá)式或“和之積”表達(dá)式。任何一個(gè)邏輯函數(shù)可以有多種邏輯函數(shù)表達(dá)式，最常用的形式有46與或式和或與式的互換可以通過(guò)兩次求反或兩次求對(duì)偶得到。將與或式兩次求反，借助反演律可得到與非-與非式；將或與式兩次求反，借助反演律可得到或非-或非式，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為與或非式。例如，某邏輯函數(shù)通過(guò)上述變換可得到以下五種形式：與或式和或與式的互換可以通過(guò)兩次求反或兩次求對(duì)偶得到。47與或式或與式與非與非式或非或非式與或非式與或式或與式與非與非式或非或非式與或非式48以上邏輯函數(shù)表達(dá)式可用圖2.3.5所示的五種邏輯電路實(shí)現(xiàn)，其中圖(c)全部用與非門(mén)實(shí)現(xiàn),只需用一片7400就夠了;圖(d)全部用或非門(mén)實(shí)現(xiàn),只需用一片7402就夠了;圖(e)只需用一片7451中的一個(gè)與或非門(mén)實(shí)現(xiàn)。顯然，采用復(fù)合門(mén)實(shí)現(xiàn)電路更加經(jīng)濟(jì)。以上邏輯函數(shù)表達(dá)式可用圖2.3.5所示的五種邏輯電路實(shí)現(xiàn)49圖2.3.5邏輯函數(shù)的五種電路形式圖2.3.5邏輯函數(shù)的五種電路形式502.3.3常用邏輯門(mén)的等效符號(hào)及有效電平1．德·摩根（DeMorgan）定理與邏輯門(mén)的等效符號(hào)德·摩根定理提供了一種變換邏輯運(yùn)算符號(hào)的方法，利用該定理可以將任何與(AND)形式的邏輯門(mén)和或（OR）形式的邏輯門(mén)互換。例如一個(gè)2輸入與非門(mén)的邏輯符號(hào)如圖2.3.6（a）所示，根據(jù)德·摩根定理 可畫(huà)出圖（b）所示的等效電路，它意味著每個(gè)輸入端接有反相器的或門(mén)等效于一個(gè)與非門(mén)。將圖（b）中的非門(mén)用小圓圈表示，則可畫(huà)出與非門(mén)的等效符號(hào)，如圖(c)所示，其輸入端的小圓圈表示非運(yùn)算。2.3.3常用邏輯門(mén)的等效符號(hào)及有效電平51圖2.3.6與非門(mén)及其等效符號(hào)圖2.3.6與非門(mén)及其等效符號(hào)52同理，在其他邏輯門(mén)標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)的基礎(chǔ)上，只要利用德·摩根定理改變其運(yùn)算符號(hào)（或變與，與變或，反相器除外），并用小圓圈表示非運(yùn)算，就可得到相應(yīng)的等效符號(hào)。圖2.3.7列出了各種邏輯門(mén)的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)和等效符號(hào)。邏輯門(mén)的等效符號(hào)可以用來(lái)對(duì)邏輯電路進(jìn)行變換或化簡(jiǎn)。必須指出，上述邏輯門(mén)的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)和等效符號(hào)都是在正邏輯體制下，用不同的符號(hào)形式描述同一邏輯功能的函數(shù)。這里的等效符號(hào)并不是負(fù)邏輯表示方法。同理，在其他邏輯門(mén)標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)的基礎(chǔ)上，只要利用德·摩根定理53圖2.3.7各種邏輯門(mén)的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)和等效符號(hào)圖2.3.7各種邏輯門(mén)的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)和等效符號(hào)54對(duì)于正邏輯體制，高電平用邏輯1表示，低電平用邏輯0表示；負(fù)邏輯體制正好相反，高電平用邏輯0表示，低電平用邏輯1表示。同一電路的輸入、輸出關(guān)系既可以用正邏輯描述，也可以用負(fù)邏輯描述。選擇邏輯體制不同，則同一電路的邏輯功能也不同。通常兩種邏輯體制的互換如下：正與非＜=＞負(fù)或非，正或非＜=＞負(fù)與非，正與＜=＞負(fù)或，正或＜=＞負(fù)與由于實(shí)際應(yīng)用中很少采用負(fù)邏輯，所以本書(shū)均采用正邏輯體制。