理論力學(xué)(第9章)課件

第9章動(dòng)量矩定理理論力學(xué)第9章動(dòng)量矩定理理論力學(xué)9.2動(dòng)量矩9.3動(dòng)量矩定理的推導(dǎo)和舉例9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第9章

動(dòng)量矩定理9.5相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程動(dòng)力學(xué)9.1剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.3動(dòng)量矩定理的推導(dǎo)和舉例9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程第9.1剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.1.1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般公式如圖所示，已知?jiǎng)傮w上任一點(diǎn)的質(zhì)量為mi，與軸z的距離為ri，則各點(diǎn)質(zhì)量mi與ri2的乘積之和定義為剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，記為Jz。即對(duì)于質(zhì)量連續(xù)體，可寫(xiě)成積分形式，即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是一恒為正值的標(biāo)量，單位：kgm2。1.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.1剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.1.1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般公式9.1剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.1.1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般公式2.回轉(zhuǎn)半徑（或稱慣性半徑）剛體對(duì)任一軸z的回轉(zhuǎn)半徑或慣性半徑為

若已知?jiǎng)傮w對(duì)某軸z的回轉(zhuǎn)半徑ρz和剛體的質(zhì)量m，則其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可按下式計(jì)算9.1剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.1.1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般公式2北京建筑工程學(xué)院唐曉雯3.簡(jiǎn)單形體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)細(xì)圓環(huán)

均質(zhì)薄圓盤(pán)

均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿CmrCmrCml9.1剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.1.1轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般公式北京建筑工程學(xué)院唐曉雯3.簡(jiǎn)單形體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.1剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.1.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定理剛體對(duì)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。即式中，

Jz—表示剛體對(duì)任一軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

JzC—為剛體對(duì)通過(guò)質(zhì)心C且與z軸平行的軸zC的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

m—為剛體的質(zhì)量；

d—為z與zC軸之間的距離。

9.1剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.1.2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行移軸定9.1剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例9-1均質(zhì)細(xì)圓環(huán)質(zhì)量為m1，半徑為r，其上固結(jié)一質(zhì)量為m2的均質(zhì)細(xì)桿AB，系統(tǒng)在鉛垂面內(nèi)以角速度，繞過(guò)點(diǎn)O并垂直于圖面的z軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知∠C1AB=60，求系統(tǒng)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。9.1剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.1剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.圓環(huán)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：2.桿對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3.系統(tǒng)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.1剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.圓環(huán)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解：29.2動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)Q的動(dòng)量mv對(duì)點(diǎn)O的矩，定義為質(zhì)點(diǎn)Q對(duì)點(diǎn)O的動(dòng)量矩。即上式投影到各坐標(biāo)軸可得動(dòng)量mv對(duì)各坐標(biāo)軸的矩。9.2.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩1.對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩2.對(duì)軸的動(dòng)量矩9.2動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)Q的動(dòng)量mv對(duì)點(diǎn)LO

=∑MO(mv)=∑rmv類似的可得質(zhì)點(diǎn)系對(duì)各坐標(biāo)軸的動(dòng)量矩表達(dá)式

質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)O的動(dòng)量矩的矢量和，稱為這質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)O的動(dòng)量主矩或動(dòng)量矩。用LO表示，有1.對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩2.對(duì)軸的動(dòng)量矩9.2.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩Lx=∑Mx(mv)=∑m(yvzzvy)Ly=∑My(mv)=∑m(zvxxvz)Lz=∑Mz(mv)=∑m(x

vyyvx)9.2動(dòng)量矩LO=∑MO(mv)=∑rmv類似的可得質(zhì)點(diǎn)系對(duì)各坐平動(dòng)剛體對(duì)質(zhì)心的為動(dòng)量矩LC=0，故由1.平動(dòng)剛體得9.2.3剛體的動(dòng)量矩即，平動(dòng)剛體任一點(diǎn)的動(dòng)量矩，等于將其質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)，質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該點(diǎn)的矩。9.2動(dòng)量矩平動(dòng)剛體對(duì)質(zhì)心的為動(dòng)量矩LC=0，故由1.平動(dòng)剛體得9.CmixzyOvirirCm1.平動(dòng)剛體9.2.3剛體的動(dòng)量矩9.2動(dòng)量矩CmixzyOvirirCm1.平動(dòng)剛體9.2.3剛體的

設(shè)剛體以角速度繞固定軸

z

轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體內(nèi)任一點(diǎn)A的質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為ri

，則剛體對(duì)軸z

的動(dòng)量矩為即可見(jiàn)，作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩，等于該剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積。2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體9.2動(dòng)量矩9.2.3剛體的動(dòng)量矩設(shè)剛體以角速度繞固定軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體內(nèi)任

