數(shù)學(xué)第7章-FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)-窗函數(shù)設(shè)計(jì)法課件

第7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)一、前次課程內(nèi)容回顧二、本次課程主要內(nèi)容及重點(diǎn)和難點(diǎn)提示三、本次課程主要講述的章節(jié)

7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法7.3.1基本思想7.3.2常用窗函數(shù)7.3.3設(shè)計(jì)步驟四、本次課程內(nèi)容小結(jié)8/4/20231CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)第7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)一、前次課程內(nèi)容回顧7/31一、前次課程內(nèi)容回顧在前次課程中，主要講述了下面幾個(gè)方面的內(nèi)容：1、討論了IIR濾波器所固有的缺陷IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，只是對(duì)濾波器的幅頻特性進(jìn)行了研究，而對(duì)相頻特性卻沒(méi)有考慮，所以IIR數(shù)字濾波器的相位特性通常是非線性的。如果要用IIR濾波器實(shí)現(xiàn)線性的相位特性，則必須對(duì)其相位特性用全通濾波器進(jìn)行校正，其結(jié)果使得濾波器設(shè)計(jì)變得復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)困難，成本提高。8/4/20232CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)一、前次課程內(nèi)容回顧在前次課程中，主要講述了下面幾個(gè)方面的內(nèi)一、前次課程內(nèi)容回顧2、列舉了FIR濾波器的特點(diǎn)(1)給h(n)附加一定條件就可實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的線性相位特性；(2)FIR濾波器只有z=0處的極點(diǎn)，所以系統(tǒng)總是穩(wěn)定；(3)由于h(n)為有限長(zhǎng)，便于采用FFT進(jìn)行系統(tǒng)運(yùn)算，運(yùn)算效率高；(4)FIR濾波器的階數(shù)由h(n)的長(zhǎng)度決定，所以一個(gè)具有良好的幅頻特性的FIR濾波器的階數(shù)往往都比較高。(5)FIR濾波器適合用于高保真度的信號(hào)處理圖像處理以及數(shù)據(jù)傳輸語(yǔ)音或音頻信號(hào)處理當(dāng)FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為對(duì)稱(chēng)的實(shí)序列時(shí)，即其相位頻率特性具有嚴(yán)格的線性特性。8/4/20233CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)一、前次課程內(nèi)容回顧2、列舉了FIR濾波器的特點(diǎn)當(dāng)FIR濾波一、前次課程內(nèi)容回顧3、說(shuō)明了FIR濾波器的設(shè)計(jì)思想和設(shè)計(jì)方法FIR濾波器的主要設(shè)計(jì)方法有：窗函數(shù)法、頻率采樣法、切比雪夫等波紋逼近法等。FIR濾波器的設(shè)計(jì)思想是：在保證線性相位條件的前提下，選擇合適的h(n)長(zhǎng)度N，使其傳輸函數(shù)滿(mǎn)足技術(shù)指標(biāo)要求。8/4/20234CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)一、前次課程內(nèi)容回顧3、說(shuō)明了FIR濾波器的設(shè)計(jì)思想和設(shè)計(jì)方一、前次課程內(nèi)容回顧4、分析了FIR濾波器線性相位的條件和特點(diǎn)當(dāng)FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為對(duì)稱(chēng)的實(shí)序列時(shí)，其相位頻率特性具有嚴(yán)格的線性特性，這種線性特性可保證系統(tǒng)無(wú)相位失真。線性相位條件為：

