2023年中考數(shù)學高頻壓軸題突破-二次函數(shù)與面積問題

2023年中考數(shù)學高頻壓軸題突破一二次函數(shù)與面積問題

一、選擇題

1.如圖，已知拋物線=2-4與軸交于點，與軸分別交于兩點，將該拋物線平

移后分別得到拋物線1，2，其中1的頂點為點2的頂點為點，則由這三條拋物線所圍

A.8B.1C.3D.無法計算

62

2.已知二次函數(shù)=22-8+6的圖象交軸于兩點.若其圖象上有且只有

三點滿足△1,△2，△3的面積都等于，則的值為（）

A.B._3C.D.4

2

12

二、填空題

3.如圖所示，用長1m的鋁合金條制成下部為矩形、上部為半圓的窗框（包括窗棱），若使此窗戶

的透光面積最大,最大透光面積為一.（結果保留TT）

4.已知拋物線=2-4-5與軸交于（-1,）,（5,0）兩點，與軸交于點，點是

0

拋物線上的一個不與點重合的一個動點，若，=,，則點的坐標是

三、解答題

5.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于(-1,0),(4,0),(0,-4)三點，點

是直線下方拋物線上一動點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)是否存在點，使△是以為底邊的等腰三角形？若存在，求出點坐標；若不

存在，請說明理由；

(3)動點運動到什么位置時，△面積最大，求出此時點坐標和△的最大面積.

6.如圖，拋物線=2++8經過點(-2,),(4,0)兩點，與軸交于點，點是拋

0

物線上一個動點，設點的橫坐標為Q<<4).連接，，，

(2)A的面積等于A的面積的小時，求的值；

(3)在()的條件下，若點是軸上的一個動點，點是拋物線上一動點，試判斷是否存

在這夢的點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫

出點的坐標；若不存在，請說明理由.

7.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點(0,4),(1,0),(5,0),其對稱軸與軸相交于點

(1)求拋物線的解析式和對稱軸.

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使△的周長最小？若存在，請求出點的坐標；

若不存在，請說明理由.

(3)連接，在直線的下方的拋物線上，是否存在一點，使A的面積最大？若存

在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

8.已知拋物線=2++與軸交于(5,0)兩點，為拋物線的頂點，拋物線

的對稱軸交軸于點，連接，且tanz=i,如圖所示.

(1)求拋物線的解析式；

(2)設是拋物線的對稱軸上的一個動點.

①過點作軸的平行線交線段于點，過點作±交拋物線于點，連

接，，求A的面積的最大值；

②連接，求3+的最小值.

9.如圖，已知二次函數(shù)的圖象過點(0,0),(8,),與軸交于另一點，且對稱軸是直線=

4

3

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

⑵若是上的一點，作II交于，當△面積最大時，求的坐標；

⑶是軸上的點，過作_L軸與拋物線交于.過作_L軸于，當以

,,為頂點的三角形與以，,為頂點的三角形相似時，求點的坐標.

10.如圖所示，二次函數(shù)=-2+2+的圖象與軸的一個交點為(-1,0),另一個交點為

且與軸交于點

⑴求的值；求點的坐標；

(2)在拋物線的對稱軸上有一點，使+的值最小，求點的坐標；

(3)該二次函數(shù)圖象上是否有一點()使A=A,求點的坐標.

11.已知拋物線=-2++的對稱軸為直線=1,其圖象與軸相交于，兩點，與

軸相交于點(0,3)?

(1)求，的值；

(2)直線與軸相交于點.

①如圖1,若II軸，且與線段及拋物線分別相交于點，，點關于直線=

1的對稱點為點，求四邊形面積的最大值；

②如圖，若直線與線段相交于點，當△…時，求直線的表達式.

12.如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，△是等腰直角三角形，N=90。，(2,).

(1)求點的坐標；

(2)求經過，，三點的拋物線的函數(shù)表達式；

(3)在()所求的拋物線上，是否存在一點，使四邊形的面積最大？若存在，求出點

的坐標；若不存在，請說明理由.

2

13.如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊長為4,頂點，分別在軸、軸的正

半軸上，拋物線=-L2++經過，兩點，點為拋物線的頂點，連接，，

求此拋物線的解析式.

