彈性力學(xué)ppt課件考試題剖析

任何一個(gè)實(shí)際的彈性力學(xué)問題都是空間問題求解復(fù)雜的偏微分方程組的邊值問題求解困難工程結(jié)構(gòu)的形狀和受力具有一定特點(diǎn)彈性力學(xué)的平面問題特點(diǎn)：某些基本未知量被限制在平面內(nèi)發(fā)生的任何一個(gè)實(shí)際的彈性力學(xué)問題都是空間問題求解復(fù)雜的偏微分方程組12.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題深梁：(1)幾何特征一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸小得多。如：深梁，板式吊鉤，旋轉(zhuǎn)圓盤，工字形梁的腹板等——平板yxOzyd/2d/2ba2.1平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題深梁：(1)2深梁：yxOzyd/2d/2ba(2)受力特征外力（體力、面力）和約束，僅平行于板面作用，沿z

方向不變化。深梁：yxOzyd/2d/2ba(2)受力特征3因板很薄，外力不沿厚度z變化，應(yīng)力沿板厚度連續(xù)分布，可認(rèn)為整個(gè)薄板的各點(diǎn)都有：由切應(yīng)力互等可得yxOzyd/2d/2ba(3)應(yīng)力特征如圖選取坐標(biāo)系，以板的中面為xy平面，垂直于中面的任一直線為z軸。由于板面上不受力，有因板很薄，外力不沿厚度z變化，應(yīng)力沿板厚度連續(xù)分布，可認(rèn)46個(gè)應(yīng)力分量只剩下平行于xy面的三個(gè)平面應(yīng)力分量，即、、這三個(gè)平面應(yīng)力分量雖沿厚度方向有變化，但由于板很薄，這種變化也是不明顯的，因此可認(rèn)為是不沿厚度變化。它們只是x和y的函數(shù)，不隨z而變化。三個(gè)變形分量也可認(rèn)為是不沿厚度變化。它們只是x和y的函數(shù)，不隨z而變化。結(jié)論：xy6個(gè)應(yīng)力分量只剩下平行于xy面的三個(gè)平面5平面應(yīng)變問題(1)幾何特征一個(gè)方向的尺寸比另兩個(gè)方向的尺寸大得多，且沿長(zhǎng)度方向幾何形狀和尺寸不變化。——近似認(rèn)為無限長(zhǎng)水壩滾柱厚壁圓筒平面應(yīng)變問題(1)幾何特征一個(gè)方向的尺6因此，柱形體變形時(shí)，橫截面上各點(diǎn)只能在其自身平面（xy面）內(nèi)移動(dòng)，而不能沿Oz軸方向移動(dòng)，即位移分量與z無關(guān)，而只是x和y的函數(shù)。位移分量可寫成(2)外力特征外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿長(zhǎng)度z方向不變化。約束——沿長(zhǎng)度z方向不變化。(3)位移、變形和應(yīng)力特征因此，柱形體變形時(shí)，橫截面上各點(diǎn)只能在其自身平面7同理，應(yīng)力分量和變形分量也都與z無關(guān)，而只是x和y的函數(shù)。由對(duì)稱條件易知由胡克定律知

w處處為零，，而sz一般不為零。只剩下平行于xy面的三個(gè)應(yīng)變分量：ex、ey、gxy同理，應(yīng)力分量和變形分量也都與z無關(guān)，而只是8