具有線性相位特性的FIR濾波器其幅度特性與脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度的奇偶性有關(guān)，且頻域也有相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性，即8/4/20235CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)一、前次課程內(nèi)容回顧4、分析了FIR濾波器線性相位的條件和特二、本次課程主要內(nèi)容及重點(diǎn)和難點(diǎn)提示1、本次課程的主要內(nèi)容FIR濾波器窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本思想FIR濾波器常用窗函數(shù)介紹FIR濾波器窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)步驟FIR濾波器窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)例2、重點(diǎn)內(nèi)容FIR濾波器窗函數(shù)設(shè)計(jì)法基本思想的掌握和理解FIR濾波器窗函數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)步驟的掌握3、難點(diǎn)內(nèi)容對(duì)FIR濾波器窗函數(shù)設(shè)計(jì)法基本思想的理解根據(jù)窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的基本思想，如何利用MATLAB軟件工具設(shè)計(jì)FIR濾波器8/4/20236CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)二、本次課程主要內(nèi)容及重點(diǎn)和難點(diǎn)提示1、本次課程的主要內(nèi)容7三、本次課程主要講述的章節(jié)本次課程主要講述下列章節(jié)：7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法7.3.1基本思想7.3.2常用窗函數(shù)7.3.3設(shè)計(jì)步驟8/4/20237CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)三、本次課程主要講述的章節(jié)本次課程主要講述下列章節(jié)：7/317.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法通過(guò)第6章可知IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的主要方法是:先設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，然后把它轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)字濾波器。對(duì)于FIR濾波器來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì)方法的關(guān)鍵要求之一就是保證線性相位條件。而IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法中只對(duì)幅度特性進(jìn)行了設(shè)計(jì)故無(wú)法保證這一點(diǎn)。所以，F(xiàn)IR濾波器的設(shè)計(jì)需要采用完全不同的方法。FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法主要有：窗函數(shù)法、頻率采樣法、切比雪夫逼近法等。8/4/20238CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法通過(guò)第6章可知IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的主要7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路1、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的提出通常希望所設(shè)計(jì)的濾波器具有理想的幅頻和相頻特性。理想低通濾波器的頻率特性可表示如下：對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為：式中：8/4/20239CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路1、窗函數(shù)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路從前面的簡(jiǎn)單理論推導(dǎo)及上面的兩幅圖可知：所以理想低通濾波器是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。由于理想低通濾波器頻率特性在邊界頻率處不連續(xù)，故其時(shí)域信號(hào)一定是無(wú)限時(shí)寬的，也是非因果的序列。8/4/202310CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路由于理想低7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路如果要實(shí)現(xiàn)一個(gè)具有理想線性相位特性的濾波器，其幅頻特性只能采取逼近理想幅頻特性的方法實(shí)現(xiàn)。如何逼近理想幅頻特性呢？可以把進(jìn)行截取，并保證截取過(guò)程中序列保持對(duì)稱(chēng)，截取長(zhǎng)度為N，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。若截取后序列為，則可用下式表示為：式中，為截取函數(shù)，又稱(chēng)窗函數(shù)。8/4/202311CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路如果要實(shí)現(xiàn)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路需要說(shuō)明的是：窗函數(shù)有多種形式，為保證加窗后系統(tǒng)的線性相位特性，必須保證加窗后的序列關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。從截取的原理看出:若,即是矩形序列，則序列可以認(rèn)為是從一個(gè)矩形窗口看到的一部分。理想濾波器單位脈沖響應(yīng)經(jīng)過(guò)矩形窗函數(shù)截取后變?yōu)?且8/4/202312CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路需要說(shuō)明的7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路2、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)思想窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)思想是：加窗截取理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)的一段作為所要設(shè)計(jì)的濾波器的脈沖響應(yīng)。

顯然在保證對(duì)稱(chēng)性的前提下，窗函數(shù)長(zhǎng)度N越長(zhǎng)，則越接近。但是誤差是肯定存在的，這種誤差稱(chēng)為截?cái)嗾`差。也即：用一個(gè)長(zhǎng)度為N的序列替代作為實(shí)際設(shè)計(jì)的濾波器的的單位脈沖響應(yīng)，其系統(tǒng)函數(shù)為：這種設(shè)計(jì)思想稱(chēng)為窗函數(shù)設(shè)計(jì)法。8/4/202313CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路2、窗函數(shù)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路3、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法引起的誤差

