北京大學(xué)量子力學(xué)課件-第27講

第二十七講Ⅰ.非簡并能級的二級微擾

當(dāng)微擾較大時(shí)，或一級微擾為零時(shí)，則二級微擾就變得重要了。由項(xiàng)得北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講1

以進(jìn)行標(biāo)積得而

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講2

所以，準(zhǔn)至二級的能量和波函數(shù)北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講3

顯然，要使近似解逼近真實(shí)解，就要恰當(dāng)選取，，而且要求

例：剛體轉(zhuǎn)子的斯塔克效應(yīng)（StarkEffect）將體系置于外電場中，能級發(fā)生移動的現(xiàn)象稱為StarkEffect。北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講4

設(shè)：轉(zhuǎn)子的角動量為，電偶極為，當(dāng)置于均勻外電場中（取電場方向?yàn)閦）顯然

5因所以，盡管能級是簡并的，但可用非簡并微擾論的公式去求近似解。得

6

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講7

由這可看出，簡并部分解除（同不同的能量不同，但相同） 和態(tài)仍簡并，即重簡并條（不簡并，而其他的為二重簡并）。

8Ⅱ．堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)和反常塞曼效應(yīng)

（1）堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)

堿金屬原子有一個(gè)價(jià)電子，它受到來自原子核和其他電子提供的屏蔽庫侖場作用，，價(jià)電子的哈密頓量為選力學(xué)量完全集

Ⅱ．堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)和反常塞曼效應(yīng)9則能量與無關(guān)。由于與對易，所以，可用非簡并微擾論的公式去求近似解。一級微擾

則10這即觀測到的納光譜的雙線結(jié)構(gòu)的原因。北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講11

（2）反常塞曼效應(yīng)

在較強(qiáng)磁場中()，原子光譜線分裂的現(xiàn)象（一般分為三條），稱為正常塞曼效應(yīng)。即使考慮自旋（而自旋－軌道耦合和項(xiàng)可忽也同樣（因）。

當(dāng)磁場較弱時(shí)，與引起的附加能量可比較時(shí)，就不能忽略自旋－軌道相互作北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講12北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講13用項(xiàng)而僅考慮項(xiàng)。這時(shí)，哈密頓量（在均勻外磁場下）取方向?yàn)榉较?，北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講14

則(忽略)這時(shí)（簡并度為，即對簡并）

[選]

則15

是磁場為零時(shí)的能量本征方程的本征值。當(dāng)置入弱磁場（均勻，取方向），而引起能級移動，在一級微擾下是磁場為零時(shí)的能量本征方程的本征值。16北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講17

所以，當(dāng)放入弱磁場中，能級由根據(jù)偶極躍遷選擇定則所以，當(dāng)放入弱磁場中，能級由18

—有四條光譜線

—有四條光譜線19北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講20

—有六條光譜線

—有六條光譜線21北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講22

所以，這時(shí)每條能譜線的多重態(tài)是偶數(shù)；多重態(tài)的能級間距隨不同能級而不同；而光譜線也是偶數(shù)條。所以，這時(shí)每條能譜線的多重態(tài)是偶數(shù)；多23北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講24（3）簡并能級的微擾論

當(dāng)體系的一些能級是簡并時(shí)，那考慮這些能級所受的擾動影響時(shí)，就不一定能利用上述公式，因這時(shí)初態(tài)不能確定處于那一個(gè)簡并態(tài)上，而一級波函數(shù)修正當(dāng)（即與 簡并的態(tài)）則分母為零。（3）簡并能級的微擾論25另外二級微擾的能量 也存在這一問題。事實(shí)上，由于零級是簡并的，我們不知應(yīng)從那一個(gè)態(tài)出發(fā)是正確的。所以，對簡并能級的微擾問題的處理與非簡并問題的處理，實(shí)質(zhì)的不同在于零級波函數(shù)的選取。即要正確選取零級波函數(shù)。另外二級微擾的能量 26

例：沒有微擾的體系僅有一條能級，是二重簡并（這二個(gè)態(tài)構(gòu)成完全集）。若有微擾例：沒有微擾的體系僅有一條能級，是二27

求的本征值，本征函數(shù)。在表象中有 ，相應(yīng)波函數(shù)為求的本征值，本征函數(shù)。28

如用非簡并微擾論來求，從出發(fā)

所以近似不好。如從出發(fā)，則一級微擾這近似就等于精確解。而如用非簡并微擾論來求，從出發(fā)29

所以，因此，要恰當(dāng)選擇零級波函數(shù)。

A．零級波函數(shù)的選擇

設(shè)：能級有重簡并，取零級波函數(shù)

30而

（是正交，歸一的）由方程取到一級，得，方程）

而31其中（注意：是代表的所有態(tài)）北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講32將與一次冪的方程標(biāo)積為即要有非零解(即不都為)，則必須