對(duì)于正邏輯體制，高電平用邏輯1表示，低電平用邏輯0表示；552．有效電平的概念有效電平規(guī)定：當(dāng)邏輯符號(hào)的輸入或輸出引腳上沒(méi)有小圓圈時(shí)，表示該引腳是高電平有效；當(dāng)邏輯符號(hào)的輸入或輸出引腳上有小圓圈時(shí)，表示該引腳是低電平有效。例如，與非門(mén)的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)如圖2.3.8（a）所示，其輸入端沒(méi)有小圓圈而輸出端有小圓圈，因此它是輸入高電平有效，輸出低電平有效。該符號(hào)的邏輯功能可描述為：僅當(dāng)全部輸入為高電平時(shí)，輸出才為低電平。與非門(mén)的等效符號(hào)如圖2.3.8（b）所示，它是輸入低電平有效，輸出高電平有效。其邏輯功能可描述為：當(dāng)任何一個(gè)輸入為低電平時(shí)，輸出為高電平?？梢?jiàn)這兩種符號(hào)的描述方式不同，但邏輯功能是相同的。2．有效電平的概念56圖2.3.8與非門(mén)及等效符號(hào)的邏輯功能描述圖2.3.8與非門(mén)及等效符號(hào)的邏輯功能描述57有效電平的概念對(duì)于分析電路的工作狀態(tài)十分重要，特別是后面章節(jié)所講述的中、大規(guī)模集成芯片，其輸入、輸出引腳都有可能是高電平有效或低電平有效，即信號(hào)為高電平或低電平時(shí)芯片（或電路）才能完成規(guī)定的功能。因此輸入信號(hào)的電平必須與芯片（或電路）所要求的有效電平相匹配才能正常工作。有效電平的概念對(duì)于分析電路的工作狀態(tài)十分重要，特別是后面582.4邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式2.4邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式59數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)2(第二版)課件60數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)2(第二版)課件61最小項(xiàng)具有以下性質(zhì)：①n變量的全部最小項(xiàng)的邏輯和恒為1，即②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的邏輯乘恒為0，即③n變量的每一個(gè)最小項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)。例如，三變量的某一最小項(xiàng)有三個(gè)相鄰項(xiàng)：。這種相鄰關(guān)系對(duì)于邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)十分重要。最小項(xiàng)具有以下性質(zhì)：②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的邏輯乘恒622.最小項(xiàng)表達(dá)式——標(biāo)準(zhǔn)與或式如果在一個(gè)與或表達(dá)式中，所有與項(xiàng)均為最小項(xiàng)，則稱這種表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，或稱為標(biāo)準(zhǔn)與或式、標(biāo)準(zhǔn)積之和式。例如：是一個(gè)三變量的最小項(xiàng)表達(dá)式，它也可以簡(jiǎn)寫(xiě)為2.最小項(xiàng)表達(dá)式——標(biāo)準(zhǔn)與或式是一個(gè)三變量63任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式：只要將真值表中使函數(shù)值為1的各個(gè)最小項(xiàng)相或，便可得出該函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。由于任何一個(gè)函數(shù)的真值表是惟一的，因此其最小項(xiàng)表達(dá)式也是惟一的。表2.4.2真值表ABCF00000101001110010111011101101011任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式：642.4.2最大項(xiàng)和標(biāo)準(zhǔn)或與式1.最大項(xiàng)