平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的區(qū)別：z向位移正應(yīng)變分量z向正應(yīng)力平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的區(qū)別：z向位移正應(yīng)9如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面應(yīng)力問題還是平面應(yīng)變問題？平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題非平面問題如圖所示三種情形，是否都屬平面問題？是平面10平面問題的求解問題：已知：外力（體力、面力）、邊界條件，求：——僅為xy的函數(shù)平面問題的求解問題：已知：外力（體力、面力）、邊界條件，求：11需建立三個(gè)方面的關(guān)系：（1）靜力學(xué)關(guān)系：（2）幾何學(xué)關(guān)系：（3）物理學(xué)關(guān)系：形變與應(yīng)力間的關(guān)系。應(yīng)力與體力、面力間的關(guān)系；形變與位移間的關(guān)系；建立邊界條件：——平衡微分方程——幾何方程——物理方程（1）應(yīng)力邊界條件；（2）位移邊界條件；需建立三個(gè)方面的關(guān)系：（1）靜力學(xué)關(guān)系：（2）幾何學(xué)關(guān)系：（122.2平衡微分方程物體在外力（含體力和面力）作用下處于平衡狀態(tài)，則將其分割成若干任意形狀的單元體后，每個(gè)單元體仍然平衡；反之，分割后每個(gè)單元體的平衡，也保證了整個(gè)物體的平衡。從薄板或柱形體中取出一個(gè)微小正平行六面體作為單元體，其x和y方向的尺寸分別為dx和dy，z方向的尺寸為一個(gè)單位長(zhǎng)度。2.2平衡微分方程物體在外力（含體力和面力）13應(yīng)力分量是x和y的函數(shù)，設(shè)左面的正應(yīng)力為sx

，則右面的正應(yīng)力為略去二階及其以上微量

，則右面的正應(yīng)力為同理，左面切應(yīng)力為txy

，則右面的切應(yīng)力為設(shè)上面正應(yīng)力為sy

，則下面的正應(yīng)力為設(shè)上面切應(yīng)力為tyx

，則下面的切應(yīng)力為應(yīng)力分量是x和y的函數(shù)，設(shè)左面的正應(yīng)力14六面體的體力均勻分布，作用于六面體的體積中心C，記為fx和fy

。xyCfxfyO六面體的體力均勻分布，作用于六面體的體積中心15xyCfxfyOxyCfxfyO16xyCfxfyOxyCfxfyO17xyCfxfyOxyCfxfyO18平衡微分方程2個(gè)方程，三個(gè)未知量sx、sy、tyx=txy決定應(yīng)力分量的問題是超靜定的，還必須考慮物理和幾何方面的條件，才能解決問題。平衡微分方程2個(gè)方程，三個(gè)未知量sx、sy、tyx=192.3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1.應(yīng)力狀態(tài)：通過物體內(nèi)同一點(diǎn)可作無數(shù)個(gè)方位不同的截面，各個(gè)截面上的應(yīng)力一般來說是不同的。物體內(nèi)同一點(diǎn)各個(gè)截面上的應(yīng)力情況稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。xyPOxyOPABpnpypxsntn2.3平面問題中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1.應(yīng)力狀態(tài)：通過物體內(nèi)同20斜面AB的外法線方向n的方向余弦為xyOPABpnpypxsntn設(shè)AB的長(zhǎng)度為ds，則PA=mds，PB=lds，SPAB

=lds

mds/2同理可得斜面AB的外法線方向n的方向余弦為xyOPA21斜面AB上的正應(yīng)力xyOPABpnpypxsntn斜面AB上的切應(yīng)力斜面AB上的正應(yīng)力xyOPABpnpypxsnt222.主應(yīng)力、應(yīng)力主面、應(yīng)力主向若經(jīng)過P點(diǎn)的某一斜面上的切應(yīng)力等于零，則該斜面上的主應(yīng)力稱為在P點(diǎn)的一個(gè)主應(yīng)力，而該斜面稱為在P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主面，該斜面的法線方向稱為在P點(diǎn)的一個(gè)應(yīng)力主向。應(yīng)力主面上切應(yīng)力為零，全應(yīng)力就等于主應(yīng)力，即p=sn=s。則px=l

s，

py=m

s2.主應(yīng)力、應(yīng)力主面、應(yīng)力主向若經(jīng)過P點(diǎn)的23求得兩個(gè)主應(yīng)力為兩個(gè)主應(yīng)力也就是最大與最小的正應(yīng)力。求得兩個(gè)主應(yīng)力為兩個(gè)主應(yīng)力也就是最大與最小的正應(yīng)力。24設(shè)s1與x軸的夾角為a1，則主應(yīng)力s1的方向與主應(yīng)力s2的方向相互垂直。設(shè)s2與x軸的夾角為a2，則，即在與x軸及y軸成45o

