上海市寶山區(qū)羅店中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，則函數(shù)的圖像是（）A． B．C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．3．設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（）A． B． C．2 D．4．已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)k的值為（）A． B．1 C． D．5．12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是()A． B． C． D．6．若是小于的正整數(shù)，則等于（）A． B． C． D．7．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則A． B．C． D．8．的常數(shù)項(xiàng)為(

)A．28 B．56 C．112 D．2249．已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，在區(qū)間、和內(nèi)取值的概率分別為、、和.某企業(yè)為名員工定制工作服，設(shè)員工的身高（單位：）服從正態(tài)分布，則適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制（）A．套 B．套 C．套 D．套10．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為。若射線與曲線和曲線分別交于兩點(diǎn)（除極點(diǎn)外），則等于（）A． B． C．1 D．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的為2，則輸出的值是（）A．2 B．1 C． D．-112．某一數(shù)學(xué)問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5位同學(xué)只會(huì)用綜合法證明，有3位同學(xué)只會(huì)用分析法證明，現(xiàn)任選1名同學(xué)證明這個(gè)問題，不同的選法種數(shù)有（）種．A．8 B．15 C．18 D．30二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，都有，則正整數(shù)的最大值為__________．14．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，那么異面直線和所成角的余弦值等于________________．15．設(shè)函數(shù)，.若，且的最小值為-1，則實(shí)數(shù)的值為__________．16．在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開式中含的項(xiàng)為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和比各項(xiàng)系數(shù)之和大（1）求展開式所有的有理項(xiàng)；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).18．（12分）為了紀(jì)念國(guó)慶70周年,學(xué)校決定舉辦班級(jí)黑板報(bào)主題設(shè)計(jì)大賽,高二某班的同學(xué)將班級(jí)長(zhǎng)米、寬米的黑板做如圖所示的區(qū)域劃分:取中點(diǎn),連接,以為對(duì)稱軸,過(guò)兩點(diǎn)作一拋物線弧,在拋物線弧上取一點(diǎn),作垂足為,作交于點(diǎn).在四邊形內(nèi)設(shè)計(jì)主題,其余區(qū)域用于文字排版,設(shè)的長(zhǎng)度為米.(1)求長(zhǎng)度的表達(dá)式,并寫出定義域；(2)設(shè)四邊形面積為,求當(dāng)為何值時(shí),取最大值,最大為多少平方米?19．（12分）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量（單位：噸）和年利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）的影響。對(duì)近六年的年宣傳費(fèi)和年銷售量的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：年份201320142015201620172018年宣傳費(fèi)（萬(wàn)元）384858687888年銷售量（噸）16.818.820.722.424.025.5經(jīng)電腦擬，發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)（萬(wàn)元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關(guān)系式即。對(duì)上述數(shù)據(jù)作了初步處理，得到相關(guān)的值如下表：75.324.618.3101.4（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；（2）規(guī)定當(dāng)產(chǎn)品的年銷售量（噸）與年宣傳費(fèi)（萬(wàn)元）的比值在區(qū)間內(nèi)時(shí)認(rèn)為該年效益良好?，F(xiàn)從這6年中任選2年，記其中選到效益良好年的數(shù)量為，試求隨機(jī)變量的分布列和期望。（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線交于不同兩點(diǎn).（1）求直線和曲線的普通方程；（2）若點(diǎn)，求.21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求證：.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）22．（10分）已知i為虛數(shù)單位，m為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù).（1）m為何值時(shí)，z是純虛數(shù)？（2）若，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)解題?！驹斀狻?，斜率為正，排除BD選項(xiàng)。的圖象的頂點(diǎn)在第一象限其對(duì)稱軸大于0即b<0,選A【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)已知信息選導(dǎo)函數(shù)的大致圖像。屬于簡(jiǎn)單題。2、B【解析】

算出，即可得.【詳解】由得，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，考查了學(xué)生基本運(yùn)算能力和對(duì)基本概念的理解.3、D【解析】

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合題設(shè)，找到倍數(shù)關(guān)系，即得解.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的定義，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】由得，設(shè)切點(diǎn)為，則，，，，對(duì)比，，，故選D.5、C【解析】試題分析：第一步從后排8人中選2人有種方法，第二步6人前排排列，先排列選出的2人有種方法，再排列其余4人只有1種方法，因此所有的方法總數(shù)的種數(shù)是考點(diǎn)：排列組合點(diǎn)評(píng)：此類題目的求解一般遵循先選擇后排列，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理的方法6、D【解析】

利用排列數(shù)的定義可得出正確選項(xiàng).【詳解】，由排列數(shù)的定義可得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)的表示，解題的關(guān)鍵就是依據(jù)排列數(shù)的定義將代數(shù)式表示為階乘的形式，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.7、A【解析】分析：首先將圖畫出來(lái)，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得，之后應(yīng)用向量的加法運(yùn)算法則-------三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應(yīng)用相反向量，求得，從而求得結(jié)果.詳解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過(guò)程中，需要認(rèn)真對(duì)待每一步運(yùn)算.8、C【解析】分析：由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，即可求解展開式的常數(shù)項(xiàng).詳解：由題意，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了二項(xiàng)展開式的指定項(xiàng)的求解，其中熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.9、B【解析】