33

由這可解得代回方程可得，即相應(yīng)于一級能量修正的零級波函數(shù)為

（準(zhǔn)至一級）

34

這是一個(gè)什么樣過程呢？從原則上講，的解為因此在表象中，的矩陣維數(shù)為。在表象中是對角的。當(dāng)考慮后，則有非對角元。如非對角元相同，則從上節(jié)知，能量差越大，其影響越小（擾動越?。?/p>

這是一個(gè)什么樣過程呢？從原則上講，35北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講36如非對角元為零，則對那一態(tài)就沒有直接影響。當(dāng)取到一級，求時(shí)，實(shí)際上把的態(tài)與的態(tài)之間的矩陣元都假設(shè)為零。在假設(shè)（）的近似下，即在的子空間對 對角化，相當(dāng)于能量準(zhǔn)至一級，并同時(shí)確定正確的零級波函數(shù)。顯然，對于（）能量不同的態(tài)，可唯一地被確定，而中有相等的

37北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講38北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講39

的態(tài)，其零級波函數(shù)仍不能唯一地確定。當(dāng)然，這樣一些波函數(shù)可經(jīng)線性組合成為正交歸一的波函數(shù)（但應(yīng)注意，從這些態(tài)出發(fā)的微擾仍應(yīng)由線性組合出發(fā)，不能單從一個(gè)態(tài)出發(fā)）。應(yīng)該指出：

1.新的零級波函數(shù)之間是正交的。證：(1)

的態(tài)，其零級波函數(shù)仍不能唯一地確定。當(dāng)40

(2)以乘（1），并對求和以（2）式取復(fù)共軛，乘，對求和北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講41

由于

并交換得兩式相減得當(dāng)時(shí)，則

由于42即正交。如時(shí)，即可將它們正交、歸一化。

2．在 子空間中是對角的（但這并不等于說是的本征態(tài)，本征值為）

43

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講44

總之，由在（）中,對角化得到相應(yīng)的波函數(shù)和對角矩陣元，即為零級波函數(shù)（恰當(dāng)?shù)模┖鸵患壩_能量。從而得到一組相互正交的零級波函數(shù).

總之，由在（45

從而得到一組個(gè)相互正交的零級波函數(shù).

相應(yīng)能量為

（加上零級能量）

46

B．簡并能級下的一級微擾：選定了正確的零級波函數(shù)后，對于

所相應(yīng)的波函數(shù)作微擾出發(fā)點(diǎn)，就可以當(dāng)作非簡并態(tài)進(jìn)行微擾處理?，F(xiàn)討論（對所有）設(shè)：B．簡并能級下的一級微擾：47

48

49

以標(biāo)積的方程兩邊（簡并態(tài)一級修正，就是在子空間對角化）。

50

以標(biāo)積方程兩邊（）

以標(biāo)積方程兩邊以標(biāo)積方程兩邊（）51北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講52

例:在均勻外電場中，氫原子能級的變化（斯塔克效應(yīng)）考慮氫原子在外電場中的情況（在方向，忽略，即不考慮自旋）其中我們討論氫原子狀態(tài)的能級，因它是四重簡并，即例:在均勻外電場中，氫原子能級的變化（斯塔克效應(yīng)）53

由于，所以，不改變的本征值，即z的矩陣元僅在初、末態(tài)中的相同時(shí)才可能不為。是奇函數(shù)，所以僅初、末態(tài)宇稱相反才可能不為0。所以，僅

54

于是，可表為北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講55有解

有解56

C．簡并態(tài)的二級微擾

方程為以標(biāo)積

C．簡并態(tài)的二級微擾57北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講58

D.進(jìn)一步討論

1．一級微擾僅部分解除簡并的討論

在討論簡并態(tài)的一級和二級微擾時(shí)，我們假設(shè)所處理的有 ()當(dāng)一級微擾并未把簡并完全解除。如氫原子置于均勻電場中，對能級就是這種情況和的能量北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講59

假設(shè)：若其中，而我們正是要處理這二個(gè)仍簡并的態(tài)時(shí)，則零級波函數(shù)應(yīng)

假設(shè)：60

取和

的線性組合于是有

取61應(yīng)注意二點(diǎn)：

1.求和不包括

2.顯然

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講62

即對，對角且相等

63以標(biāo)積得而

64于是得到

于是得到65

由這可解出若，則可唯一地確定簡并態(tài)的零級波函數(shù)這樣求出的才是正確的能量二級修正及零級波函數(shù)，而不能取

由這可解出66

例：在均勻外電場中的平面轉(zhuǎn)子

有本征態(tài)

例：在均勻外電場中的平面轉(zhuǎn)子67相應(yīng)本征值為。所以，是兩重簡并（在軸）而

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講68即簡并態(tài)之間無作用；所以1.

如這時(shí)認(rèn)為仍可用非簡并微擾論的方法去求二級修正，則

北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講69

（不?。?/p>

對簡并也未解除

70

即

2.

由于，故簡并未解除。一級微擾不能確定零級波函數(shù)，而必須由二級微擾來確定零級波函數(shù)。利用公式

即71

對北京大學(xué)量子力學(xué)ppt課件-第27講7