表示標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)-用Φ(x)課件

經(jīng)管數(shù)學經(jīng)管數(shù)學1第三節(jié)連續(xù)型隨機變量的分布第三節(jié)連續(xù)型隨機變量的分布22.3、連續(xù)型隨機變量的分布

2.3.1、連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)由于連續(xù)型隨機變量取值可以充滿某個區(qū)間，為了研究其概率分布，類似于質(zhì)量分布的求法，已知質(zhì)量分布的線密度函數(shù)μ(x)時，在區(qū)間[a,b]上分布的質(zhì)量m可由質(zhì)量密度函數(shù)積分求得，即

引入概率密度函數(shù)的概念計算連續(xù)型隨機變量的分布。2.3、連續(xù)型隨機變量的分布2.3.1、連續(xù)型隨機變量的概3定義2.5對于任何區(qū)間[a,b]，如果存在可積函數(shù)使ξ在[a,b]取值的概率（2.3.1）則稱φ(x)為連續(xù)型隨機變量ξ的概率密度函數(shù)（簡稱為密度函數(shù)），記為ξ~φ(x)。概率密度函數(shù)需滿足以下條件：定義2.5對于任何區(qū)間[a,b]，如果存在可積函數(shù)使ξ在[4且當φ(x)在x處連續(xù)時

對于連續(xù)型隨機變量ξ，顯然有對于連續(xù)型隨機變量ξ，其分布函數(shù)為F(x)，則（2.3.2）案例分析見7.12~7.15且當φ(x)在x處連續(xù)時5σ>0,是正態(tài)分布的兩個參數(shù).定義2.62.3.2、正態(tài)分布

如果隨機變量ξ的概率密度是則稱ξ服從正態(tài)分布，記作其中σ>0,是正態(tài)分布的兩個參數(shù).定義2.62.3.2、正6為φ(x)的拐點的橫坐標.概率密度φ(x)具有如下性質(zhì)：1、即概率密度曲線都在x軸上方.

φ(x)以x=μ為對稱軸，并在x=μ取得最大值：3、時，這說明曲線φ(x)向左、右伸展時，無限接近x軸，即φ(x)以x軸為漸近線.4、2、當為φ(x)的拐點的橫坐標.概率密度φ(x)具有如下性質(zhì)：1、7正態(tài)分布的概率密度曲線

圖2-4正態(tài)分布的概率密度曲線圖2-48結(jié)論：圖2-5（a）圖2-5（b）μ決定對稱軸位置σ決定中峰陡峭程度σ較大時，峰較平緩σ較小時，峰較陡峭參數(shù)μ,σ對曲線位置與形狀的影響：結(jié)論：圖2-5（a）圖2-5（b）μ決定對稱軸位置σ決定中峰9μ=0,σ=1時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作ξ~N(0,1)。通常用φ(x)表示標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，用Φ(x)表示分布函數(shù)定義2.7μ=0,σ=1時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，定義2.710標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形

標準正態(tài)分布的重要性在于，一般的正態(tài)分布都可以轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布進行研究.圖2-6標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形標準正態(tài)分布的重11則

定理證明故

設(shè)則定理證明故設(shè)12利用定理1和標準正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)數(shù)值表可解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.(1)P(X<1.5);(2)P(X>2)(3)P(-1<X≤3);(4)P(|X|≤2)解例1設(shè)計算利用定理1和標準正態(tài)分布函數(shù)Φ(x)數(shù)值表可解決一般正態(tài)分布13一般,設(shè),則有一般,設(shè),則有14例2解一般,設(shè),計算由,根據(jù)定理1,,則有設(shè)案例分析見2.16~2.18例2解一般,設(shè),計算由,根據(jù)定理1,,則有設(shè)案例分析見215案例2.12

某線路公共汽車每隔6分鐘開出一輛，乘客到車站候車時間ξ是一個隨機變量.且ξ在[0,6]上任一子區(qū)間內(nèi)取值的概率與這區(qū)間長度成正比，求ξ的分布函數(shù)F(x)及密度函數(shù)φ(x).解因此λ=1/6.

