帶導(dǎo)數(shù)的插值

帶導(dǎo)數(shù)的插值第1頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作2Newton插值和Lagrange插值雖然構(gòu)造比較簡單，但都存在插值曲線在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn)，不光滑，插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處不可導(dǎo)等缺點(diǎn)--------(1)第2頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作3--------(2)第3頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作4定義1.稱滿足(1)或(2)式的插值問題為Hermite插值，稱滿足(1)或(2)式的插值多項(xiàng)式P(x)為Hermite插值多項(xiàng)式，記為Hk(x),k為多項(xiàng)式次數(shù)兩點(diǎn)三次Hermite插值先考慮只有兩個節(jié)點(diǎn)的插值問題第4頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作5希望插值系數(shù)與Lagrange插值一樣簡單重新假設(shè)第5頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作6其中可知由第6頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作7可得Lagrange插值基函數(shù)第7頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作8類似可得即將以上結(jié)果代入第8頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作9得兩個節(jié)點(diǎn)的三次Hermite插值公式第9頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作10二、兩點(diǎn)三次Hermite插值的余項(xiàng)兩點(diǎn)三次Hermite插值的誤差為第10頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作11構(gòu)造輔助函數(shù)均是二重根連續(xù)使用4次Rolle定理，可得，使得第11頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作12即所以,兩點(diǎn)三次Hermite插值的余項(xiàng)為以上分析都能成立嗎？第12頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作13

例

設(shè)f(x)=lnx，給定f(1)=0,f(2)=0.693147,f’(1)=1,f’(2)=0.5。用三次Hermite插值多項(xiàng)式H3(x)計(jì)算f(1.5)的近似值。解記x0=1,x1=2,可得得三次Hermite插值多項(xiàng)式由此得f(1.5)的近似值H3(1.5)=0.409074第13頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作14例1.解:第14頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作15作為多項(xiàng)式插值,三次已是較高的次數(shù)，次數(shù)再高就有可能發(fā)生Runge現(xiàn)象,因此，對有n+1節(jié)點(diǎn)的插值問題，我們可以使用分段兩點(diǎn)三次Hermite插值第15頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作16

Hermite插值是帶導(dǎo)數(shù)的插值，除了可以要求插值多項(xiàng)式與被插值函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)上取值相等外，還可以要求在節(jié)點(diǎn)上它們的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等。下面只討論在插值節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值和函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)值都給定的情形。

設(shè)在n+1個不同點(diǎn)的插值節(jié)點(diǎn)上，給定。要求一個次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式H2n+1(x),試的滿足插值條件同樣Hermite插值多項(xiàng)式可以用類似于求Lagrange插值多項(xiàng)式的方法給出，這種插值多項(xiàng)式是唯一存在的。

先求出插值基函數(shù)每個基函數(shù)為2n+1次多項(xiàng)式，并且滿足如下條件一般的Hermite插值多項(xiàng)式第16頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作17利用構(gòu)造多項(xiàng)式這是一個次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式。其中l(wèi)i(x)為Lagrange插值基函數(shù)，由條件得由此得（2.1.32）第17頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作18同理可得

下面討論唯一性問題，設(shè)還有一個次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式Gn+1(x)滿足相同的插值條件。令，則有因?yàn)镽(x)是一個次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式，最多有2n+1個零點(diǎn)，但現(xiàn)在它有n+1個二重根，即有2n+2個零點(diǎn)，所以，必有R(x)=0,即H2n+1(x)=G2n+1(x)。第18頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作19同樣仿照Lagrange插值余項(xiàng)的證明方法，可得下面的余項(xiàng)定理定理設(shè)為[a,b]上相異節(jié)點(diǎn)，,并且f(2n+2)(x)在(a,b)內(nèi)存在，Hn+1(x)是滿足前面插值條件的插值多項(xiàng)式，則對任何x∈[a,b],存在ξ∈(a,b),使得第19頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月華長生制作20帶不完全導(dǎo)數(shù)的埃爾米特插值多項(xiàng)式舉例例建立埃爾米特插值多項(xiàng)式使之滿足如下插值條件：解二次牛頓插值多項(xiàng)式