寫出其圖象是由二次函數(shù)y2的圖象如何平移得到的？

(3)求四邊形的面積.

14.已知拋物線=2+-3經過(-1,0),(3,0)兩點，與軸交于點，直線與拋

物線交于，兩點.

(1)寫出點的坐標并求出此拋物線的解析式.

(2)當原點為線段的中點時，求的值及，兩點的坐標.

(3)是否存在實數(shù)使得△的面積為更若存在，求出的值；若不存在，請說明理

由.

15.如圖，拋物線=2++(,,為常數(shù)，30)經過點(-1,0),(5,-6),(6,0).

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖，在直線下方的拋物線上是否存在點使四邊形的面積最大？若存在，請

求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)若點為拋物線的對稱軸上的一個動點，試指出△為等腰三角形的點一共有幾個？

并求出其中某一個點的坐標.

16.已知二次函數(shù)=2++-.

(1)求證：不論為何實數(shù)，此金數(shù)圖象與軸總有兩個交點.

(2)設<0,當此函數(shù)圖象與軸的兩個交點的距離為V13時，求出此二次函數(shù)的表達式.

(3)在()的條件下，若此二次函數(shù)圖象與軸交于，兩點，在函數(shù)圖象上是否存在點

使得2A的面積為空?若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

17.如圖，已知拋物線2++6經過兩點(-1,0),(3,0),是拋物線與軸的交點.

(2)點()在平面直角坐標系第一象限內的拋物線上運動，設△的面積為,求關

于的函數(shù)表達式(指出自變量的取值范圍)和的最大值；

I

(3)點在拋物線上運動，點在軸上運動，是否存在點、點使得z=90。，

且A與△相似？如果存在，請求出點和點的坐標.

18.如圖，二次函數(shù)=22++的圖象交軸于兩點，并經過點，已知點坐標

2

(3)該二次函數(shù)的對稱軸交軸于點.連接，并延長交拋物線于點，連接，

,求A的面積.

(4)拋物線上有一個動點，與，兩點構成A,是否存在.士；“?若存在，

請求出點的坐標；若不存在,請說明理由.

答案

一、選擇題

1.霹】B

2.【修】C

二、填空題

3.【答案】m2

8+n

【解析】設圓的半徑為米，框架圍成的面積為

則矩形的一條邊為2米，

另一條邊為2（1-4-TI）米，

20x

=In2+1（1-4x-n）-2

*x20xx

=-（4+」）2+10

2

_8+n/10\2.50

-----（-）+，

2n+88+n

也就是最大透光面積為—m2.

故答案為：？m2.

8+n

4剽5(

，

(4),一+VT4S,（-vT45

月24

-2.-，）中，2當=，）時，=-,

，點的坐標為：（0-卜5

0

設點的縱坐標為，，5

右△=A，則II=/

解得=±.§

當=-5時，2-4-=-，解得=（舍去）或=4,此時點的坐標為（4,-）;

當=5時，2-4-=5,解得=+VI—,此時點的坐標為（2+VTT55）或

（2-個——5）;55_024._

綜上，，點的坐標為（4,-）或（2+E5）或（2-E5）.

5,,

三、解答題

5.【答案】

（1）設拋物線解析式為=2++,

把，，

一+=0,

三點坐標代入可得：Q6+4+=0,

=-4.

-L

解得：｛--3,

——4

???拋物線解析式為=2-3-4

(2)作的垂直平分線，交于點，交下方拋物線于點，如圖1,

.??=，此時點即為滿足條件的點，

(0,-4),

(0,-),

.?點2縱坐標為一,

代入拋物線解析式奇得：2-3-4=-,

解得：=3F7(小于0,舍去)或=

22

存在滿足條件的點，其坐標為(號，-2).

⑶???點在拋物線上，

可設(,2-3-4),

過作-L軸于點，交直線于點，如圖

2

.■(4,0),(0,-4),

???直線解析式為=-4,

(,-4),

=(-4)-(2-3-4)=-2+4,

；.a=A+A

11

=-(2+4)X4

=-(-2)2+8

.?.當=fe,A最大值為8,此時2-3-4=-6,

.?當點坐標為(2,-6)時，△的最大面積為8.