設(shè)平面運(yùn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面Cx'y'，且該對(duì)稱平面在固定平面Oxy內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則剛體對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩的動(dòng)量矩等于對(duì)軸z

的動(dòng)量矩。由其中LC=JC

，最后可得3.平面運(yùn)動(dòng)剛體

可得13.1動(dòng)量矩9.2.3剛體的動(dòng)量矩設(shè)平面運(yùn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面Cx'y'，且該

例9-2如圖所示，系統(tǒng)由滑輪A、B及物塊C組成。已知：滑輪A的質(zhì)量為m1、半徑為R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，滑輪B的質(zhì)量為m2、半徑為r、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2，且R=2r，物塊C的質(zhì)量為m3、速度為v，繩與滑輪之間不打滑。求圖示瞬時(shí)系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。9.2動(dòng)量矩例9-2如圖所示，系統(tǒng)由滑輪A、B及解：9.2動(dòng)量矩滑輪A繞O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其動(dòng)量矩為

：滑輪B做平面運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)量矩為：物塊C做平動(dòng)，其動(dòng)量矩為：所以，系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩為：因?yàn)椋航猓?.2動(dòng)量矩滑輪A繞O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其動(dòng)量矩為：9.3動(dòng)量矩定理9.3.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理右邊=將其兩端用質(zhì)點(diǎn)的矢徑r作矢積，得左邊可改寫(xiě)為9.3動(dòng)量矩定理9.3.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理右邊=將其兩端9.3動(dòng)量矩定理9.3.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理因而上式第二項(xiàng)等于零，于是得到當(dāng)矩心O固定時(shí)9.3動(dòng)量矩定理9.3.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理因而上式第二項(xiàng)9.3動(dòng)量矩定理9.3.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理將上式投影到固定坐標(biāo)軸系上，則得結(jié)論

質(zhì)點(diǎn)對(duì)某固定點(diǎn)（或固定軸）的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力對(duì)該點(diǎn)（或該軸）的矩?！|(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。9.3動(dòng)量矩定理9.3.1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理將上式投影到固對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系有其中可分為外力對(duì)O點(diǎn)的矩和內(nèi)力對(duì)O點(diǎn)的矩二項(xiàng)即而內(nèi)力對(duì)O點(diǎn)的矩所以有9.3動(dòng)量矩定理9.3.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系有其中可9.3動(dòng)量矩定理注意到所以有將上式投影到固定坐標(biāo)軸系上，則得9.3.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理9.3動(dòng)量矩定理注意到所以有將上式投影到固定坐標(biāo)軸系上，則13.2動(dòng)量矩定理的推導(dǎo)和舉例結(jié)論

質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)（或固定軸）的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù),等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部外力對(duì)該點(diǎn)（或該軸）的矩的矢量和（或代數(shù)和）——質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理。9.3.2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理13.2動(dòng)量矩定理的推導(dǎo)和舉例結(jié)論質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固北京建筑工程學(xué)院唐曉雯則

若作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)某定點(diǎn)(或某定軸）的矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)（或軸）的動(dòng)量矩保持不變——質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定律。1.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩守恒定理或若9.3動(dòng)量矩定理9.3.3動(dòng)量矩守恒定理結(jié)論北京建筑工程學(xué)院唐曉雯則若作用于質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)某定點(diǎn)9.3動(dòng)量矩定理(1)如果∑MO(Fi（e))

0，則由上面第一式可知，LO=常矢量。(2)如果∑Mz(Fi（e）)

0，則由上面第二式可知，Lz=

常量。對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理對(duì)定軸的動(dòng)量矩定理結(jié)論

當(dāng)作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力對(duì)某固定點(diǎn)(或固定軸)的主矩始終等于零,則質(zhì)點(diǎn)系對(duì)該點(diǎn)(或該軸)的動(dòng)量矩保持不變——質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒定理。9.3.3動(dòng)量矩守恒定理2.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩守恒定理9.3動(dòng)量矩定理(1)如果∑MO(Fi（e))9.3動(dòng)量矩定理例9-3半徑為r的定滑輪可繞過(guò)質(zhì)心的固定軸O(z)轉(zhuǎn)動(dòng)，該輪對(duì)軸O(z)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jz。在滑輪上繞一柔軟的繩子，其兩端各系一重為W1和W2的重物A和B，且Wl>W2，如圖所示。求此兩重物的加速度和滑輪的角加速度。9.3動(dòng)量矩定理9.3動(dòng)量矩定理解:

取滑輪、重物

A

、B

和繩索為研究對(duì)象,受力如圖。對(duì)滑輪的轉(zhuǎn)軸O

應(yīng)用動(dòng)量矩定理，有系統(tǒng)的動(dòng)量矩由三部分組成：系統(tǒng)的外力主矩為(1)(2)(3)9.3動(dòng)量矩定理解:取滑輪、重物A、B9.3動(dòng)量矩定理由動(dòng)量矩定理得兩重物的加速度為：滑輪的角加速度為：9.3動(dòng)量矩定理由動(dòng)量矩定理9.3動(dòng)量矩定理例9-4如圖所示，已知主動(dòng)力偶矩為M，求：（1）例9-2中物塊C的加速度，（2）AB段繩索的拉力。9.3動(dòng)量矩定理9.3動(dòng)量矩定理解：（1）例9-2中物塊C的加速度。取系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖所示，其外力對(duì)軸O的力矩為:在例9-2中已求出系統(tǒng)的動(dòng)量矩為：

代入動(dòng)量矩定理，得9.3動(dòng)量矩定理取系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖所示，其9.3動(dòng)量矩定理解：（1）例9-2中物塊C的加速度。

物塊C的加速度為:9.3動(dòng)量矩定理物塊C的加速度為:9.3動(dòng)量矩定理解：（2）AB段繩索的拉力。取滑輪A為研究對(duì)象，受力如圖所示,其外力對(duì)軸O的力矩為而滑輪A對(duì)軸O的動(dòng)量矩為

據(jù)得AB段繩索的拉力為：9.3動(dòng)量矩定理取滑輪A為研究對(duì)象，受力如圖所示,

設(shè)剛體在主動(dòng)力F1,F2,···,Fn作用下繞定軸z

轉(zhuǎn)動(dòng)，與此同時(shí)，軸承上產(chǎn)生了約束力FA和FB。

用Mz

=∑Mz(F(e))

表示作用在剛體上的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸

z

的主矩(約束力FA,

FB自動(dòng)消去)。剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的動(dòng)量矩Lz=Jzω于是根據(jù)動(dòng)量矩定理可得9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程設(shè)剛體在主動(dòng)力F1,F2,··考慮到則上式可寫(xiě)成或即，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積,等于作用于剛體的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的主矩——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程考慮到則上式可寫(xiě)成或即，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程例9-5已知定滑輪半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，帶動(dòng)定滑輪的膠帶拉力為FT1和FT2。求定滑輪的角加速度。

解：（2）根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程有所以

（1）定滑輪受力如圖（b）9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程例9-5已知定滑輪9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程例9-6圖示一質(zhì)量為m的物理擺(也稱復(fù)擺)在鉛垂平面內(nèi)擺動(dòng)，點(diǎn)C為其質(zhì)心，質(zhì)心C到懸掛點(diǎn)O的距離為a，擺對(duì)懸掛點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。求物理擺微小擺動(dòng)的周期。9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程例9-6圖示一質(zhì)量9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程

解：（2）物理擺的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為：（1）物理擺受力如圖所示因?yàn)槭俏⑿[動(dòng)，有所以，上式又可寫(xiě)為這是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)微分方程，其通解為：9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程解：（2）物理擺的轉(zhuǎn)動(dòng)

解：9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程式中：0稱為角振幅，是初位相，其值可由運(yùn)動(dòng)初始條件確定。復(fù)擺的擺動(dòng)周期為:

解：9.4剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程式中：0稱為角9.5相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程9.5.1質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理

即質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)質(zhì)心的主矩—相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理。

對(duì)于剛體，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理建立了外力與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的關(guān)系；質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理建立了外力與剛體在平移參考系內(nèi)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)系；二者完全確定了剛體一般運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，為研究剛體運(yùn)動(dòng)奠定了基礎(chǔ)。9.5相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程9.5.9.5.2剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程9.5相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程圖示為一具有質(zhì)量對(duì)稱面（平行于運(yùn)動(dòng)平面）的剛體，在等價(jià)于質(zhì)量對(duì)稱面的平面力系（F1、F2、Fn）的作用下作平面運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心C位于平面圖形S內(nèi)。由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，可將平面運(yùn)動(dòng)看作隨同質(zhì)心的平動(dòng)與繞通過(guò)質(zhì)心而垂直于圖平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。于是，由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理有：9.5.2剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程9.5相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩

這兩個(gè)方程都是剛體平面運(yùn)動(dòng)的微分方程。

或者

需要指出的是，若上述投影方程中各式等號(hào)的左側(cè)各項(xiàng)均恒等于零，則得到靜力學(xué)