解析幾何的誕生課件

解析幾何的誕生主講人：周思波解析幾何的誕生主講人：周思波1解析幾何產(chǎn)生的背景天體運(yùn)行······炮彈彈道透鏡形狀測(cè)經(jīng)緯度幾何的弱點(diǎn)代數(shù)的發(fā)展運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)巴比倫奧雷姆解析幾何是17世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)成果之一，它的產(chǎn)生有著深刻的原因。外部原因內(nèi)部原因古代早有坐標(biāo)確定位置的思想解析幾何產(chǎn)生的背景天體運(yùn)行······炮彈彈道透鏡形狀測(cè)經(jīng)緯2解析幾何的創(chuàng)建者費(fèi)馬Fermat1601——1665法國(guó)人笛卡兒Descartes1596——1650法國(guó)人解析幾何的創(chuàng)建者費(fèi)馬笛卡兒3笛卡爾生平1596年3月31日生于法國(guó)土倫省萊耳市的一個(gè)貴族之家1612年到普瓦捷大學(xué)攻讀法學(xué)，四年后獲博士學(xué)位1618年投筆從戎，想借機(jī)游歷歐洲，開闊眼界。1621年回國(guó)，時(shí)值法國(guó)內(nèi)亂，于是他去荷蘭、瑞士、意大利等地旅行1625年返回巴黎1628年移居荷蘭1649年冬，應(yīng)瑞典女王克里斯蒂安的邀請(qǐng)，來到了斯德哥爾摩，任宮廷哲學(xué)家，為瑞典女王授課1650年2月11日病逝笛卡爾生平1596年3月31日生于法國(guó)土倫省萊耳市的一個(gè)貴族4笛卡爾的解析幾何當(dāng)時(shí)，代數(shù)還是一門比較新的科學(xué)，幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。在笛卡兒之前，幾何與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩個(gè)不同的研究領(lǐng)域。笛卡兒站在方法論的自然哲學(xué)的高度，認(rèn)為希臘人的幾何學(xué)過于依賴于圖形，束縛了人的想象力。對(duì)于當(dāng)時(shí)流行的代數(shù)學(xué)，他覺得它完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進(jìn)智力的科學(xué)。因此他提出必須把幾何與代數(shù)的優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來，建立一種“真正的數(shù)學(xué)”。笛卡爾的解析幾何當(dāng)時(shí)，代數(shù)還是一門比較新的科學(xué)，幾何學(xué)的思維5笛卡兒的思想核心是：把幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行計(jì)算、證明，從而達(dá)到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創(chuàng)立了我們現(xiàn)在稱之為的“解析幾何學(xué)”。任何問題——數(shù)學(xué)問題——代數(shù)問題——方程求解。笛卡兒的思想核心是：把幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用6坐標(biāo)系他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)。坐標(biāo)系他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定點(diǎn)的位置，用71637年他發(fā)表了最有名的著作《談?wù)務(wù)_運(yùn)用自己的理性在各門學(xué)問里尋求真理的方法》，通常簡(jiǎn)稱為《方法論》。在《方法論》中附有三篇論文：《折光學(xué)》、《氣象學(xué)》和《幾何學(xué)》。在這三篇論文中笛卡爾給出了用自己的方法做出發(fā)明的例子?！墩?wù)劮椒ā罚?f/16842747.html

