第二十七章薛定諤方程課件

薛定諤方程第二十七章薛定諤方程第二十七章1薛定諤方程是量子力學(xué)的基本動(dòng)力學(xué)方程概述1.一維定態(tài)薛定諤方程2.定態(tài)波函數(shù)3.粒子在無限深方勢阱中的波函數(shù)及能量、動(dòng)量及波長4.勢壘穿透隧道效應(yīng)薛定諤方程是量子力學(xué)的基本動(dòng)力學(xué)方程概述1.一維定態(tài)薛定諤方2§27.1薛定諤方程一波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋微觀粒子具有波粒二象性，其位置與動(dòng)量不能同時(shí)確定，無法用經(jīng)典物理方法描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；量子力學(xué)用波函數(shù)來描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)1.波函數(shù)經(jīng)典波的波函數(shù):電磁波機(jī)械波經(jīng)典波為實(shí)函數(shù)§27.1薛定諤方程一波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋微觀粒子3微觀粒子的波函數(shù)（復(fù)函數(shù)）自由粒子平面波函數(shù):

E和p分別為自由粒子的能量和動(dòng)量(E=p2/2m)；自由粒子的能量和動(dòng)量是確定的，頻率和波長不變（=E/h，=h/p），可認(rèn)為是一平面單色波自由粒子：不受外力場的作用，其動(dòng)量和能量都不變的粒子波函數(shù)的復(fù)指數(shù)形式：根據(jù)德布羅意公式有—自由粒子波函數(shù)微觀粒子的波函數(shù)（復(fù)函數(shù)）自由粒子平面波函數(shù):E和p42.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義—正實(shí)數(shù)粒子某一時(shí)刻出現(xiàn)在某點(diǎn)體積元dV中的概率:概率密度:某處單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率波函數(shù)是粒子在各處被發(fā)現(xiàn)的概率，量子力學(xué)用波函數(shù)描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)3.波函數(shù)的歸一化條件即某一時(shí)刻整個(gè)空間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的總概率為14.波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件波函數(shù)必須是單值、連續(xù)、有限的函數(shù)2.波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義—正實(shí)數(shù)粒子某一時(shí)刻出現(xiàn)在某點(diǎn)體積元dV5二薛定諤方程自由粒子（質(zhì)量為m）在勢場U(x,t)中的一維薛定諤方程稱為含時(shí)一維薛定諤方程1.一維運(yùn)動(dòng)自由粒子的含時(shí)薛定諤方程（對自由粒子的波函數(shù)取x的二階偏導(dǎo)數(shù)和t的一階偏導(dǎo)數(shù)可得）一維（設(shè)沿x向運(yùn)動(dòng)）自由粒子的薛定諤方程：當(dāng)粒子在勢場U(x,t)中運(yùn)動(dòng)，則有自由粒子在勢場中的能量為二薛定諤方程自由粒子（質(zhì)量為m）在勢場U(x,t)中的一維62.一維定態(tài)薛定諤方程若勢場只是坐標(biāo)的函數(shù)，與時(shí)間無關(guān)，即U=U(x)，為恒定勢場，則波函數(shù)為

將代入含時(shí)一維薛定諤方程，可得

的空間部分=(x)滿足方程—定態(tài)薛定諤方程1）=(x)稱為粒子的定態(tài)波函數(shù)，所描述的粒子的狀態(tài)稱定態(tài)—粒子的能量E不隨時(shí)間變化的狀態(tài)（粒子具有確定的能量值），粒子在空間的概率分布不隨時(shí)間改變；定態(tài)波函數(shù)的性質(zhì)：粒子能量E不隨時(shí)間變化，概率密度||2不隨時(shí)間變化注意：2.一維定態(tài)薛定諤方程若勢場只是坐標(biāo)的函數(shù)，73）做為上式的解與均滿足疊加原理，即或它們的線性組合態(tài)也是一種可能的狀態(tài)；