的斜面上，切應(yīng)力達(dá)到極值設(shè)s1與x軸的夾角為a1，則主應(yīng)力s1的方向與主252.4幾何方程、剛體位移幾何方程：位移分量與變形分量之間的關(guān)系式。OxyPBAuvab經(jīng)過彈性體內(nèi)的任一點(diǎn)P，沿x軸和y軸正方向取兩個(gè)微小長(zhǎng)度的線段PA=dx和PB=dy。一點(diǎn)的變形線段的伸長(zhǎng)或縮短；線段間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；考察P點(diǎn)鄰域內(nèi)線段的變形：2.4幾何方程、剛體位移幾何方程：位移分量與變形分量之間的26OxyPBAuvab變形前變形后PABuv注：這里略去了二階以上高階無窮小量。OxyPBAuvab變形前變形后PABuv注：這里略去了二階27PA的正應(yīng)變：PB的正應(yīng)變：OxyPBAuvabPA的正應(yīng)變：PB的正應(yīng)變：OxyPBAuvab28P點(diǎn)的切應(yīng)變：P點(diǎn)兩直角線段夾角的變化OxyPBAuvabP點(diǎn)的切應(yīng)變：P點(diǎn)兩直角線段夾角的變化OxyPBAuvab29當(dāng)u、v

已知，則ex、ey、gxy可完全確定；反之，已知ex、ey、gxy，不能確定u、v。整理得：——幾何方程（2-8）說明：（1）反映任一點(diǎn)的位移與該點(diǎn)應(yīng)變間的關(guān)系，是彈性力學(xué)的基本方程之一。（2）（∵積分需要確定積分常數(shù)，由邊界條件決定。）（3）——以兩線段夾角減小為正，增大為負(fù)。gxy當(dāng)u、v已知，則ex、ey、gxy可完全確定；反30物體無變形，只有剛體位移。即：

(a)(b)(c)由(a)、(b)可求得：(d)將(d)代入(c)，得：物體無變形，只有剛體位移。即：31或?qū)懗桑骸呱鲜街?，左邊僅為y

的函數(shù)，右邊僅x的函數(shù)，∴兩邊只能等于同一常數(shù)，即

(d)積分(e)，得：(e)其中，u0、v0為積分常數(shù)。（x、y方向的剛體位移），代入（d）得:(2-9)——?jiǎng)傮w位移表達(dá)式或?qū)懗桑骸呱鲜街?，左邊僅為y32討論：(2-9)——?jiǎng)傮w位移表達(dá)式（1）僅有x方向平移。（2）僅有y方向平移。討論：(2-9)——?jiǎng)傮w位移表達(dá)式（33（3）說明：——P點(diǎn)沿切向繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)ω——繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度（剛性轉(zhuǎn)動(dòng)）xyOPyxr（3）說明：——P點(diǎn)沿切向繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)ω——繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過的342.5物理方程建立：平面問題中應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系物理方程也稱：本構(gòu)方程、本構(gòu)關(guān)系、物性方程。2.5物理方程建立：平面問題中應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系物理方程也35（2-10）其中：E為拉壓彈性模量；G為剪切彈性模量；m為側(cè)向收縮系數(shù)，又稱泊松比。在完全彈性和各向同性的情況下，物性方程即為材料力學(xué)中的廣義虎克（Hooke）定律。（2-10）其中：E為拉壓彈性模量；G為剪切彈性模量；m為36（1）平面應(yīng)力問題的物理方程由于平面應(yīng)力問題中（2-12）——平面應(yīng)力問題的物理方程（1）平面應(yīng)力問題的物理方程由于平面應(yīng)力問題中（2-12）—37注：(1)(2)——物理方程的另一形式平面應(yīng)力問題的物理方程注：(1)(2)——物理方程的另一形式平面應(yīng)力問題的物38（2）平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變問題中（2-13）——平面應(yīng)變問題的物理方程（2）平面應(yīng)變問題的物理方程平面應(yīng)變問題中（2-13）——39注：(2)平面應(yīng)變問題物理方程的另一形式：(1)平面應(yīng)變問題中，但？平面應(yīng)變問題的物理方程注：(2)平面應(yīng)變問題物理方程的另一形式：(1)平面應(yīng)40（3）兩類平面問題物理方程的轉(zhuǎn)換：(1)平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：(2)平面應(yīng)變問題平面應(yīng)力問題材料常數(shù)的轉(zhuǎn)換為：（3）兩類平面問題物理方程的轉(zhuǎn)換：(1)平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變412.6邊界條件1.彈性力學(xué)平面問題的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）幾何方程：（2-8）2.6邊界條件1.彈性力學(xué)平面問題的基本方程（1）平衡42（3）物理方程：（2-12）未知量數(shù)：8個(gè)方程數(shù)：8個(gè)結(jié)論：在適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件下，上述8個(gè)方程可解。（3）物理方程：（2-12）未知量數(shù)：8個(gè)方程數(shù)：8個(gè)結(jié)論：432.邊界條件及其分類邊界條件：建立邊界上的物理量與內(nèi)部物理量間的關(guān)系。xyOqP是力學(xué)計(jì)算模型建立的重要環(huán)節(jié)。邊界分類（1）位移邊界（2）應(yīng)力邊界（3）混合邊界——三類邊界2.邊界條件及其分類邊界條件：建立邊界上的物理量與內(nèi)部物理44（1）位移邊界條件位移分量已知的邊界——位移邊界用us、