《笛卡爾幾何學(xué)》：/f/9845019.html1637年他發(fā)表了最有名的著作《談?wù)務(wù)_運(yùn)用自己的理性在各門8《幾何學(xué)》第一卷討論尺規(guī)作圖。笛卡兒把幾何問題化成代數(shù)問題，提出了幾何問題的統(tǒng)一作圖法。為此，他引入了單位線段，以及線段的加、減、乘、除、開方等概念，從而把線段與數(shù)量聯(lián)系起來，通過線段之間的關(guān)系，“找出兩種方式表達(dá)同一個(gè)量，這將構(gòu)成一個(gè)方程”，然后根據(jù)方程的解所表示的線段間的關(guān)系作圖。《幾何學(xué)》第一卷討論尺規(guī)作圖。笛卡兒把幾何問題化成代數(shù)問題，9《幾何學(xué)》第二卷是曲線的性質(zhì)。笛卡兒用這種新方法解決帕普斯問題時(shí)，在平面上以一條直線為基線，為它規(guī)定一個(gè)起點(diǎn)，又選定與之相交的另一條直線，它們分別相當(dāng)于x軸、原點(diǎn)、y軸，構(gòu)成一個(gè)斜坐標(biāo)系。那么該平面上任一點(diǎn)的位置都可以用(x,y)惟一地確定。帕普斯問題就化成了一個(gè)含兩個(gè)未知數(shù)的二次不定方程。笛卡兒指出，方程的次數(shù)與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，因此可以根據(jù)方程的次數(shù)將曲線分類?！稁缀螌W(xué)》第二卷是曲線的性質(zhì)。笛卡兒用這種新方法解決帕普斯問10帕普斯問題設(shè)l1，l2，l3和l4是四條給定直線，過平面上一點(diǎn)C引四條線各與已知直線交成已知角，設(shè)交點(diǎn)為P、Q、R和S，要求滿足CP·CR＝CS·CQ的點(diǎn)的軌跡．帕普斯問題設(shè)l1，l2，l3和l4是四條給定直線，過平面上一11帕普斯問題的解答以l1為基準(zhǔn)線，A為原點(diǎn)，設(shè)AP=x，PC=y，由于三角形APE所有角給定，所以AP與PE之比一定.設(shè)所以三角形ESC中，設(shè)CE:CS=z:c，則通過類似的方法，可求得CR，CQ。這樣，CP、CQ、CR、CS都表示成關(guān)于x和y的一次式了，把這四個(gè)一次式代入得C點(diǎn)的軌跡方程為

y2＝Ay＋Bxy＋Cx＋Dx2，其中A,B,C,D是由已知量組成的代數(shù)式.AP:PE=z:b.帕普斯問題的解答以l1為基準(zhǔn)線，A為原點(diǎn)，設(shè)AP=x，PC=12笛卡兒接著指出：“如果我們逐次給線段y以無限多個(gè)不同的值，對(duì)于線段x也可找到無限個(gè)值．這樣被表示出來的C點(diǎn)就可以有無限多個(gè)，因此可把所求的曲線表示出來．”這就在變量思想指導(dǎo)下，把數(shù)與形統(tǒng)一起來了．這是數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)劃時(shí)代的變革，從此開拓了變量數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域．笛卡兒接著指出：“如果我們逐次給線段y以無限多個(gè)不同的值，對(duì)13《幾何學(xué)》第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實(shí)際是代數(shù)問題，探討方程的根的性質(zhì)。笛卡兒指出，方程可能有和它的次數(shù)一樣多的根，還提出了著名的笛卡兒符號(hào)法則：方程正根的最多個(gè)數(shù)等于其系數(shù)變號(hào)的次數(shù)；其負(fù)根的最多個(gè)數(shù)（他稱為假根）等于符號(hào)不變的次數(shù)。笛卡兒還改進(jìn)了韋達(dá)創(chuàng)造的符號(hào)系統(tǒng)，用a,b,c,…表示已知量，用x,y,z,…表示未知量?！稁缀螌W(xué)》第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實(shí)際是代數(shù)問題14縱觀笛卡兒的《幾何學(xué)》，雖篇幅不過百頁，卻已奠定了解析幾何的基礎(chǔ)．笛卡兒把曲線與方程相聯(lián)系的觀點(diǎn)，不僅是曲線理論而且是整個(gè)數(shù)學(xué)思想的重大突破．他還進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到，如果兩條曲線以同一個(gè)坐標(biāo)系為參考，則其交點(diǎn)由它們的方程之解來確定．這種思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)高出了他的同時(shí)代人，正如數(shù)學(xué)史家芬克所說：“從來都沒有誰作過任何嘗試，企圖把不同次數(shù)的幾條曲線同時(shí)表示在一個(gè)坐標(biāo)系中…甚至連費(fèi)馬也沒有嘗試過．笛卡兒所系統(tǒng)完成的恰恰是這件事．”縱觀笛卡兒的《幾何學(xué)》，雖篇幅不過百頁，卻已奠定了解析幾何的15費(fèi)馬生平1601年8月17日出生于法國(guó)南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅。1615年，費(fèi)馬才進(jìn)入博蒙·德·洛馬涅公學(xué)，畢業(yè)后先后在奧爾良大學(xué)和圖盧茲大學(xué)學(xué)習(xí)法律。1631年，費(fèi)馬畢業(yè)返回家鄉(xiāng)以后，當(dāng)上了圖盧茲議會(huì)的議員。1642年，進(jìn)入了最高刑事法庭和法國(guó)大理院主要法庭。1646年，費(fèi)馬升任議會(huì)首席發(fā)言人，以后還當(dāng)過天主教聯(lián)盟的主席等職。1665年去世。費(fèi)馬生平1601年8月17日出生于法國(guó)南部圖盧茲附近的博蒙·16費(fèi)馬的數(shù)學(xué)成就費(fèi)馬一生從未受過專門的數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)研究也不過是業(yè)余之愛好。然而，在17世紀(jì)的法國(guó)還找不到哪位數(shù)學(xué)家可以與之匹敵。他不愧是一位數(shù)學(xué)天才，盡管數(shù)學(xué)工作僅占據(jù)了他的一部分時(shí)間，他那豐碩的成果卻令人目不暇接．被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。17世紀(jì)的數(shù)論幾乎是費(fèi)馬的天下；在牛頓和萊布尼茨之前，他為微積分的創(chuàng)立作了大量的準(zhǔn)備工作，取得十分出色的成果；他和帕斯卡一起，分享了創(chuàng)立概率論的榮譽(yù)；在解析幾何上，他也是一位名副其實(shí)的發(fā)明者．費(fèi)馬的數(shù)學(xué)成就費(fèi)馬一生從未受過專門的數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)研究也不過17費(fèi)馬的解析幾何費(fèi)馬的研究工作是以古希臘阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》為出發(fā)點(diǎn)的．他在《平面與立體軌跡引論》的開頭寫道：“毫無疑問，古人對(duì)于軌跡寫得非常多…．可是，如果我沒有想錯(cuò)的話，他們對(duì)于軌跡的研究并非是那么容易的．原因只有一個(gè)：他們對(duì)軌跡沒有給予充分而又一般的表示．”費(fèi)馬認(rèn)為給軌跡一般表示只能靠代數(shù)．他很熟悉韋達(dá)的代數(shù)工作，又受到前人用代數(shù)解決幾何問題的啟發(fā)，所以他著手解決軌跡的一般表示的問題時(shí)，就毫不猶豫地求助于代數(shù)．他不僅使代數(shù)與幾何結(jié)為伴侶，更重要的是他把變量思想用于數(shù)學(xué)研究，這正是他創(chuàng)立解析幾何的主要思想基礎(chǔ)．費(fèi)馬的解析幾何費(fèi)馬的研究工作是以古希臘阿波羅尼奧斯的《圓錐曲18費(fèi)馬的解析幾何費(fèi)馬的具體做法是：考慮任意曲線和它上面的任意點(diǎn)M，M的位置用A，E兩字母表出，其中A是從點(diǎn)O沿底線到點(diǎn)Z的距離，E是從Z到M的距離．他所用的坐標(biāo)就是我們所說的斜坐標(biāo)，A，E相當(dāng)于x，y．費(fèi)馬說：“只要在最后的方程里出現(xiàn)兩個(gè)未知量，我們就得到一個(gè)軌跡，這兩個(gè)量之一的末端描繪出一條直線或曲線．”費(fèi)馬的解析幾何費(fèi)馬的具體做法是：考慮任意曲線和它上面的任意點(diǎn)19笛爾兒與費(fèi)馬的工作對(duì)比笛卡爾費(fèi)馬目的竭力恢復(fù)失傳的阿波羅尼奧斯的著作《論平面軌跡》給出方法論在數(shù)學(xué)上的一個(gè)例子途徑先研究軌跡，然后求其方程先研究方程，然后求其軌跡時(shí)間1637年1630年思想笛卡爾批評(píng)了希臘人的傳統(tǒng)，主張和這個(gè)傳統(tǒng)決裂。費(fèi)馬著眼于繼承古希臘的思想，認(rèn)為自己的工作是重新表述了阿波羅尼奧斯的工作。笛爾兒與費(fèi)馬的工作對(duì)比笛卡爾費(fèi)馬目的竭力恢復(fù)失傳的阿波羅尼奧20解析幾何學(xué)的意義解析幾何學(xué)，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對(duì)立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。解析幾何學(xué)的意義解析幾何學(xué)，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代21這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的建立，不僅標(biāo)