通常為周期為的函數(shù)，所以它的傅里葉級(jí)數(shù)形式為：由于加窗后無(wú)限長(zhǎng)的變?yōu)橛邢揲L(zhǎng)的，所以?xún)H僅是的有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)，兩者必然產(chǎn)生誤差，誤差的最大點(diǎn)一定發(fā)生在不連續(xù)的邊界頻率點(diǎn)上。顯然，傅里葉級(jí)數(shù)項(xiàng)越多，和的誤差就越小。但是長(zhǎng)度越長(zhǎng)，濾波器就越復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)成本也就越大。所以應(yīng)盡可能的用最小的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)滿(mǎn)足技術(shù)指標(biāo)要求的FIR濾波器。8/4/202314CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路3、窗函數(shù)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路4、加窗后理想濾波器的特性變換分析要確定如何設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器，首先得對(duì)加窗后的理想濾波器的特性變化進(jìn)行分析，并研究減少由截?cái)嘁鸬恼`差的途徑，從而提出FIR濾波器的設(shè)計(jì)步驟。8/4/202315CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路4、加窗后7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路下面將以矩形窗函數(shù)為例，首先分析加窗后理想低通濾波器頻率特性變換。由于：若用和表示和的傅立葉變換，則：上式中，稱(chēng)為矩形窗的幅度函數(shù)。8/4/202316CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路下面將以矩7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路由式7-30可知：所以：若用表示理想低通濾波器的幅度函數(shù)，則:重寫(xiě)得：，則：截取后的濾波器幅度特性是理想濾波器幅度特性和矩形窗的幅度特性的卷積結(jié)果。8/4/202317CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路若用7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路上式的卷積過(guò)程如下：當(dāng)時(shí)，等于圖(a)與(b)兩個(gè)波形的乘積積分;8/4/202318CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路當(dāng)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路當(dāng)時(shí)，如圖(d),的主瓣完全在區(qū)間內(nèi)，而且最大的一個(gè)負(fù)峰已移出區(qū)間外,所以積分值取得最大峰值;8/4/202319CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路當(dāng)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路當(dāng)時(shí)，如圖(c),當(dāng)時(shí)，積分值近似為的一半波形的積分。8/4/202320CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路當(dāng)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路當(dāng)時(shí)，如等圖(e),的主瓣完全移出之外，而且最大的一個(gè)負(fù)峰還完全留在區(qū)間內(nèi)，所以積分值在該點(diǎn)形成最大負(fù)峰。8/4/202321CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路當(dāng)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路因此，上式積分值為前面多個(gè)圖形的疊加,疊加后的波形如圖(f)：矩形窗卷積過(guò)程演示8/4/202322CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路因此，上7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路通過(guò)對(duì)理想濾波器加矩形窗處理后，頻率特性從變化為，表現(xiàn)在以下四點(diǎn)：