n個(gè)變量的最大項(xiàng)是n個(gè)變量的“或項(xiàng)”，其中每一個(gè)變量都可以以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。

n個(gè)變量可以構(gòu)成2n個(gè)最大項(xiàng)。與最小項(xiàng)恰好相反，對(duì)于任何一個(gè)最大項(xiàng)，只有一組變量取值使它為0，而變量的其余取值均使它為1。最大項(xiàng)用符號(hào)Mi表示。表2.4.3列出了三變量邏輯函數(shù)的所有最小項(xiàng)和最大項(xiàng)。從表中可以看出，當(dāng)輸入變量為某一組取值時(shí)，最大項(xiàng)中對(duì)應(yīng)取值為0的用原變量表示，對(duì)應(yīng)取值為1的用反變量表示，正好與最小項(xiàng)相反。2.4.2最大項(xiàng)和標(biāo)準(zhǔn)或與式65不難發(fā)現(xiàn)，變量數(shù)相同，編號(hào)相同的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)之間存在互補(bǔ)關(guān)系，即不難發(fā)現(xiàn)，變量數(shù)相同，編號(hào)相同的最小項(xiàng)和最大66最大項(xiàng)具有以下性質(zhì)：①n變量的全部最大項(xiàng)的邏輯乘恒為0，即②n變量的任意兩個(gè)不同的最大項(xiàng)的邏輯和必等于1，即③n變量的每個(gè)最大項(xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)。例如，三變量的某一最大項(xiàng)有三個(gè)相鄰項(xiàng)：最大項(xiàng)具有以下性質(zhì)：②n變量的任意兩個(gè)不同的最大項(xiàng)的67數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)2(第二版)課件68

【例2.4.2】已知F的真值表如表2.4.4所示。試寫(xiě)出函數(shù)F的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)表達(dá)式。

解：在F的真值表中首先求出F的反函數(shù)F。F和F的最小項(xiàng)表達(dá)式為【例2.4.2】已知F的真值表如表2.4.4所示。試寫(xiě)出69表2.4.4例2.4.2真值表ABCFF0000010100111001011101111010010110100101表2.4.4例2.4.2真值表ABCF702.5邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)法2.5.1代數(shù)化簡(jiǎn)法

1.并項(xiàng)法利用公式AB+AB=A將兩項(xiàng)合并成一項(xiàng)，并消去互補(bǔ)因子。如：2.5邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)法2.5.1代數(shù)化簡(jiǎn)法利用公式A712.吸收法利用吸收律A+AB=A、和吸收(消去)多余的乘積項(xiàng)或多余的因子。如：2.吸收法723.配項(xiàng)法利用重疊律A+A=A、互補(bǔ)律A+A=1和吸收律AB+AC+BC=AB+AC先配項(xiàng)或添加多余項(xiàng)，然后再逐步化簡(jiǎn)。如：(添多余項(xiàng)AB)(去掉多余項(xiàng)AB)3.配項(xiàng)法(添多余項(xiàng)AB)(去掉多余項(xiàng)A73數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)2(第二版)課件742.5.2卡諾圖化簡(jiǎn)法卡諾圖（KarnaughMap）由美國(guó)工程師卡諾（Karnaugh）首先提出，故稱卡諾圖，簡(jiǎn)稱K圖。它是一種按相鄰規(guī)則排列而成的最小項(xiàng)方格圖，利用相鄰項(xiàng)不斷合并的原則可以使邏輯函數(shù)得到化簡(jiǎn)。由于這種圖形化簡(jiǎn)法簡(jiǎn)單而直觀，因而得到了廣泛應(yīng)用。2.5.2卡諾圖化簡(jiǎn)法751.卡諾圖的構(gòu)成在邏輯函數(shù)的真值表中，輸入變量的每一種組合都和一個(gè)最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)，這種真值表也稱最小項(xiàng)真值表。卡諾圖就是根據(jù)最小項(xiàng)真值表按一定規(guī)則排列的方格圖。