vs表示邊界上的位移分量，表示邊界上位移分量的已知函數(shù)，則位移邊界條件可表達(dá)為：（2-14）——

平面問題的位移邊界條件說明：稱為固定位移邊界。（1）位移邊界條件位移分量已知的邊界——位移邊界45（2）應(yīng)力邊界條件給定面力分量邊界——應(yīng)力邊界xyOdxdydsPABpxpyn由前面斜面的應(yīng)力分析，得式中取：得到：（2-15）式中：l、m

為邊界外法線關(guān)于x、y軸的方向余弦?！?/p>

平面問題的應(yīng)力邊界條件（2）應(yīng)力邊界條件給定面力分量邊46垂直x軸的邊界：垂直y軸的邊界：（2-15）——

平面問題的應(yīng)力邊界條件垂直x軸的邊界：垂直y軸的邊界：（2-15）——平47例1如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1)(2)(3)例1如圖所示，試寫出其邊界條件。xyahhq(1)(2)(348(4)說明：x=0的邊界條件，是有矛盾的。由此只能求出結(jié)果：xyahhq(4)說明：x=0的邊界條件，是有矛盾的。由此只能求出49例2如圖所示，試寫出其邊界條件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：代入邊界條件公式，有(2)BC段（x=l）：n例2如圖所示，試寫出其邊界條件。(1)ABCxyhp(x)p50(3)AC段（y=xtan