1、的最大正峰與最大負(fù)峰對(duì)應(yīng)的頻率之間的相距為：8/4/202323CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路通過(guò)對(duì)理想7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路2、在理想特性的不連續(xù)點(diǎn)附近形成過(guò)渡帶。過(guò)渡帶的寬度近似等于的主瓣寬度。8/4/202324CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路2、在理想7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路3、通帶內(nèi)產(chǎn)生了波動(dòng)，最大峰值出現(xiàn)在處，阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大負(fù)峰出現(xiàn)在處。8/4/202325CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路3、通帶內(nèi)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路4、通帶與阻帶中波動(dòng)的情況與窗函數(shù)的幅度特性有關(guān)。N越大，的波動(dòng)越快，通帶、阻帶內(nèi)的波動(dòng)也就越快。波動(dòng)的大小取決于旁瓣的大小。8/4/202326CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路4、通帶與7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路5、減少截?cái)嗾`差的途徑（1）吉布斯效應(yīng)通過(guò)前面的分析，我們已經(jīng)知道：由于對(duì)理想濾波器加窗產(chǎn)生了截?cái)嘈?yīng)，使得我們?cè)O(shè)計(jì)得到的濾波器頻率特性與理想濾波器頻率特性相比，不但產(chǎn)生了諸如:出現(xiàn)過(guò)渡帶，通帶、阻帶產(chǎn)生波動(dòng)，阻帶衰減減小等一系列的問(wèn)題。這里，就把用矩形窗截取理想濾波器后在頻域產(chǎn)生的結(jié)果稱(chēng)為吉布斯效應(yīng)。吉布斯效應(yīng)直接影響濾波的性能，導(dǎo)致通帶內(nèi)的平穩(wěn)性變差和阻帶衰減不能滿(mǎn)足技術(shù)指標(biāo)。通常濾波器設(shè)計(jì)都要求過(guò)渡帶越窄越好，阻帶衰減越大越好。所以設(shè)計(jì)濾波器的方法要使吉布斯效應(yīng)的影響降低到最小。8/4/202327CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路5、減少截7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路5、減少截?cái)嗾`差的途徑(1)增加窗的長(zhǎng)度N但是，增加窗的長(zhǎng)度N能否減小通帶和阻帶的波動(dòng)呢？從用矩形窗對(duì)理想濾波器的影響看出，如果增大窗的長(zhǎng)度N，可以減小窗的主瓣寬度，從而減小過(guò)渡帶的寬度。過(guò)渡帶形成于理想特性的不連續(xù)點(diǎn)附近。過(guò)渡帶的寬度近似等于的主瓣寬度。減小過(guò)渡帶帶寬8/4/202328CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路5、減少截7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路第一旁瓣發(fā)生在處，則也即，隨著N的增加，主旁瓣將同步增加，并且旁瓣比主瓣低13.5dB。當(dāng)N增加時(shí)，波動(dòng)加快，當(dāng)時(shí)，從上式看出加大N時(shí)，主瓣幅度增大，。同時(shí)旁瓣幅度也會(huì)增加。的波動(dòng)由的旁瓣及余振引起，主要影響是第一旁瓣。在主瓣附近由于很小，故式(7-35)可寫(xiě)為：旁瓣與主瓣幅度相比由此分析，N的增加并不能減小的波動(dòng)情況。8/4/202329CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路第一旁瓣發(fā)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路(2)改變窗函數(shù)的形狀從前面的分析可知，要想減小吉布斯效應(yīng)的影響，增加N是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。如果改變窗函數(shù)的形狀，使其幅度函數(shù)具有較低的旁瓣幅度，就可減小通帶、阻帶的波動(dòng)，并加大阻帶衰減。但是這時(shí)主瓣將會(huì)加寬以包含更多的能量，故而將會(huì)增加過(guò)渡帶寬度。所以當(dāng)N一定時(shí)，減小波動(dòng)和減小過(guò)渡帶是一對(duì)矛盾。必須根據(jù)實(shí)際要求，選擇合適的窗函數(shù)以滿(mǎn)足波動(dòng)要求，然后選擇N滿(mǎn)足過(guò)渡帶指標(biāo)。減小波動(dòng)，增加阻帶衰減8/4/202330CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.1基本思路(2)改變7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)如前所述，調(diào)整窗口長(zhǎng)度N可以有效地控制過(guò)渡帶的寬度，但對(duì)減少帶內(nèi)波動(dòng)以及加大阻帶衰減沒(méi)有作用。所以必須重新選擇窗函數(shù)對(duì)理想濾波器進(jìn)行截取。一個(gè)實(shí)際的濾波器的單位脈沖響應(yīng)可表示成下式：幾種常見(jiàn)的窗函數(shù)：(只給出窗函數(shù)定義和幅度特性)

下面介紹的幾種窗函數(shù)是前輩科學(xué)家們提出的并以他們的名字命名的。8/4/202331CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)如前所述7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)1、矩形窗(Rectangularwindow)