例如，三變量最小項(xiàng)真值表如表2.5.1所示，畫(huà)三變量K圖時(shí)首先畫(huà)出八個(gè)小方格，并將輸入變量A、B、C按行和按列分為兩組表示在方格圖的頂端，變量的取值分別按格雷碼排列。行、列變量交叉處的小方格就是輸入變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)，這樣便構(gòu)成了圖2.5.1（a）所示的三變量K圖。由圖可見(jiàn)，由于行、列變量的取值都按格雷碼排列，因此每?jī)蓚€(gè)相鄰方格中的最小項(xiàng)都是相鄰項(xiàng)。為了便于書(shū)寫(xiě)和記憶，K圖各方格內(nèi)的最小項(xiàng)也可以用最小項(xiàng)符號(hào)mi或編號(hào)i表示，分別如圖2.5.1（b）、（c）所示。1.卡諾圖的構(gòu)成76表2.5.1三變量最小項(xiàng)表2.5.1三變量最小項(xiàng)77圖2.5.1三變量K圖圖2.5.1三變量K圖78圖2.5.2四變量、五變量K圖圖2.5.2四變量、五變量K圖79從以上分析可以看出，K圖具有如下特點(diǎn)：(1)n變量的卡諾圖有2n個(gè)方格，對(duì)應(yīng)表示2n個(gè)最小項(xiàng)。每當(dāng)變量數(shù)增加一個(gè)，卡諾圖的方格數(shù)就會(huì)擴(kuò)大一倍。(2)卡諾圖中任何相鄰位置的兩個(gè)最小項(xiàng)都是相鄰項(xiàng)。變量取值的順序按格雷碼排列，以確保各相鄰行（列）之間只有一個(gè)變量取值不同，從而保證了卡諾圖具有這一重要特點(diǎn)。相鄰位置包括三種情況：一是相接，即緊挨著；二是相對(duì)，即任意一行或一列的兩頭；三是相重，即對(duì)折起來(lái)位置重合。從以上分析可以看出，K圖具有如下特點(diǎn)：80數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)2(第二版)課件811.給出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式只要將構(gòu)成邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)在卡諾圖上相應(yīng)的方格中填1，其余的方格填0(或不填)，則可以得到該函數(shù)的卡諾圖。也就是說(shuō)，任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填1的那些最小項(xiàng)之和。例如，用卡諾圖表示函數(shù)時(shí)，只需在三變量卡諾圖中將m0、m3、m4、m6處填1，其余填0(或不填)，如圖2.5.3所示。2.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1.給出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式2.邏輯函82圖2.5.3F1的卡諾圖圖2.5.3F1的卡諾圖83

2).給出邏輯函數(shù)的一般與或式將一般與或式中每個(gè)與項(xiàng)在卡諾圖上所覆蓋的最小項(xiàng)處都填1，其余的填0(或不填)，就可以得到該函數(shù)的卡諾圖。例如，用卡諾圖表示函數(shù)時(shí)，先確定使每個(gè)與項(xiàng)為1的輸入變量取值，然后在該輸入變量取值所對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填1。2).給出邏輯函數(shù)的一般與或式84數(shù)字電子技術(shù)基礎(chǔ)2(第二版)課件85圖2.5.4F2的卡諾圖圖2.5.4F2的卡諾圖863)給出邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式只要將構(gòu)成邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)在卡諾圖相應(yīng)的方格中填0，其余的方格填1即可。也就是說(shuō)，任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填0的那些最大項(xiàng)之積。例如，函數(shù)的卡諾圖如圖2.5.5所示。必須注意，在卡諾圖中最大項(xiàng)的編號(hào)與最小項(xiàng)編號(hào)是一致的，但對(duì)應(yīng)輸入變量的取值是相反的。