勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理PAGE第4頁(yè)共6頁(yè)勾股定理的逆定理(學(xué)習(xí)目標(biāo))1.掌握勾股定理的逆定理及其應(yīng)用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關(guān)系．2.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長(zhǎng)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形.3.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應(yīng)用范圍.(要點(diǎn)梳理)(高清課堂勾股定理逆定理知識(shí)要點(diǎn))要點(diǎn)一、勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個(gè)三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計(jì)算來判定一個(gè)三角形是否為直角三角形.要點(diǎn)二、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C=90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.要點(diǎn)三、互逆命題如果兩個(gè)命題的題設(shè)與結(jié)論正好相反，則稱它們?yōu)榛ツ婷}.如果把其中一個(gè)叫原命題，則另一個(gè)叫做它的逆命題.要點(diǎn)詮釋：原命題正確，逆命題未必正確；原命題不正確，其逆命題也不一定錯(cuò)誤；正確的命題我們稱為真命題，錯(cuò)誤的命題我們稱它為假命題.要點(diǎn)四、勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.要點(diǎn)詮釋：（1）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（2）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；（3）（是自然數(shù)）是直角三角形的三條邊長(zhǎng)；(典型例題)類型一、原命題與逆命題 1、寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：（1）同位角相等，兩直角平行；（2）如果，那么；（3）等腰三角形兩底角相等；（4）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．（5）對(duì)頂角相等．（6）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．(思路點(diǎn)撥)寫一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是分清它的題設(shè)和結(jié)論，然后將其交換位置，判斷一個(gè)命題為真命題要經(jīng)過證明，是假命題只需舉出反例說明即可．(答案與解析)解：（1）逆命題是：兩直線平行，同位角相等，它是真命題．（2）逆命題是：如果，那么，它是假命題．（3）逆命題是：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，它是真命題．（4）逆命題是：對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等，它是假命題．（5）逆命題是：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角，它是假命題．（6）逆命題是：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)一定在線段的垂直平分線上，它是真命題．(總結(jié)升華)寫一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是分清它的題設(shè)和結(jié)論，然后將題設(shè)和結(jié)論交換位置，寫出它的逆命題，可以借助“如果……那么”分清題設(shè)和結(jié)論．每一個(gè)命題都有逆命題，其中有真命題，也有假命題．舉一反三：(變式)下列定理中，有逆定理的個(gè)數(shù)是（）①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三邊滿足，則該三角形是直角三角形；③全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；④若，則．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)(答案)B；提示：①的逆命題是：等腰三角形有兩邊相等，是真命題；②的逆命題是：若三角形是直角三角形，則三邊滿足（為斜邊）；③但對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等；④若，與不一定相等，所以③、④的逆命題是假命題，不可能是定理．類型二、勾股定理逆定理的應(yīng)用2、如圖所示，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度數(shù)．(答案與解析)解：∵AB⊥AD，∴∠A＝90°，在Rt△ABD中，．∴BD＝4，∴，可知∠ADB＝30°，在△BDC中，，，∴，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝30°+90°＝120°．(總結(jié)升華)利用勾股定理的逆定理時(shí)，條件是三角形的三邊長(zhǎng)，結(jié)論是直角三角形，即由邊的條件得到角的結(jié)論，所以在幾何題中需要進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)換時(shí)要聯(lián)想勾股定理的逆定理．5．五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（）6.為直角三角形的三邊，且為斜邊，為斜邊上的高，下列說法：①能組成一個(gè)三角形②能組成三角形③能組成直角三角形④能組成直角三角形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4二.填空題7．若△ABC中，，則∠B＝____________.8．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的△ABC是______三角形．9．若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、、8(其中為正整數(shù))，則以、、為邊的三角形的面積為______．10．△ABC的兩邊分別為5，12，另一邊為奇數(shù)，且是3的倍數(shù)，則應(yīng)為______，此三角形為______．11．有兩根木條，長(zhǎng)分別為60和80，現(xiàn)再截一根木條做一個(gè)鈍角三角形，則第三根木條（鈍角所對(duì)的邊）長(zhǎng)度的取值范圍_________.12.如果線段能組成一個(gè)直角三角形，那么________組成直角三角形.(“能”或“不能”).三.解答題13．已知是△ABC的三邊，且，試判斷三角形的形狀．14．觀察下列各式：，，，，…，你有沒有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律?請(qǐng)用含的代數(shù)式表示此規(guī)律并證明，再根據(jù)規(guī)律寫出接下來的式子．15.在等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，已知PA=3，PB=4，PC=5.現(xiàn)將△APB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)，連PQ，猜想△PQC的形狀，并論證你的猜想.(答案與解析)一.選擇題1.(答案)D；(解析)根據(jù)勾股定理的逆定理，只要兩邊的平方和等于第三邊的平方即可構(gòu)成直角三角形．只要判斷兩個(gè)較小的數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方即可判斷．2.(答案)D；(解析)D選項(xiàng)不滿足勾股定理的逆定理.3.(答案)C；(解析)度數(shù)之比為1:2:2，則三角形內(nèi)角分別為36°：72°：72°4.(答案)B；(解析)，所以這三條線段能構(gòu)成直角三角形.5.(答案)C；(解析).6.(答案)C；(解析)因?yàn)椋瑑蛇呏偷扔诘谌?，故不能組成一個(gè)三角形，①錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以能組成三角形，②正確；因?yàn)?，所以，即，③正確；因?yàn)?，所以④正確.二.填空題7．(答案)90°；(解析)由題意，所以∠B=90°.8．(答案)直角；(解析)=13，=52，=65，所以.9.(答案)24；(解析)∵7＜＜9，∴＝8．10．(答案)13；直角三角形；(解析)7＜＜17.11.(答案)100＜＜140；(解析)因?yàn)?0，80,100構(gòu)成直角三角形，則鈍角三角形的最長(zhǎng)邊應(yīng)該大于100，再根據(jù)兩邊之和大于第三邊，所以＜60+80=140.12．(答案)能；(解析)設(shè)為斜邊，則，兩邊同乘以，得，即.三.