β）:ABCxyhp(x)p0ln(3)AC段（y=xtanβ）:ABCxyhp(x)p51例3圖示水壩，試寫出其邊界條件。左側(cè)面：由應(yīng)力邊界條件公式，有右側(cè)面：例3圖示水壩，試寫出其邊界條件。左側(cè)面：由應(yīng)力邊界條件公式，52例4圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，證明在板中間突出部分的尖點(diǎn)A處無應(yīng)力存在。解：——平面應(yīng)力問題，在AC、AB邊界上無面力作用。即AB邊界：由應(yīng)力邊界條件公式，有（1）例4圖示薄板，在y方向受均勻拉力作用，證明在板中間突出部分的53AC邊界：代入應(yīng)力邊界條件公式，有（2）∵A點(diǎn)同處于AB和AC的邊界，∴滿足式（1）和（2），解得∴A點(diǎn)處無應(yīng)力作用AC邊界：代入應(yīng)力邊界條件公式，有（2）∵A點(diǎn)同處于A54例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。圖示構(gòu)件，試寫出其邊界條件。例6例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。圖示構(gòu)件，試寫出其邊界條件55例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。上側(cè)：下側(cè)：例5圖示楔形體，試寫出其邊界條件。上側(cè)：下側(cè)：56圖示構(gòu)件，試寫出其應(yīng)力邊界條件。例6上側(cè)：下側(cè)：N圖示構(gòu)件，試寫出其應(yīng)力邊界條件。例6上側(cè)：下側(cè)：N57（3）混合邊界條件(1)物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部為應(yīng)力邊界。(2)物體的同一部分邊界上，其中一個(gè)為位移邊界條件，另一為應(yīng)力邊界條件。如：圖(a)：——位移邊界條件——應(yīng)力邊界條件圖(b)：——位移邊界條件——應(yīng)力邊界條件（3）混合邊界條件(1)物體上的一部分邊界為位移邊界，另一部58平面問題的基本方程1.平衡微分方程（2-2）2.幾何方程（2-8）3.物理方程（平面應(yīng)力問題）（2-12）4.邊界條件位移：（2-14）應(yīng)力：（2-15）平面問題的基本方程1.平衡微分方程（2-2）2.592.7圣維南原理問題的提出：FFF求解彈性力學(xué)問題時(shí)，使應(yīng)力分量、形變分量、位移分量完全滿足8個(gè)基本方程相對(duì)容易，但要使邊界條件完全滿足，往往很困難。如圖所示，其力的作用點(diǎn)處的邊界條件無法列寫。F2.7圣維南原理問題的提出：FFF求解彈601.靜力等效的概念兩個(gè)力系，若它們的主矢量、主矩相等，則兩個(gè)力系為靜力等效力系。

這種等效只是從平衡的觀點(diǎn)而言的，對(duì)剛體來而言完全正確，但對(duì)變形體而言一般是不等效的。1.靜力等效的概念兩個(gè)力系，若它們的主矢量612.圣維南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，而遠(yuǎn)處所受的影響可忽略不計(jì)。PPPP/2P/22.圣維南原理(Saint-VenantPrincip623.圣維南原理的應(yīng)用(1)對(duì)復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面力代替。(2)有些位移邊界不易滿足時(shí)，也可用靜力等效的分布面力代替。注意事項(xiàng)：(1)必須滿足靜力等效條件；(2)只能在次要邊界上用圣維南原理，在主要邊界上不能使用。如：AB主要邊界P次要邊界3.圣維南原理的應(yīng)用(1)對(duì)復(fù)雜的力邊界，用靜力等效的分布面63例7圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試寫出水壩的應(yīng)力邊界條件。左側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式右側(cè)面：代入應(yīng)力邊界條件公式，有例7圖示矩形截面水壩，其右側(cè)受靜水壓力，頂部受集中力作用。試64上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：對(duì)O點(diǎn)的力矩等效：x方向力等效：注意：必須按正向假設(shè)！上端面：為次要邊界，可由圣維南原理求解。y方向力等效：對(duì)O點(diǎn)65xy上端面：（方法2）取圖示微元體，可見，與前面結(jié)果相同。注意：必須按正向假設(shè)！由微元體的平衡求得，xy上端面：（方法2）取圖示微元體，可見，與前面結(jié)果相同。注662.8按位移求解平面問題1.彈性力學(xué)平面問題的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）幾何方程：（2-8）2.8按位移求解平面問題1.彈性力學(xué)平面問題的基本方程（167（3）物理方程：（2-12）（4）邊界條件：（1）（2）（3）物理方程：（2-12）（4）邊界條件：（1）（2）682.彈性力學(xué)問題的求解方法（1）按位移求解（位移法、剛度法）以u(píng)、v

為基本未知函數(shù)，將平衡方程和邊界條件都用u、v

表示，并求出u、v，再由幾何方程、物理方程求出應(yīng)力與形變分量。（2）按應(yīng)力求解（力法，柔度法）以應(yīng)力分量

為基本未知函數(shù)，將所有方程都用應(yīng)力分量表示，并求出應(yīng)力分量，再由幾何方程、物理方程求出形變分量與位移。（3）混合求解以部分位移分量

