導熱微分方程式及單值性條件課件

HeatTransfer

傳熱學BuildingEnergyEfficiencyistheWaveoftheFuture!

建筑工程系HeatTransfer

傳熱學BuildingEne§1

導熱理論基礎

建筑環(huán)境與設備工程專業(yè)主干課程之一

!Chapter1Heatconductiontheory

§1導熱理論基礎建筑環(huán)境與設備工程專業(yè)主干課程之一!CHeatTransfer傅里葉定律：

建立導熱微分方程，可以揭示連續(xù)溫度場隨空間坐標和時間變化的內在聯系。

理論基礎：傅里葉定律+能量守恒方程

定義：根據能量守恒定律與傅立葉定律，建立導熱物體中的溫度場應滿足的數學表達式，稱為導熱微分方程。（一）導熱微分方程的推導一、導熱微分方程

§1-2導熱微分方程式及單值性條件HeatTransfer傅里葉定律：建立導熱微分方程，可3HeatTransfer假設：(1)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質

(2)熱導率、比熱容和密度均為已知

(3)物體內具有均勻分布內熱源；強度qv

[W/m3];qv

表示單位體積的導熱體在單位時間內放出的熱量

導熱體內取一微元體，根據能量守恒定律，單位時間凈導入微元體的熱量加上微元體內熱源生成的熱量應等于微元體內能的增加量

一、導熱微分方程

HeatTransfer假設：(1)所研究的物體是各向同4HeatTransfer1、導入與導出微元體的凈熱量

d時間內、沿x軸方向、經x表面導入的熱量：d時間內、沿x軸方向、經x+dx表面導出的熱量：一、導熱微分方程

HeatTransfer1、導入與導出微元體的凈熱量5HeatTransferd時間內、沿x軸方向導入與導出微元體凈熱量d時間內、沿y軸方向導入與導出微元體凈熱量d時間內、沿z軸方向導入與導出微元體凈熱量d時間內、沿z軸方向導入與導出微元體凈熱量一、導熱微分方程

HeatTransferd時間內、沿x軸方向導入與6HeatTransfer[導入與導出凈熱量]:傅里葉定律：一、導熱微分方程

HeatTransfer[導入與導出凈熱量]:傅里葉定律：7HeatTransfer2、d時間微元體內熱源的發(fā)熱量3、微元體在d時間內能的增加量

一、導熱微分方程

HeatTransfer2、d時間微元體內熱源的發(fā)熱量8HeatTransfer將以上各式代入熱平衡關系式，并整理得：這是笛卡爾坐標系中三維非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程的一般表達式。其物理意義：反映了物體的溫度隨時間和空間的變化關系。非穩(wěn)態(tài)項源項擴散項一、導熱微分方程

HeatTransfer將以上各式代入熱平衡關系式，并整理9HeatTransfer1）對上式化簡：

①導熱系數為常數

式中，，稱為熱擴散率。②導熱系數為常數、無內熱源

一、導熱微分方程

HeatTransfer1）對上式化簡：①導熱系數為常數10HeatTransfer③導熱系數為常數、穩(wěn)態(tài)

④導熱系數為常數、穩(wěn)態(tài)、無內熱源

一、導熱微分方程

HeatTransfer③導熱系數為常數、穩(wěn)態(tài)④導11HeatTransfer綜上說明：

（1）導熱問題仍然服從能量守恒定律；（2）等號左邊是單位時間內微元體熱力學能的增量（非穩(wěn)態(tài)項）；（3）等號右邊前三項之和是通過界面的導熱使微分元體在單位時間內增加的能量(擴散項)；（4）等號右邊最后項是源項；（5）若某坐標方向上溫度不變，該方向的凈導熱量為零，則相應的擴散項即從導熱微分方程中消失。一、導熱微分方程

HeatTransfer綜上說明：一、導熱微分方程12HeatTransfer（1）熱擴散率的物理意義

由熱擴散率的定義可知：

1）分子是物體的導熱系數，其數值越大，在相同溫度梯度下，可以傳導更多的熱量。

2）分母是單位體積的物體溫度升高1℃所需的熱量。其數值越小，溫度升高1℃所吸收的熱量越少，可以剩下更多的熱量向物體內部傳遞，使物體內溫度更快的隨界面溫度升高而升高。a反映了導熱過程中材料的導熱能力（）與沿途物質儲熱能力（

c）之間的關系.4、有關說明一、導熱微分方程

HeatTransfer（1）熱擴散率的物理意義4、有關13HeatTransfer由此可見ɑ物理意義：①ɑ值大，即值大或

c值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴散，其內部各點溫度扯平的能力越大。②ɑ越大，表示物體中溫度變化傳播的越快。所以，ɑ也是材料傳播溫度變化能力大小的指標，亦稱導溫系數。熱擴散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內各部分溫度趨向于均勻一致的能力。

一、導熱微分方程

HeatTransfer由此可見ɑ物理意義：一、導熱微14HeatTransfer（2）導熱微分方程的適用范圍

1）適用于q不很高，而作用時間長。同時傅立葉定律也適用該條件。2）若時間極短，而且熱流密度極大時，則不適用。3）若屬極低溫度（-273℃）時的導熱不適用。一、導熱微分方程

HeatTransfer（2）導熱微分方程的適用范圍一15HeatTransfer二、導熱過程的單值性條件導熱微分方程式的理論基礎：傅里葉定律+能量守恒。它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關系；沒有涉及具體、特定的導熱過程。通用表達式。單值性條件：確定唯一解的附加補充說明條件，包括四項：幾何、物理、初始、邊界完整數學描述：導熱微分方程+單值性條件HeatTransfer二、導熱過程的單值性條件導熱微分方16HeatTransfer1、幾何條件：說明導熱體的幾何形狀和大小，如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等2、物理條件：說明導熱體的物理特征如：物性參數、c和的數值，是否隨溫度變化；有無內熱源、大小和分布；3、初始條件：又稱時間條件，反映導熱系統的初始狀態(tài)

４、邊界條件:反映導熱系統在界面上的特征，也可理解為系統與外界環(huán)境之間的關系。

二、導熱過程的單值性條件HeatTransfer1、幾何條件：說明導熱體的幾何形狀17HeatTransfer邊界條件常見的有四類

（１）第一類邊界條件:該條件是給定系統邊界上的溫度分布，它可以是時間和空間的函數，也可以為給定不變的常數值。

t=f(y,z,τ)

0x1x

（2）第二類邊界條件:該條件是給定系統邊界上的溫度梯度，即相當于給定邊界上的熱流密度，它可以是時間和空間的函數，也可以為給定不變的常數值0x1x

４、邊界條件HeatTransfer邊界條件常見的有四類（１）第一類18HeatTransfer（3）第三類邊界條件:該條件是第一類和第二類邊界條件的線性組合，常為給定系統邊界面與流體間的換熱系數和流體的溫度，這兩個量可以是時間和空間的函數，也可以為給定不變的常數值

0x1x

４、邊界條件HeatTransfer（3）第三類邊界條件:該條件是第一19HeatTransfer（4）第四類邊界條件:接觸面邊界條件４、邊界條件導熱微分方程＋單值性條件＋求解方法溫度場