它的主瓣寬度為，第一旁瓣比主瓣低13dB。幅度特性的對(duì)數(shù)形式理想低通濾波器幅度特性加窗后的對(duì)數(shù)形式8/4/202332CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)1、矩形7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)N=49;n=1:N;wdrc=boxcar(N); figure(1);stem(n,wdrc,'r.');gridon axis([0,N,0,1.1]);ylabel('W(n)');xlabel('n');title('50點(diǎn)矩形窗');

8/4/202333CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)7/317.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)2、三角形窗(Bartlettwindow)

它的主瓣寬度為，第一旁瓣比主瓣低26dB。

8/4/202334CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)2、三角7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)N=49;n=1:N;wdbt=triang(N); figure(2);stem(n,wdbt,'r.');gridon axis([0,N,0,1.1]);ylabel('W(n)');xlabel('n');title(‘50點(diǎn)三角窗');

8/4/202335CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)7/317.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)3、漢寧窗(Hanningwindow)(又稱(chēng)：升余弦窗)

它的主瓣寬度為，第一旁瓣比主瓣低31dB。

8/4/202336CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)3、漢寧7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)上式說(shuō)明：漢寧窗幅度函數(shù)由三部分相加而成，其結(jié)果是使主瓣集中了更多的能量如下圖所示，而旁瓣由于三部分相加時(shí)相互抵消而變小，其代價(jià)是主瓣寬度增加，但阻帶衰減加大。

8/4/202337CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)N=49;n=1:N;wdhn=hanning(N); figure(3);stem(n,wdhn,'r.');gridon axis([0,N,0,1.1]);ylabel('W(n)');xlabel('n');title(‘50點(diǎn)漢寧窗');

8/4/202338CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)7/317.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)4、漢明窗(Hammingwindows)(又稱(chēng)：改進(jìn)的升余弦窗)

它的主瓣寬度為，第一旁瓣比主瓣低41dB。

8/4/202339CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)4、漢明7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)N=49;n=1:N;wdhm=hanming(N); figure(3);stem(n,wdhm,'r.');gridon axis([0,N,0,1.1]);ylabel('W(n)');xlabel('n');title(‘50點(diǎn)漢明窗');

8/4/202340CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)7/317.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)5、布萊克曼窗(Blackmanwindow)

該幅度函數(shù)由五部分組成，五部分相加的結(jié)果使得旁瓣得到進(jìn)一步抵消，阻帶衰減加大，而過(guò)渡帶加大到。

8/4/202341CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)5、布萊7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)5、布萊克曼窗(Blackmanwindow)

8/4/202342CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)5、布萊7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)N=49;n=1:N;wdbl=blackman(N); figure(3);stem(n,wdbl,'r.');gridon axis([0,N,0,1.1]);ylabel('W(n)');xlabel('n');title(‘50點(diǎn)布萊克曼窗');

8/4/202343CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)7/317.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)6、凱塞-貝塞爾窗(Kaiser-Baselwindow)

用以控制窗的形狀。通常加大，主瓣加寬，旁瓣減小。8/4/202344CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)6、凱塞7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)N=49;n=1:N;wdks=kaiser(N,beta); figure(3);stem(n,kaiser,'r.');gridon axis([0,N,0,1.1]);ylabel('W(n)');xlabel('n');title(‘50點(diǎn)凱塞窗');

8/4/202345CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)7/317.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)

窗函數(shù)設(shè)計(jì)法演示8/4/202346CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.2常用窗函數(shù)窗函數(shù)設(shè)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟根據(jù)上面分析，設(shè)計(jì)一個(gè)FIR低通濾波器通常按下面步驟進(jìn)行：1、根據(jù)濾波器設(shè)計(jì)要求指標(biāo)，確定濾波器的過(guò)渡帶寬和阻帶衰減要求，選擇窗函數(shù)的類(lèi)型并估計(jì)窗的寬度N。

圖7.17FIR濾波器技術(shù)指標(biāo)圖中通帶波動(dòng):阻帶最小衰減:

8/4/202347CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟根據(jù)上面分7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟具體來(lái)講：

（2）然后可根據(jù)過(guò)渡帶寬度小于給定指標(biāo)的原則確定窗函數(shù)的長(zhǎng)度N。指標(biāo)給定的過(guò)渡帶寬度由下式給出：不同的窗函數(shù)，過(guò)渡帶計(jì)算公式不同(見(jiàn)表7-2)，但過(guò)渡帶與窗函數(shù)的長(zhǎng)度N成反比，由此可確定出長(zhǎng)度N。N選則的原則是在保證阻帶衰減要求的情況下，盡量選擇較小的N。當(dāng)N和窗函數(shù)類(lèi)型確定后，可根據(jù)MATLAB提供函數(shù)求出相應(yīng)的窗函數(shù)。

（1）由于N的選擇對(duì)阻帶最小衰減影響不大，所以可以直接根據(jù)確定窗函數(shù)的類(lèi)型(查表7-2)。8/4/202348CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟具體來(lái)講：7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟

2、根據(jù)所要求的理想濾波器求出單位脈沖響應(yīng)。由理想頻率響應(yīng)的傅里葉反變換求出：對(duì)理想低通濾波器有：

8/4/202349CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟2、根據(jù)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟可利用MATLAB進(jìn)行理想低通濾波器單位脈沖相應(yīng)的求解，程序如下：functionhd=ideallp(wc,N);%wc=截止頻率(弧度),N=濾波器長(zhǎng)度alpha=(N-1)/2;n=[0:N-1];m=[n-alpha]+1e-10; %加小數(shù)避免除零操做hd=sin(wc*m)./(pi*m);%求hd=0到N-1之間的理想脈沖響應(yīng)N=101;wc=0.2*pi;n=0:N-1;%給定理想濾波器長(zhǎng)度和截止頻率y=ideallp(wc,N);%產(chǎn)生脈沖響應(yīng)序列stem(n,y,’.’); %畫(huà)出序列桿狀圖見(jiàn)圖7.18

8/4/202350CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟可利用MA7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟

一般情況下,不容易求得，可采樣數(shù)值計(jì)算方法得到，過(guò)程是：采樣間隔應(yīng)足夠大并滿(mǎn)足采樣定理，以保證窗口內(nèi)與足夠逼近。計(jì)算濾波器的單位脈沖響應(yīng)，根據(jù)窗函數(shù)設(shè)計(jì)理論，得：

8/4/202351CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟一般情況7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟由于結(jié)果往往很復(fù)雜，求解非常困難，故可借助MATLAB工具完成。3、根據(jù)求得的求出其頻率響應(yīng)：8/4/202352CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟由于7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟下面的程序就給出了dB值表示的幅度響應(yīng)、相位相位、群延時(shí)響應(yīng)。調(diào)用該函數(shù)并將所設(shè)計(jì)的濾波器系數(shù)向量輸入，就可以返回各種頻率響應(yīng)指標(biāo)，與設(shè)計(jì)要求進(jìn)行比較。

function[db,mag,pha,grd,w]=myfreqz(b,a);%給定濾波器系數(shù)向量，返回幅度響應(yīng)、相位相位、群延時(shí)響應(yīng)N=1000;[H,W]=freqz(b,a,N,'whole');%用單位圓上N點(diǎn)采樣值并返回復(fù)數(shù)頻率特性