2

6.【答案】

(1)拋物線=2++8經過點(-2,),(4,0),

設拋物線的函數(shù)表達式為=(+)(以)，-8=8,=-1,

所以拋物線的函數(shù)表達式為=-2+2+8.

(2)作直線±軸于點，交于點，作±，垂足為

因為點的坐標為(-2,),

0

所以=2,

由=0得=6,

所以點的坐標為(0,8),

所以=8,

所以.=：?■=2x8=8,

所以.=6,

直線的函數(shù)表達式為=-2+8,

所以點的坐標為(，-2+8),

2

所以=-2+2+8-(-2+8)=-+4,

因為點的坐標為(4,),

所以=,0

△—4A+A

=I.+1.

22

=--(+)

2

1

二?

2?

=1(-2+4)X4

2

所以2(-2+4)=6',解得1=(舍)，2=，

所以的值為.13

⑶1(8,0),^(0,0),3“區(qū)0)，4(-皿0).

【解析】

(3)如下圖所示，以為邊或者以為對角線進行平行四邊形的構圖.

以為邊進行構圖，有種情況，采用構造全等進行求解.

因為點坐標為(3,),3

所以1,2的縱坐5標為5,

-2+2+8=5,解得1=-/2=(舍)，

可得2(-1，)，13

所以2(50,0),

所以3，4的縱坐標為-5時，-2+2+8=-5,

解得：1=-71-,2=+V14,

可得3(1+2/154-5),

所以3?亡。)，4(1-力-5),

所以4(-VT?0),>

以為對角，線進行構圖，有種情況，采用中點坐標公式進行求解.

i(-L)1

所以51(8,0).1

7.【答案】

(1)由題知拋物線在軸上的交點為(L0)和(5,0).

設拋物線表達式為=(-1)(-5),

???拋物線過(0,4),

???(0-1)(0-5)=4,

解得=1.

5

???拋物線表達式為=1(-1)(-5),

即---2——+4,

55

對稱軸為直線=m=3.

2

(2)存在，連接交對稱軸于點，連接，

???,關于對稱軸對稱，

++=++=+.

此時△的周長最小.

設直線的表達式為=「+，將(0,4),(5,0)代入可得

S—號+

=4,

解得｛=_士

即=-4'+4.

當=3時，=\x3+4=：,

???點的坐標為(3,；).

(3)存在.

設(；2-￡+4)(0<<5).

過點作II分別交軸和于點，，過點作的延長線于點，連

接

根據(jù)(2)中的表達式二一4■+，得(一:+4.

5)

.1.=--+_廣2_*+4=±*2+4.

5%5)5，

411

-A-A+，A-2X,A=-X

"A=-X+

=2X()

=4x(—'2+4)x

25

=-22+10一

???當=5?時，△的面積最大，最大值為空.

22

此時+=](『—=-3,

???此時點的重標為(：-3).4

8.【答案】

(1)根據(jù)題意可設拋物線的解析式為=+)一.

v是拋物線的對稱軸，(X5)

又???(tan)=：，

.tanz=,RP2,

代入拋物線的解析式，得4=21412-，解得=-2..

44(15)

???二次函數(shù)的解析式為=-、+)-'或=-12+3+徨.

9/999

(15)

⑵①設直線的解析式為=+,

1解得｛

T,

4

即直線的解析式為=-1+”，

33

>

設坐標為(，心+f)，則點坐標為(，一；2+,+：),

??.A的面積=gxX=?3(->+?_?

.?.當=7-時，△的面積最大，目最大值為三

22

②如圖，連接.

根據(jù)圖形的對稱性可知z=z,==5.

3

???smz=—=-，

5

過點作_L于，

則在Rt△PCG中，=sinz=J,

5

???1,

5

再過點作1于點，則+>,

線段的長就是-+的最小值，

5

=2xx=1x6x=1.

△22

2

V7154

又,△=7XX--，

5sn24

225

?'I+的最小值為祖?一?

35

【答案】

(1)■■■拋物線過原點，對稱軸是直線=3,

點坐標為6,

0

設拋物線解析式為()=-6,把8,代入得=,解得1

44

(}(}824

.??拋物線解析式為=t-4,即2一3.