和部分應(yīng)力分量

為基本未知函數(shù)，將，并求出這些未知量，再求出其余未知量。2.彈性力學(xué)問題的求解方法（1）按位移求解（位移法、剛度法）693.按位移求解平面問題的基本方程（1）將平衡方程用位移表示由應(yīng)變表示的物理方程將幾何方程代入，有（2-16）（2-17）3.按位移求解平面問題的基本方程（1）將平衡方程用位移表示70將式(2-17)代入平衡方程，化簡(jiǎn)有（2-18）將式(2-17)代入平衡方程，化簡(jiǎn)有（2-18）71（2）將邊界條件用位移表示位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：（2-17）（2-14）（2）將邊界條件用位移表示位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：（2-72將式（2-17）代入，得（2-19）式（2-18）、（2-14）、（2-19）構(gòu)成按位移求解問題的基本方程說明：（1）對(duì)平面應(yīng)變問題，只需將式中的E、μ作相替換即可。（2）一般不用于解析求解，作為數(shù)值求解的基本方程。將式（2-17）代入，得（2-19）式（2-18）、（2-173（3）按位移求解平面問題的基本方程（1）平衡方程：（2-18）（2）邊界條件：位移邊界條件：（2-14）應(yīng)力邊界條件：（2-19）（3）按位移求解平面問題的基本方程（1）平衡方程：（2-18742.9按應(yīng)力求解平面問題相容方程按應(yīng)力求解平面問題的未知函數(shù)：（2-2）平衡微分方程：2個(gè)方程方程，3個(gè)未知量，為超靜定問題。需尋求補(bǔ)充方程，從形變、形變與應(yīng)力的關(guān)系建立補(bǔ)充方程。2.9按應(yīng)力求解平面問題相容方程按應(yīng)力求解平面問題的751.變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）將幾何方程：（2-8）作如下運(yùn)算：顯然有：（2-20）——形變協(xié)調(diào)方程（或相容方程）即：必須滿足上式才能保證位移分量u、v

的存在與協(xié)調(diào)，才能求得這些位移分量。1.變形協(xié)調(diào)方程（相容方程）將幾何方程：（2-8）作如下運(yùn)算76例：其中：C為常數(shù)。由幾何方程得：積分得：由幾何方程的第三式得：顯然，此方程是不可能的，因而不可能求出滿足幾何方程的解。例：其中：C為常數(shù)。由幾何方程得：積分得：由幾何方程的第三式772.變形協(xié)調(diào)方程的應(yīng)力表示（1）平面應(yīng)力情形將物理方程（2-20）（2-12）（a）代入相容方程，2.變形協(xié)調(diào)方程的應(yīng)力表示（1）平面應(yīng)力情形將物理方程78利用平衡方程（2-2）將上述兩邊相加：（b）得利用平衡方程（2-2）將上述兩邊相加：（b）得79將(b)代入(a)，得：將上式整理得：（2-21）應(yīng)力表示的相容方程（平面應(yīng)力情形）（a）（b）將(b)代入(a)，得：將上式整理得：（2-21）80（2）平面應(yīng)變情形將上式中的泊松比μ代為：，得（2-22）應(yīng)力表示的相容方程（平面應(yīng)變情形）注意：當(dāng)體力fx、fy