4）對于任何能量值E定態(tài)薛定諤方程都有解，需滿足波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：單值、有限、連續(xù)3.三維定態(tài)薛定諤方程—直角坐標(biāo)系—球坐標(biāo)系3）做為上式的解與均滿足疊加原理，即或它們的線性組合態(tài)8勢能曲線呈無限深的井，稱為（一維）無限深方勢阱—簡單的理論模型(固體物理金屬中自由電子的簡化模型)；勢阱內(nèi)，勢能為常量，粒子不受力做自由運(yùn)動(dòng)；在x=0和x=a的邊界處，勢能為無限大，粒子會受到無限大的指向阱內(nèi)的力作用；所以粒子的位置限定在勢阱內(nèi)，粒子的這種狀態(tài)稱為束縛態(tài)§27.2無限深方勢阱中的粒子一無限深方勢阱粒子在簡單外力場中做一維運(yùn)動(dòng)，勢能函數(shù)為勢能曲線1.無限深方勢阱勢能曲線呈無限深的井，稱為（一維）§27.2無限深方92.無限深方勢阱中粒子的波函數(shù)一維定態(tài)薛定諤方程勢阱外：x<0，x>a區(qū)域(邊界條件)，U=∞，不會有粒子存在，則勢阱內(nèi)：0≤x≤a區(qū)域，U=0，則有方程令2.無限深方勢阱中粒子的波函數(shù)一維定態(tài)薛定諤方程勢阱外：x10與簡諧運(yùn)動(dòng)方程比較，解為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：單值、有限和連續(xù)，則波函數(shù)在x=0，x=a處連續(xù)，即與簡諧運(yùn)動(dòng)方程比11歸一化條件確定振幅A：可得粒子在無限深方勢阱中的波函數(shù)為n表示對應(yīng)整數(shù)n，粒子的相應(yīng)定態(tài)波函數(shù)歸一化條件確定振幅A：可得粒子在無限深方勢阱中的波函數(shù)為12二粒子在無限深方勢阱中的能量可得粒子的能量為上式表明，粒子在無限深方勢阱中的能量是量子化的,只能取分立值；每一能量值對應(yīng)一個(gè)能級，稱為能量本征值，n稱為量子數(shù)粒子的全部波函數(shù)為稱為能量本征波函數(shù)，每個(gè)本征波函數(shù)所描述的粒子的狀態(tài)稱為粒子的能量本征態(tài)二粒子在無限深方勢阱中的能量可得粒子的能量為上式表明，13基態(tài)能量激發(fā)態(tài)能量三波函數(shù)與坐標(biāo)的關(guān)系概率密度16E19E14E1E1基態(tài)2.粒子在勢阱中各處出現(xiàn)的概率不同（n～x-藍(lán)色實(shí)線）1.粒子在勢阱中各處出現(xiàn)的概率密度不同(|n|2～x-紅色虛線)n=1時(shí)，粒子在x=a/2處出現(xiàn)的概率最大基態(tài)能量激發(fā)態(tài)能量三波函數(shù)與坐標(biāo)的關(guān)系概率密度1614結(jié)論：當(dāng)n很大時(shí)，能量趨于連續(xù)，即經(jīng)典物理的圖像3.粒子在勢阱中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量16E19E14E1E1基態(tài)根據(jù)典理論，粒子在勢阱內(nèi)來回的周期性自由運(yùn)動(dòng)，在各處概率密度應(yīng)完全相同，且與粒子的能量無關(guān)結(jié)論：當(dāng)n很大時(shí)，能量趨于連續(xù)，即經(jīng)典物理的圖像3.粒子在15粒子的德布羅意波長波長也是量子化的，為勢阱寬度2倍的整數(shù)分之一

n與兩端固定弦的駐波波長形式相同（見P158式n=2L/n）16E19E14E1E1基態(tài)弦線振動(dòng)的簡正模式粒子的德布羅意波長波長也是量子化的，為勢阱寬度2倍的整數(shù)分之16無限深方阱壁粒子的每一個(gè)能量本征態(tài)對應(yīng)德布羅意波的一個(gè)特定波長的駐波；

波函數(shù)為駐波形式，阱壁處為波節(jié)，波腹的個(gè)數(shù)與量子數(shù)

n相等16E19E14E1E1基態(tài)無限深方阱壁粒子的16E19E14E1E1基17例27.2核內(nèi)的質(zhì)子和中子可認(rèn)為處于無限深勢阱中不能逸出，在核中是自由運(yùn)動(dòng)；估算質(zhì)子從第一激發(fā)態(tài)（n=2）到基態(tài)（n=1）轉(zhuǎn)變時(shí)放出多少M(fèi)eV的能量。核的線度為1.0×10-14m。