H和相應(yīng)頻率點(diǎn)H=(H(1:1:501))';W=(W(1:1:501))';%取0～pi區(qū)間的501個(gè)樣點(diǎn),并轉(zhuǎn)置成列向量mag=abs(H);%取幅頻特性db=20*log10((mag+eps)/max(mag));%求對(duì)數(shù)并歸一化pha=angle(H);%求相位特性grd=grpdelay(b,a,w);%求群延時(shí)8/4/202353CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟下面的程序7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟4、根據(jù)頻濾響應(yīng)驗(yàn)證是否滿(mǎn)足技術(shù)指標(biāo)。若不滿(mǎn)足指標(biāo)要求，則應(yīng)調(diào)整窗函數(shù)類(lèi)型或長(zhǎng)度，然后重復(fù)(1)、(2)、(3)、(4)步，直到滿(mǎn)足要求為止。8/4/202354CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟4、根據(jù)頻7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟【例7.2】用矩形窗、漢寧窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器，N=21，Wc＝0.3л。解：本題目已經(jīng)給出了窗函數(shù)類(lèi)型和長(zhǎng)度，可省去第(1)步。程序如下：WC=0.3*pi;N=21; %給出指標(biāo)和長(zhǎng)度Nhd=ideallp(WC,N);%求出給定指標(biāo)下的理想脈沖響應(yīng)Wd1=boxcar(N)';h1=hd.*Wd1; %用矩形窗設(shè)計(jì)Wd2=hamming(N)';h2=hd.*Wd2; %用漢明窗設(shè)計(jì)Wd3=blackman(N)';h3=hd.*Wd3; %用布萊克曼窗設(shè)計(jì)[H1,W]=freqz(h1,1); %求h1頻率特性[H2,W]=freqz(h2,1); %求h2頻率特性[H3,W]=freqz(h3,1); %求h3頻率特性subplot(1,2,1);plot(W,abs(H1),W,abs(H2),':',W,abs(H3),'-.'); %畫(huà)出幅頻特性絕對(duì)值legend('Rectanle','Hamming','Blacman'); %標(biāo)注subplot(1,2,2);plot(W,20*log10(abs(H1)),W,20*log10(abs(H2)),':',W,20*log10(abs(H3)),'-.'); %畫(huà)對(duì)數(shù)特性legend('Rectanle','Hamming','Blacman'); %標(biāo)注8/4/202355CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟【例7.27.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟8/4/202356CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟7/31/7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟【例7.3】設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字FIR低通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)如下：解：題目中阻帶最小衰減為50dB，根據(jù)表7-2可選漢明窗為窗函數(shù)。過(guò)渡帶寬度：長(zhǎng)度：8/4/202357CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟【例7.37.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;deltaw=ws-wp;%計(jì)算過(guò)渡帶N=ceil(6.6*pi/deltaw)+1; %求濾波器長(zhǎng)度Nn=[0:1:N-1];wc=(ws+wp)/2; hd=ideallp(wc,N); %求理想脈沖響應(yīng)w_ham=(hamming(N))';%求窗函數(shù)h=hd.*w_ham; %求帶求濾波器脈沖響應(yīng)[db,mag,pha,grd,w]=myfreqz(h,[1]);%求濾波器幅頻特性、相頻特性、群延時(shí)delta_w=2*pi/1000;Rp=-(min(db(1:1:wp/delta_w+1)))%求通帶波動(dòng)As=-(max(db(ws/delta_w+1:1:501)))%求阻帶衰減subplot(1,1,1)%畫(huà)圖subplot(2,2,1);stem(n,hd);title('理想脈沖響應(yīng)');axis([0N-1,-0.10.3]);ylabel('hd(n)')subplot(2,2,2);stem(n,w_ham);title('漢明窗');axis([0N-101.1]);ylabel('w(n)')subplot(2,2,3);stem(n,h);title('實(shí)際脈沖響應(yīng)');axis([0N-1-0.10.3]);ylabel('h(n)')subplot(2,2,4);plot(w/pi,db);title('幅度響應(yīng)');grid;axis([01-10010]);ylabel('dB')8/4/202358CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟wp=0.7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟窗函數(shù)法也可設(shè)計(jì)出其他類(lèi)型的濾波器，如高通、帶通、帶阻濾波器。只要濾波器幅度特性為矩形特性，就可以用理想濾波器疊加而成，如圖7.21所示。8/4/202359CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟窗函數(shù)法也7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟窗函數(shù)法設(shè)計(jì)其他類(lèi)型的濾波器小節(jié)如下：(1)一個(gè)帶通濾波器可以用兩個(gè)低通濾波器相減而成；(2)一個(gè)高通濾波器可用一個(gè)全通濾波器積案減去一個(gè)低通濾波器而成；(3)一個(gè)帶阻濾波器可用一個(gè)高通濾波器加上一個(gè)低通濾波器而成，或用全通濾波器減去帶通濾波器而成。8/4/202360CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟窗函數(shù)法設(shè)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟理想低通濾波器脈沖響應(yīng)為