ξ取且僅取[0,6]的實數(shù)，即是必然事件若，有λ為比例常數(shù).特別地，取c=0，d=6,

案例分析案例2.12某線路公共汽車16F(x)的圖形如圖7-6所示.061xF(x)對F(x)求導數(shù)得密度函數(shù)為圖7-6得到F(x)的定義F(x)的圖形如圖7-6所示.061xF(x)對F(x)求17解案例2.13則稱ξ在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，記為ξ~U(a,b).試求λ及F(x).由（2.3.2）式，有若ξ的概率密度為（2.3.3）解案例2.13則稱ξ在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，記為由（18,試求ξ的分布函數(shù)F(x).案例2.14解由（2.1.10）式，有若ξ的概率密度為其中λ>0，則稱ξ服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記為,試求ξ的分布函數(shù)F(x).案例2.14解由（2.1.1019各種“壽命”分布近似地服從指數(shù)分布，如隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間、某些消耗性產(chǎn)品（電子元件等）的壽命等，常假定服從指數(shù)分布.假若產(chǎn)品的失效率為λ，則產(chǎn)品在t(t>0)時間失效（即壽命為t）的分布函數(shù)為而產(chǎn)品的可靠度為各種“壽命”分布近似地服從指數(shù)分布，如隨機服20解案例2.15的指數(shù)分布.3個這樣的元件使用1000小時后，都沒有損壞的概率是多少?各元件壽命相互獨立，因此3個這樣的元件使用1000小時都未損壞的概率可看成3重貝努里試驗中3次試驗都成功的概率為某元件壽命ξ服從參數(shù)為λ

參數(shù)為λ的指數(shù)分布函數(shù)為解案例2.15的指數(shù)分布.3個這樣的元件使用1000小時后，21案例2.16

某廠生產(chǎn)一種設(shè)備，其平均壽命為10年，標準差為2年.如該設(shè)備的壽命服從正態(tài)分布，求壽命不低于9年的設(shè)備占整批設(shè)備的比例？設(shè)隨機變量ξ為設(shè)備壽命，由題意

解得到案例2.16某廠生產(chǎn)一種設(shè)22解案例2.17

現(xiàn)從這批零件中任取一件,問:(1)長度與其均值的誤差不超過0.3厘米的概率是多大?(2)能以0.95的概率保證零件長度與其均值的誤差不超過多少厘米?即誤差不超過0.3厘米的概率為0.8664.設(shè)一批零件的長度X(厘米)服從正態(tài)分布因為,所以解案例2.1723即能以0.95的概率保證長度與其均值誤差不超過0.392厘米.（2）依題意,求因為

得

即查表得即即能以0.95的概率保證長度與其均值誤差不超（2）依題意,求24

考試分與標準分的轉(zhuǎn)換。由于各考試科難易不同，評分標準不同，各科考分的分值是不同的。為了科學地比較總分，將各科考試原始分ξ轉(zhuǎn)化為標準分Z，設(shè)

案例2.18則再將Z轉(zhuǎn)化均值為50，標準差為10的標準分T，即T=10Z+50。例如，比較甲、乙兩學生數(shù)學、語文、外語三科總成積，轉(zhuǎn)化為標準分如下頁表2-7?？荚嚪峙c標準分的轉(zhuǎn)換。由于25表2-7科目原始分數(shù)全體考生標準分數(shù)ZT=10Z+50甲乙均值μ標準差σ甲乙甲乙數(shù)學7882808-0.250.2547.552.5語文45414240.75-0.2557.547.5外語7274746-0.33046.750.0總和1951970.170151.7150.0表2-7科目原始分數(shù)全體考生標準分數(shù)ZT=10Z+50甲乙均26由表2-7可見，若看原始分數(shù)總和乙優(yōu)于甲；若看標準分數(shù)總和甲優(yōu)于乙。由于語文平均分偏低，說明較難，而甲高出乙4分，盡管數(shù)學，外語成績乙高出甲6分，但數(shù)學、外語的分值低于語文的分值。表的最右列T分數(shù)是為了消除Z分數(shù)中的負值，并盡可能標準分數(shù)與原始分數(shù)相近，T分數(shù)所起作用同Z分數(shù)。評注由表2-7可見，若看原始分數(shù)總和乙優(yōu)于甲27課堂練習題習題一、設(shè)某種元件的壽命(以小時計)的概率密度為

一臺設(shè)備中裝有三個這樣的元件．求：

(1)最初1500小時內(nèi)沒有一個損壞的概率；

(2)只有一個損壞的概率．課堂練習題習題一、設(shè)某種元件的壽命(以小時計)的概率密28課堂練習題習題二、設(shè)隨機變量x服從正態(tài)分布N(3，4),求(1)P{2＜X＜5}；(2)P{-4≤x≤10}；(3)P{IXI>2}；(4)P{X>3}；(5)常數(shù)C，使得P{X>C}=P{X≤C}課堂練習題習題二、設(shè)隨機變量x服從正態(tài)分布N(3，4),求29課堂練習答案習題一、

【分析】設(shè)一個元件的壽命為x，則它在1500小時內(nèi)損壞的概率為各個元件損壞與否是相互獨立的且分布相同，故三個元件使用1500小時后損壞個數(shù)ξ服從二項分布B(3，1/3)．課堂練習答案習題一、30

(2)只有一個損壞的概率為：【解答】(1)最初1500小時內(nèi)沒有一個損壞的概率為：

習題二、【分析】一般隨機變量x服從正態(tài)分布N(μ