解：勢阱寬度a即核的線度，則質(zhì)子基態(tài)能量第一激發(fā)態(tài)能量作業(yè)：4,8

例27.2核內(nèi)的質(zhì)子和中子可認(rèn)為處于無限深勢阱中不能逸出，在18§27.3勢壘穿透隧道效應(yīng)一半無限深方勢阱勢能函數(shù)為在x<0區(qū)域，U=∞，粒子的波函數(shù)=0在0≤x≤a區(qū)域的勢阱內(nèi)，粒子的能量E<U0，波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程其解仍為勢能曲線§27.3勢壘穿透隧道效應(yīng)一半無限深方勢阱勢能函19在x>a的區(qū)域，薛定諤方程為方程的解為波函數(shù)有限，即應(yīng)滿足x→∞時(shí)有限，則有D=0在x>a的區(qū)域，薛定諤方程為方程的解為波函數(shù)有限，即應(yīng)滿足x20波函數(shù)應(yīng)滿足在x=a處連續(xù)，則有還有，d/dt在x=a處也應(yīng)連續(xù)，又有波函數(shù)的連續(xù)性條件在邊界連續(xù)上兩式結(jié)果表明：束縛在勢阱內(nèi)的粒子（E<U0）的能量仍是量子化的（能量本征值與前面不同，計(jì)算復(fù)雜略）波函數(shù)應(yīng)滿足在x=a處連續(xù)，則有還有，d/dt在x=a21根據(jù)經(jīng)典理論，當(dāng)粒子能量E<U0

時(shí)，粒子只能在

0≤x≤a的勢阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)不可能進(jìn)入x>a區(qū)域，因?yàn)榱Ｗ釉谶@一區(qū)域的動(dòng)能會出現(xiàn)負(fù)值（Ek=E-U0

<

0）；量子力學(xué)的結(jié)論：在勢能大于粒子能量（U0

>

E）的區(qū)域內(nèi)，粒子仍有一定的概率密度，即粒子可以進(jìn)入這一區(qū)域，只不過概率密度隨著進(jìn)入的深度很快減小在x>a的勢能有限的區(qū)域，粒子出現(xiàn)的概率不為零，即粒子的運(yùn)動(dòng)可能進(jìn)入這一區(qū)域，但概率隨x增大按指數(shù)規(guī)律衰減（）E2E1E3根據(jù)經(jīng)典理論，當(dāng)粒子能量E<U022量子力學(xué)對粒子動(dòng)能出現(xiàn)負(fù)值的解釋—不確定關(guān)系：粒子在E<U0區(qū)域（x>a

）的概率密度為

當(dāng)x=1/2k’時(shí)，此處粒子的概率已降為1/e，可視為粒子進(jìn)入該區(qū)域的深度，則認(rèn)為在該區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的位置不確定度x為粒子在x距離內(nèi)的動(dòng)量不確定度為粒子進(jìn)入該區(qū)域的速度為量子力學(xué)對粒子動(dòng)能出現(xiàn)負(fù)值的解釋—不確定關(guān)系：粒23則粒子進(jìn)入的時(shí)間不確定度為根據(jù)能量-時(shí)間的不確定關(guān)系，粒子能量的不確定度為粒子總能量為E+E，則粒子動(dòng)能的不確定度為粒子動(dòng)能的不確定度大于名義上的負(fù)動(dòng)能的值←負(fù)動(dòng)能被不確定關(guān)系掩蓋，負(fù)動(dòng)能只是觀察不到的“虛”動(dòng)能則粒子進(jìn)入的時(shí)間不確定度為根據(jù)能量-時(shí)間的不確定關(guān)系，粒子能24二勢壘穿透隧道效應(yīng)粒子能進(jìn)入U(xiǎn)0

>E的區(qū)域，若這一高勢能區(qū)域是有限的，即粒子在運(yùn)動(dòng)時(shí)被一勢壘阻礙，粒子有可能穿過勢壘到達(dá)勢壘的另一側(cè)，這一量子力學(xué)現(xiàn)象稱為勢壘穿透或隧道效應(yīng)ⅡⅢⅠⅢ區(qū)：各區(qū)域波函數(shù)：Ⅰ區(qū)：Ⅱ區(qū)：粒子在勢壘右側(cè)出現(xiàn)的概率密度：

粒子在勢壘左側(cè)出現(xiàn)的概率密度：結(jié)論：粒子在勢壘內(nèi)部和外部都有出現(xiàn)的可能二勢壘穿透隧道效應(yīng)粒子能進(jìn)入U(xiǎn)025當(dāng)粒子能量E<U0時(shí)，經(jīng)典理論認(rèn)為粒子不可能穿過勢壘進(jìn)入x>a的區(qū)域；量子力學(xué)分析，粒子有一定概率穿透勢壘，事實(shí)表明，量子力學(xué)正確粒子的能量雖不足以超越勢壘，但在勢壘中似乎有一個(gè)隧道,能使少量粒子穿過而進(jìn)入x>a