442

(2)設，易得直線(的)解析式為

1

2

設直線(附解析為=+,把6,,

=2

8,代入得｛g+=0解得｛

0+=,4=,一12

：?直線’的解析式為=2-1,()

II,2

???設直線解析式為=2+，把（，0）代入得2+=0,解得-2

.-?直線的解析式為=2-2,解方程組｛

△-1，.22

△2+.2-)+,當時，

△22333

有最大值,此時點室標為（3,）.333

0

⑶設（-23-3），

42

VZ=Z

二當一=—時，△S△'即"=7

32_3

=2即-I:2_|=2||,解方程1=2得1=0（舍去），2=1

2'42

4

此時點坐標為（14,）；解方程[23=-2得1=0（舍去），=-2,此時點

422

0

坐標為（-2,0）；

二當一=一時，△S△，即一=_

48

313

22解方科12-;得1=0(舍去)，

222422

8

2_3.1點坐標為（4,）；

（舍去），解方程工得1=0（舍去），，此時

422

20

綜上所述，點坐標為（14,）或（-2,0）或（4,）.4

00

10.【答案】

⑴把點（T）代入2+2+得

-2+

二次函數(shù)解析式為2+2+

3

令=0,解得1=2一

3

（3,）.3

（2）0據(jù)題意，連接,交拋物線對稱軸與一點，點即為所求點.

（3,）,（0,）,

直線0的海析式為+

拋物線的對稱軸為=,

與拋物線的對稱軸而交點坐標為

所以直線(1，)，

12

即(1,).

⑶當2A一△時，點的縱坐標為土，

當一2+2+=時，=0（舍）或=23,

1(2,)

33

2

當-+2+3=—3時，=1+g或=1-V7r

:.2(1+J匯-3)/3(1--3).

12,,2(1+/7-3),3(1—yf7,—3).

3

()

11.【答案】

(1)由題意，得.

?3?

所以=,=3.

(2)①如圖1,連接

2

因為點0,3關于直線=1的對稱點為點，

由(1)者得)拋鋤線的表達式為=-2+2+3,

令=0,解得1=-1,2=3,

所以一1,0,3,0.

設直線(弓表4式邛=+,

將3,0,0,3代入，得3+=0,

=3,

解得（）

,3,

所以直｛線的表達式為—+3.

設—2+2+3,+3,

所以（=-2+2,3彳2

3=v+3,

四邊形的面積為

，+，

=，-2+3X

9

所以當=:時，四邊形的面積最大，最大值為

2

②當△?△時，

Z=Z，/.=Z.

所以II.

因為0,3,3,0,

所以（=）,（）

所以Z=Z=Z=4°,

所以乙=4.5

如圖，過點作1交于點

所以Banz=tanz=

設=，則=3,:

因為=7―~A=3廠,

所以+3=3/，2

所以="，2

4

所以=^-xV---\

42

所以=2=3-+號

所以(r0)-

設直線的表達式為=-+，則—]+=0,

所以=-,

2

所以直線的表達式為=-+<

2

12.【答案】

(1)如圖1,過作1軸于點，過作±軸于點

???△為等腰三角形，

Z+乙=4+N=90°，

???Z.=Z，

在△和△中，

￡=4

{4=Z

△AAS,

A1==i(=)=,

A2

⑵自呼物線過點，可設拋物線的解析式為=2+H0,

把，兩儂標代入可得4喃｛Lt1

6

物｛'

；?經過，，三點的拋畿的解析式為一5七’.

66

⑶由題意可知點在線段的下方，過作11軸交于點，如圖

設直線的解析式為=

)

(2,1),

=一1，

2

直線的解析式為-

57

貝

點

坐為

標

設O2H

--<<J

66

5

-

6

,V

66

由題意可得==廠，

1.二95

，.△22

四邊形+A

———5I/-…_L-T.-5f.—5

6'762

=-/(-1)2+半

63

0,

6

，當=1時，四邊形的面積最大，此時點坐標為(L-g).

綜上，存在使四邊形面積最大的點，其坐標為(L-9.

13.【答案】

(1)由已知得(0,4),(4,4),

把，兩點的坐標代入=2++,

得(*\-電解得‘彳

該拋物線的解析式為=-32+2+4.