3)給出邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式87圖2.5.5F3的卡諾圖圖2.5.5F3的卡諾圖884)給出邏輯函數(shù)的一般或與式將一般或與式中每個(gè)或項(xiàng)在卡諾圖上所覆蓋的最大項(xiàng)處都填0，其余的填1即可。例如，將函數(shù)填入卡諾圖時(shí)，先確定使每個(gè)或項(xiàng)為0時(shí)輸入變量的取值，然后在該取值所對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填0。當(dāng)ABC=1×0時(shí)，該或項(xiàng)為0，對(duì)應(yīng)兩個(gè)方格(M4、M6)處填0。當(dāng)ABC=×10時(shí)，該或項(xiàng)為0，對(duì)應(yīng)兩個(gè)方格(M2、M6)處填0。4)給出邏輯函數(shù)的一般或與式當(dāng)ABC=1×89圖2.5.6F4的卡諾圖圖2.5.6F4的卡諾圖903.最小項(xiàng)合并規(guī)律在卡諾圖中，凡是幾何位置相鄰的最小項(xiàng)均可以合并。兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去一個(gè)互補(bǔ)變量。在卡諾圖上該合并圈稱為單元圈，它所對(duì)應(yīng)的與項(xiàng)由圈內(nèi)沒(méi)有變化的那些變量組成，可以直接從卡諾圖中讀出。例如，圖2-19(a)中m1、m3合并為，圖2.5.7(b)中m0、m4合并為。任何兩個(gè)相鄰的單元K圈也是相鄰項(xiàng)，仍然可以合并，消去互補(bǔ)變量。因此，如果K圈越大，消去的變量數(shù)就越多。3.最小項(xiàng)合并規(guī)律在卡諾圖中，凡是幾何位置91圖2.5.7(c)、(d)表示四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去了兩個(gè)變量，合并后積項(xiàng)由K圈對(duì)應(yīng)的沒(méi)有變化的那些變量組成。圖2.5.7(c)中m0、m1、m4、m5合并為，圖2-19(d)中m0、m2、m8、m10合并為，m5、m7、m13、m15合并為BD，m12、m13、m15、m14合并為AB。圖2.5.7(e)表示八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并為一項(xiàng)，消去了三個(gè)變量，即圖2.5.7(c)、(d)表示四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合92圖2.5.7最小項(xiàng)合并規(guī)律圖2.5.7最小項(xiàng)合并規(guī)律93綜上所述，最小項(xiàng)合并有以下特點(diǎn)：①任何一個(gè)合并圈(即卡諾圈)所含的方格數(shù)為2i個(gè)。②必須按照相鄰規(guī)則畫(huà)卡諾圈，幾何位置相鄰包括三種情況：一是相接，即緊挨著的方格相鄰；二是相對(duì)，即一行(或一列)的兩頭、兩邊、四角相鄰；三是相重，即以對(duì)稱軸為中心對(duì)折起來(lái)重合的位置相鄰。③2m個(gè)方格合并，消去m個(gè)變量。合并圈越大，消去的變量數(shù)越多。需要指出，上述最小項(xiàng)的合并規(guī)則，對(duì)最大項(xiàng)的合并同樣是適用的。只是因?yàn)樽畲箜?xiàng)是與函數(shù)的0值相對(duì)應(yīng)，在卡諾圖中則與0格對(duì)應(yīng)，因此，最大項(xiàng)的合并在卡諾圖中是相鄰的0格圈在一起。綜上所述，最小項(xiàng)合并有以下特點(diǎn)：944.用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)1)將函數(shù)化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式在卡諾圖上以最少的卡諾圈數(shù)和盡可能大的卡諾圈覆蓋所有填1的方格，即滿足最小覆蓋，就可以求得邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與或式?；?jiǎn)的一般步驟如下：(1)填卡諾圖，即用卡諾圖表示邏輯函數(shù)。(2)畫(huà)卡諾圈合并最小項(xiàng)。選擇卡諾圈的原則是：先從只有一種圈法的1格圈起，卡諾圈的數(shù)目應(yīng)最少（與項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)最少），卡諾圈應(yīng)最大（對(duì)應(yīng)與項(xiàng)中變量數(shù)最少）。