的區(qū)域，形象的稱為隧道效應(yīng)應(yīng)用：掃描隧穿（道）顯微鏡（STM）1981年賓尼希和羅雷爾利用電子的隧道效應(yīng)制成了掃描遂穿顯微鏡(STM)，可觀測固體表面原子排列的狀況當(dāng)粒子能量E<U0時(shí)，經(jīng)典理論認(rèn)為26掃描隧道顯微鏡探針樣品表面掃描隧道顯微鏡探針樣品表面27§27.4諧振子一維簡諧振子微觀領(lǐng)域中原子和分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)等，都可以近似地用簡諧振子模型來描述；一維簡諧振子的勢能函數(shù)為一維簡諧振子的經(jīng)典模型討論粒子在略復(fù)雜的勢場中做一維運(yùn)動(dòng)，即一維諧振子的運(yùn)動(dòng)一維簡諧振子的薛定諤方程為為變系數(shù)二階偏微分方程§27.4諧振子一維簡諧振子微觀領(lǐng)域28基態(tài)波函數(shù)解：各激發(fā)態(tài)波函數(shù)均包含因子：波函數(shù)需滿足單值、連續(xù)和有限的標(biāo)準(zhǔn)條件，則諧振子能量只能為諧振子的能量也是量子化（n為量子數(shù)）的，而且能級等間距基態(tài)能量（n=0）：—零點(diǎn)能這一能量表明微觀粒子不可能完全靜止，是波粒二象性的表現(xiàn)，滿足不確定關(guān)系的要求基態(tài)波函數(shù)解：各激發(fā)態(tài)波函數(shù)均包含因子：波函數(shù)需滿足單29激發(fā)態(tài)能量相鄰能級的間距一維諧振子勢能曲線和概率密度分布由圖可見，在勢能曲線外，概率密度不為零；表明微觀粒子的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：在運(yùn)動(dòng)中有可能進(jìn)入勢能大于總能量的區(qū)域激發(fā)態(tài)能量相鄰能級的間距一維諧振子勢能曲線和概率密度分布30例27.4一質(zhì)量為m=1g的小珠子懸掛在一輕小彈簧下面，做振幅A=1m的諧振動(dòng)，彈簧勁度系數(shù)k=0.1N/m；按量子理論計(jì)算，彈簧振子的能級間隔多大；其現(xiàn)有振動(dòng)能量對應(yīng)的量子數(shù)n為多少。解：彈簧振子的角頻率為能級間隔現(xiàn)有振動(dòng)能量結(jié)果表明，宏觀諧振子處于能量非常高的狀態(tài)，相鄰能級間隔完全可以忽略，能量隨振幅變化而連續(xù)變化—經(jīng)典力學(xué)的結(jié)論例27.4一質(zhì)量為m=1g的小珠子懸掛在一輕小彈簧下面，做振31本章總結(jié)一波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義3.粒子某一時(shí)刻在某點(diǎn)體積元dV中的概率:1.波函數(shù)單值、連續(xù)、有限概率密度；波函數(shù)是粒子在各處被發(fā)現(xiàn)的概率，波函數(shù)用以描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)4.波函數(shù)的歸一化條件2.概率密度:某處單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率本章總結(jié)一波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義3.粒子某一時(shí)刻在某點(diǎn)體積32二一維定態(tài)薛定諤方程定態(tài)波函數(shù)的性質(zhì)：能量E不隨時(shí)間變化，概率密度||2不隨時(shí)間變化三無限深方勢阱中的粒子1.粒子在無限深方勢阱中的波函數(shù)n為對應(yīng)整數(shù)n，粒子相應(yīng)的定態(tài)波函數(shù)二一維定態(tài)薛定諤方程定態(tài)波函數(shù)的性質(zhì)：能量E不隨時(shí)間變化332.粒子在無限深方勢阱中的能量粒子在無限深方勢阱中的能量是量子化的3.粒子在勢阱中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量4.粒子的德布羅意波長波長是量子化的n與兩端固定弦的駐波波長形式相同2.粒子在無限深方勢阱中的能量粒子在無限深方勢阱中的能量是34四勢壘穿透隧道效應(yīng)粒子能進(jìn)入U(xiǎn)0

>E的區(qū)域，即粒子有可能穿過勢壘到達(dá)勢壘的另一側(cè)四勢壘穿透隧道效應(yīng)粒子能進(jìn)入U(xiǎn)035例27.1一質(zhì)量為m的粒子在自由空間繞一定點(diǎn)做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，求粒子的波函數(shù)并確定其能量和角動(dòng)量的可能值。解：將定點(diǎn)作為原點(diǎn)，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的平面為xy平面；則r為常量，=/2，只是方位角的函數(shù)，即=（）粒子不在勢場中運(yùn)動(dòng)，即U=0，粒子的薛定諤方程為即與簡諧運(yùn)動(dòng)方程d2x/dt2+kx=0形式同，其解為式中例27.1一質(zhì)量為m的粒子在自由空間繞一定點(diǎn)做半徑為r的圓周36（）有限連續(xù)，且為的單值函數(shù)，則有即上式表明ml必須為整數(shù)，即ml=±1，±2，…由歸一化條件，，可得（）有限連續(xù)，且為的單值函