(2)拋物線的解析式為=-/+2+4=-1(-2尸+,

16

該圖象是由二次函數(shù)=-j2的圖象向上平移個單位長度，向右平移2個單位長度得

到的.(合理即可)6

(3)由(2)可知，拋物線頂點的坐標為(2,),

6

+

四邊形11

=-X4X4+X4X

22-

-8+4

2

=12

14.【答案】

(1)令拋物線=2+-3中=0,則=-3,

.-?點的坐標為(0,-3).

拋物線=2+-3經過(-1,),(3,0)兩點，

??有仁一二3,解得：｛久

此拋物線的解析式為=2-2J3.

(2)將=代入二2一2-3中得：=2-2-3,

整理得：2-(+)-3=0,

+=+,=-3.

V原點為蜃段的中點，

2

+=+=0;

解得：二-.

2

當二-2時，2-(+)-3=2-3=0,

解得：2=_戌-五.

=-2=vr,=-2=-V3.

故當原點為線男的中點時，2的值為-,點的坐標為(-V3,再)，點的坐標為

2

(V3?-歷.?

⑶2假設存在.

由()知：+=+,,=-3,

△2=/'?"2?

=2x3xV(+)2-4

3VTO

2，

(+)2-4X(-3)=1，即(+產+=0.

(2+)2非負，無解.022

故假設不成立.

2_

不存在實數(shù)使得△的面積為呼'

15.【答案】

Q)設=(+)(-6)(+0),

把(5,-6)代入,(5+)(5-6)=-6,

=(+)(-6)=2-5-6.

(2)存在，

如圖1,連接，，分別過，向軸作垂線和，垂足分別為

設(，2-5-6),四邊形的面積為，

貝1]=-2+5+6,=+1,=5-,=6-5=1,=6,

,?+梯形+“

=1(-2+5+6)(+1)+](6-2+5+6)(5-)+JX1X6

222

=-32+12+36

=-3(-)2+48,

當=時，,有最大值為48,這時2-5-6=2-5x-6=-1,

(2-1).222

⑶這，融點一共有5個.連接3，3，

=2-5-6=(_2)2-竺；

24

因為3在對稱軸上，

所以設3(j)，

?33是等腰三角形，且3=3，

由勾股定理得：f5+1)+2=p-5)+(+6)2,

22

2

16.【答案】

(1)因為=2-4(-)=(-)2+4>0,所以不論為何實數(shù),此函數(shù)圖象與軸總

有兩個交點.22

⑵設1，2是2++-=0的兩個根，

貝！I1+2=-，1-2=-2

因為此函數(shù)圖象與軸的兩個裁的距離是V1T,

a

所以I1-2I=1—9)=V13?

即(1-2)2=13,

變形為(1+2產-4r2=13,

所以(-)2-4(-)=13.

整理，得(-5)(+1)=0,

2

解得=5或=-1.

又<0,所以=-1.

所以此二次函數(shù)的表達式為=2--3.

(3)設點的坐標為(°,°),

因為函數(shù)圖象與軸的兩個交點間的距離等于V13,

所以=V13.

所以△=?,I0l=

013VlT

所以回=r

22

即I0I二，則0二士.

當。二時，A。3一二，即(。一)(。+)二,

解得o=3或

,32ao33320

當0二一2時，6-0-二-，即0(0-)=,

3

解得。工或?3I。

綜上所述，了在平樣的點，點的坐標是(-2,)z(3,),(0-)或(1-).

17.【答案】

(1)將(-1,),(3,)代入=2++6,

得：丁+打：：：解得：｛二2

???拋物線的解析式為'=-22+4+6.

⑵過點作11軸，交于點，如圖所示?

當=時，=-22+4+6=6,一

，點n的坐標為(0,).

設直線的解析式6為=+,

將(3,),(0,)代入=+,

0_6

得：「工二°解導：｛=-2

=6〃

直線的解析式為=-2+6.

設點的坐標為(，-22+4+6),則點的坐標為(-2+6),

2

=-2+4+6-(-2+6)=-22+6,

2

=>1.=-32+9=-(一3)-7,

2324

..當=2時，A面積取最大值，最大值為-7.

24

???點