理想帶通濾波器脈沖響應(yīng)可寫(xiě)為

理想高通濾波器脈沖響應(yīng)可寫(xiě)為

理想帶阻濾波器脈沖響應(yīng)可寫(xiě)為

8/4/202361CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟理想低通濾7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟選定窗函數(shù)即可求得所需的各類(lèi)線性相位濾波器的脈沖響應(yīng)為：選擇窗函數(shù)的原則仍然是由過(guò)渡帶寬確定窗的長(zhǎng)度N，由阻帶衰減確定窗的類(lèi)型。但是由于幅度特性和長(zhǎng)度N以及脈沖響應(yīng)的對(duì)稱(chēng)形狀有關(guān)(見(jiàn)表7-1)應(yīng)特別注意。比如對(duì)高通濾波器來(lái)說(shuō)只能取偶對(duì)稱(chēng)奇數(shù)或奇對(duì)稱(chēng)偶數(shù)情況(1)(4)，而帶阻濾波器則只能選偶對(duì)稱(chēng)奇數(shù)情況(1)。

8/4/202362CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟選定窗函數(shù)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟【例7.4】用窗函數(shù)法(凱塞窗)設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字FIR帶通濾波器,其技術(shù)指標(biāo)如下：下阻帶邊緣：下通帶邊緣：上通帶邊緣：上阻帶邊緣：

8/4/202363CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟【例7.47.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟解:帶通濾波器有兩個(gè)過(guò)渡帶，在線性相位設(shè)計(jì)中兩個(gè)過(guò)渡帶必須相同。根據(jù)技術(shù)指標(biāo)查表7-2、表7-3得知選用布萊克曼窗和凱塞窗都能滿(mǎn)足要求，題目中選用凱塞窗。理想濾波器由兩個(gè)低通理想濾波器相減而成。Matlab程序如下：ws1=0.2*pi;wp1=0.35*pi;wp2=0.65*pi;ws2=0.8*pi;As=60;deltaw=min((wp1-ws1),(ws2-wp2));%計(jì)算，取兩個(gè)過(guò)渡帶中的小的一個(gè)N=ceil(10*pi/deltaw); %求窗函數(shù)長(zhǎng)，要保證為奇數(shù)n=[0:1:N-1];wc1=(wp1+ws1)/2;wc2=(wp2+ws2)/2;%取通帶阻帶頻率平均值為截止頻率hd=ideallp(wc2,N)-ideal_lp(wc1,N);%理想帶通濾波器脈沖響應(yīng)beta=5.568;w_kai=(kaiser(N,beta))';%求窗函數(shù)

8/4/202364CP第一章緒論7章FIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟解:帶通7.3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法

7.3.3設(shè)計(jì)步驟h=hd.*w_kai;%求所求帶通濾波器脈沖響應(yīng)[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,[1]);%求頻率特性驗(yàn)證指標(biāo)delta_w=2*pi/1000;Rp=-min(db(wp1/delta_w+1:1:wp2/delta_w)) %求通帶波動(dòng)As=-round(max(db(ws2/delta_w+1:1:501))) %求阻帶衰減subplot(2,2,1);stem(n,hd);title('理想脈沖響應(yīng)');axis([0N-1-0.40.5]);ylabel('hd(n)') %畫(huà)圖subplot(2,2,2);stem(n,w_kai);title('凱塞窗');axis([0N-101.1]);ylabel('w(n)'