為常數(shù)時(shí)，兩種平面問題的相容方程相同，即（2-23）（2）平面應(yīng)變情形將上式中的泊松比μ代為：813.按應(yīng)力求解平面問題的基本方程（1）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（2-21）（平面應(yīng)力情形）3.按應(yīng)力求解平面問題的基本方程（1）平衡方程（2-2）（282（3）邊界條件：（2-15）說明：（1）對(duì)位移邊界問題，不易按應(yīng)力求解。（2）對(duì)應(yīng)力邊界問題，且為單連通問題，滿足上述方程的解是唯一正確解。（3）對(duì)多連通問題，滿足上述方程外，還需滿足位移單值條件，才是唯一正確解。（3）邊界條件：（2-15）說明：（1）對(duì)位移邊界問題，不易83例8下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。（1）（2）解:（a）（b）（1）將式（a）代入平衡方程：（2-2）——滿足例8下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別84將式（a）代入相容方程：∴式（a）不是一組可能的應(yīng)力場(chǎng)。將式（a）代入相容方程：∴式（a）不是一組可能的應(yīng)力場(chǎng)。85例8下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別判斷它們是否為可能的應(yīng)力場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)（不計(jì)體力）。（1）（2）（a）（b）（2）解:將式（b）代入應(yīng)變表示的相容方程：式（b）滿足相容方程，∴（b）為可能的應(yīng)變分量。例8下面給出平面應(yīng)力問題（單連通域）的應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)，試分別86例9圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計(jì)體力。試根據(jù)材料力學(xué)公式，寫出彎曲應(yīng)力sx和剪應(yīng)力txy的表達(dá)式，并取擠壓應(yīng)力sy=0，然后說明這些表達(dá)式是否代表正確解。解材料力學(xué)解答：式（a）滿足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否滿足邊界條件？例9圖示矩形截面懸臂梁，在自由端受集中力P作用，不計(jì)體力87代入平衡微分方程：（2-2）顯然，平衡微分方程滿足。式（a）滿足相容方程。代入相容方程：再驗(yàn)證，式（a）是否滿足邊界條件？上、下側(cè)邊界：代入平衡微分方程：（2-2）顯然，平衡微分方程滿足。式（a）88——滿足——近似滿足——近似滿足結(jié)論：式（a）為正確解右側(cè)邊界：左側(cè)邊界：——滿足——近似滿足——近似滿足結(jié)論：式（a）為正確解右側(cè)邊892.10常體力情況下的簡(jiǎn)化1.常體力下平面問題的相容方程令：——拉普拉斯（Laplace）算子則相容方程可表示為：——平面應(yīng)力情形——平面應(yīng)變情形當(dāng)體力fx、fy

為常數(shù)時(shí)，兩種平面問題的相容方程相同，即或（2-23）2.10常體力情況下的簡(jiǎn)化1.常體力下平面問題的相容方程令902.常體力下平面問題的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（3）邊界條件（4）位移單值條件——對(duì)多連通問題而言。2.常體力下平面問題的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（91討論：（1）——Laplace方程，或稱調(diào)和方程。（2）常體力下，方程中不含E、μ（a）兩種平面問題，計(jì)算結(jié)果sx、sy、txy

相同（但sz、ex、ey、gxy、u、v不同。）（b）不同材料，具有相同外力和邊界條件時(shí)，其計(jì)算結(jié)果相同?！鈴椥詫?shí)驗(yàn)原理。（3）用平面應(yīng)力試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，代替平面?yīng)變?cè)囼?yàn)?zāi)Ｐ停瑸閷?shí)驗(yàn)應(yīng)力分析提供理論基礎(chǔ)。滿足：的函數(shù)稱為調(diào)和函數(shù)（解析函數(shù)）。討論：（1）——Laplace方程，或稱調(diào)和方程。（2）常92常體力下問題的基本方程：邊界條件、位移單值條件。(a)(b)式(a)為非齊次方程，其解：全解=齊次方程通解3.平衡微分方程解的形式應(yīng)力函數(shù)(1)特解常體力下特解形式：+非齊次方程的特解。(1)(2)(c)常體力下問題的基本方程：邊界條件、位移單值條件。(a)(b)93將式(d)第一式改寫為由微分方程理論，必存在一函數(shù)A(x,y)，使得(e)(f)同理，將式(d)第二式改寫為(g)(h)比較式(f)與(h)，有也必存在一函數(shù)B(x,y)，使得(2)通解式(a)的齊次方程：(d)的通解。由微分方程理論，必存在一函數(shù)F(x,y)，使得將式(d)第一式改寫為由微分方程理論，必存在一函數(shù)A(x,94(i)(j)將式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解(k)——對(duì)應(yīng)于平衡微分方程的齊次方程通解