由可得，，則恰為區(qū)間，利用總?cè)藬?shù)乘以概率即可得到結(jié)果.【詳解】由得：，，，又適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制：套本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)分布進(jìn)行估計(jì)的問題，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

把分別代入和，求得的極經(jīng)，進(jìn)而求得，得到答案．【詳解】由題意，把代入，可得，把代入，可得，結(jié)合圖象，可得，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合法的解題思想方法，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，執(zhí)行循環(huán)體，逐次計(jì)算、判斷，即可得到輸出的結(jié)果，得到答案．【詳解】由題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，可得：第一次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第二次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第三次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第四次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第五次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第六次循環(huán)：，不滿足判斷條件，輸出結(jié)果，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出問題，其中利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法，一定要先確定是用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是用直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是先判斷再循環(huán)，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷；注意輸入框、處理框、判斷框的功能，不可混用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解析】

本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，解決問題分成兩個(gè)種類，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有3+5＝8種結(jié)果．【詳解】由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題，解決問題分成兩個(gè)種類，一是可以用綜合法證明，有5種方法，一是可以用分析法來(lái)證明，有3種方法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有3+5＝8種結(jié)果，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查分類計(jì)數(shù)問題，本題解題的關(guān)鍵是看清楚完成這個(gè)過(guò)程包含兩種方法，看出每一種方法所包含的基本事件數(shù)，相加得到結(jié)果．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：先根據(jù)單調(diào)性得對(duì)任意的都成立，再根據(jù)實(shí)數(shù)存在性得，即得，解得正整數(shù)的最大值.詳解：因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)任意的，都有，所以對(duì)任意的都成立，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，所以即得，因?yàn)槌闪ⅲ?，所以正整?shù)的最大值為4.點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法,使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.14、.【解析】以AD,DC,DD1建立空間直角坐標(biāo)系，則：得直線和所成角的余弦值等于15、2【解析】分析：先表示函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值，最后根據(jù)的最小值為-1得實(shí)數(shù)的值.詳解：因?yàn)?，設(shè)，則所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)睛：兩函數(shù)關(guān)系問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式或方程，從而求出參數(shù)的取值范圍或值.16、【解析】

求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，得出展開式前三項(xiàng)的系數(shù)，由前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列求出的值，然后利用的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，并代入通項(xiàng)可得出所求項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，由題意知，、、成等差數(shù)列，即，整理得，，解得，令，解得.因此，展開式中含的項(xiàng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式中指定項(xiàng)的求解，同時(shí)也考查了利用項(xiàng)的系數(shù)關(guān)系求指數(shù)的值，解題的關(guān)鍵就是利用展開式通項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

令可得展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，而展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，列方程可求的值及通項(xiàng)，（1）為整數(shù)，可得的值，進(jìn)而可得展開式中所有的有理項(xiàng)；（2）假設(shè)第項(xiàng)最大，且為偶數(shù)，則，解出的值，進(jìn)而可求得系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】解：令可得，展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，而展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，，，，（1）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，為有理項(xiàng)，則，所以展開式所有的有理項(xiàng)為：；（2）設(shè)第項(xiàng)最大，且為偶數(shù)則，解得：，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用賦值法求解二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和及展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的綜合應(yīng)用.18、(1)(2)當(dāng)時(shí)，四邊形面積取得最大值為【解析】

（1）建立平面直角坐標(biāo)系求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線方程，進(jìn)行求解即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)最值極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求最值即可.【詳解】⑴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系.所以,所以直線為因?yàn)閽佄锞€是以為對(duì)稱軸，設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以因?yàn)?，所以，所以⑵因?yàn)椋?，所以四邊形的面積設(shè)，由，解得：t1+0-↗極大值↘所以當(dāng)時(shí)，取極大值且是最大值答：當(dāng)時(shí)，四邊形面積取得最大值為【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)應(yīng)用的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有求函數(shù)的解析式，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于中檔題目.19、(1)；(2)見解析.【解析】

分析：（1）由數(shù)據(jù)可得：,從而求可得公式中所需數(shù)據(jù)，求出，再結(jié)合樣本中心點(diǎn)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得回歸方程；（2），結(jié)合組合知識(shí)，利用古典概型概率公式求出各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列，進(jìn)而利用期望公式可得的數(shù)學(xué)期望.詳解：（1）由令得，由數(shù)據(jù)可得：,,于是，得故所求回歸方程為（2）條件，于是求出，即6年中有3年是“效益良好年”，，由題得，012所以的分布列如表所示，且。點(diǎn)睛：本題主要考查非線性擬合及非線性回歸方程的求解與應(yīng)用以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于難題.是源于課本的試題類型，解答非線性擬合問題，先作出散點(diǎn)圖，再根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程，求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，即可求出非線性回歸方程.20、（1），（2）【解析】

（1）將參數(shù)方程消去即可得到普通方程；根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則可得曲線的普通方程；（2）根據(jù)在直線上和直線的傾斜角可得到參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，將其代入曲線的普通方程，得到韋達(dá)定理的形式；根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】.（1）直線的普通方程為：，由得：，曲線的普通方程為：，即：.（2）由題意知，點(diǎn)在直線上，且直線傾斜角滿足，，，直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式為：（為參數(shù)），將其代入曲線的普通方程得：，則，..【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程相關(guān)知識(shí)的求解問題，涉及到參數(shù)方程化普通方程