4.用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)95(3)寫(xiě)出最簡(jiǎn)函數(shù)式。將每個(gè)卡諾圈寫(xiě)成相應(yīng)的與項(xiàng)，并將它們相或，便得到最簡(jiǎn)與或式。圈卡諾圈時(shí)應(yīng)注意，根據(jù)重疊律（A+A=A）,任何一個(gè)1格可以多次被圈用，但如果在某個(gè)K圈中所有的1格均已被別的K圈圈過(guò)，則該圈是多余圈。為了避免出現(xiàn)多余圈，應(yīng)保證每個(gè)K圈至少有一個(gè)1格只被圈一次。(3)寫(xiě)出最簡(jiǎn)函數(shù)式。將每個(gè)卡諾圈寫(xiě)成相應(yīng)的與96【例2.5.1】求 化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式。

解：(1)畫(huà)出F的K圖,如圖2.5.8?！纠?.5.1】求 化97圖2.5.8例2.5.1的卡諾圖圖2.5.8例2.5.1的卡諾圖98②畫(huà)K圈。按照最小項(xiàng)合并規(guī)律，將可以合并的最小項(xiàng)分別圈起來(lái)。根據(jù)化簡(jiǎn)原則，應(yīng)選擇最少的K圈和盡可能大的K圈覆蓋所有的1格。首先選擇只有一種圈法的BC，剩下四個(gè)1格(m1、m3、m10、m11)用兩個(gè)K圈覆蓋?？梢?jiàn)一共只要用三個(gè)K圈即可覆蓋全部1格。③寫(xiě)出最簡(jiǎn)式。②畫(huà)K圈。按照最小項(xiàng)合并規(guī)律，將可以合并的最99解：①畫(huà)出F的K圖。給出的F為一般與或式，將每個(gè)與項(xiàng)所覆蓋的最小項(xiàng)都填1，K圖如圖2.5.9所示。【例2.5.2】用卡諾圖將以下函數(shù)式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式:解：①畫(huà)出F的K圖。給出的F為一般與或式，100圖2.5.9例2.5.2的卡諾圖圖2.5.9例2.5.2的卡諾圖101②畫(huà)K圈化簡(jiǎn)函數(shù)。③寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或式。本例有兩種圈法，都可以得到最簡(jiǎn)式。按圖2.5.9(a)圈法：按圖2.5.9(b)圈法：該例說(shuō)明，邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)式不是惟一的。②畫(huà)K圈化簡(jiǎn)函數(shù)。按圖2.5.9(b)圈法：該例說(shuō)102【例2.5.3】用卡諾圖將以下函數(shù)式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或式:

解：①畫(huà)F的K圖。這是一個(gè)五變量邏輯函數(shù)，按五變量K圖中的編號(hào)填圖，得出F的K圖如圖2.5.10所示?！纠?.5.3】用卡諾圖將以下函數(shù)式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與103圖2.5.10例2.5.3的卡諾圖圖2.5.10例2.5.3的卡諾圖104(2)畫(huà)K圈化簡(jiǎn)函數(shù)。先找只有一種圈法的最小項(xiàng)：(2)畫(huà)K圈化簡(jiǎn)函數(shù)。先找只有一種圈法的最小項(xiàng)：105③寫(xiě)出最簡(jiǎn)式。③寫(xiě)出最簡(jiǎn)式。106【例2.5.4】用卡諾圖將以下函數(shù)式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)或與式:F=∑m(1,3,4,5,6,7,9,11,13)解:（1）畫(huà)出F的K圖，如圖2.5.11所示。【例2.5.4】用卡諾圖將以下函數(shù)式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)或與式:F107圖2.5.11例2.5.4的卡諾圖圖2.5.11例2.5.4的卡諾圖108（2）畫(huà)K圈，合并0格。其規(guī)律與圈1相同，即K圈的數(shù)目應(yīng)最少，K圈應(yīng)最大。本例用三個(gè)K圈覆蓋所有0格。（3）寫(xiě)出最簡(jiǎn)或與式：（2）畫(huà)K圈，合并0格。其規(guī)律與圈1相同，即K109圖2.5.12例2.5.5的卡諾圖