工程塑性理論應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

工程塑性理論應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系第1頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

塑性力學(xué)的基本方程與彈性力學(xué)基本方程的差別主要表現(xiàn)在應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系上。

塑性變形時，應(yīng)力不僅與應(yīng)變有關(guān)，還與變形歷史、材料微觀結(jié)構(gòu)有關(guān)。

通常將塑性變形時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為本構(gòu)方程，也叫做物理方程。第2頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月1彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中：E—拉壓彈性模量；μ—泊松比；

G—剪切彈性模量。廣義虎克定律：第3頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月＋＋＋＋球應(yīng)變與球應(yīng)力成正比。應(yīng)力球張量使物體產(chǎn)生彈性體積變化。第4頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月—第5頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月｛｝第6頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月偏應(yīng)變與偏應(yīng)力成正比。應(yīng)力偏張量使物體產(chǎn)生彈性形狀變化。第7頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月物體的體積變形與球應(yīng)力成正比，與偏應(yīng)力無關(guān)；物體的形狀變化與偏應(yīng)力成正比，與球應(yīng)力無關(guān)。在進(jìn)行應(yīng)力分析與應(yīng)變分析時，將一點的應(yīng)力張量和應(yīng)變張量分解為球張量和偏張量是有明確物理意義的：這一結(jié)論對研究塑性變形時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是十分重要的。第8頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月可以將廣義虎克定律寫成張量的形式，即

第9頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系塑性變形時假設(shè)比例系數(shù)為未知，并求之.第12頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2

塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

2.1增量理論

2.2全量理論

2.3應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律第13頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2.1增量理論

增量理論又稱流動理論。在增量理論中，應(yīng)用最廣泛的有：

列維—米塞斯(Levy—Mises)理論；

普朗特—勞斯(Prandtl—Reuss)理論。第14頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)

(a)假設(shè)材料為剛塑性材料，即彈性應(yīng)變增量為零，塑性應(yīng)變增量就是總的應(yīng)變增量；

(b)材料符合米塞斯屈服準(zhǔn)則：；

(c)在每一加載瞬時，應(yīng)力主軸與應(yīng)變增量主軸重合；

(d)材料在塑性變形過程中滿足體積不變條件，即應(yīng)變增量張量就是應(yīng)變增量偏張量。

（1）列維—米塞斯理論第15頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

在上述假設(shè)基礎(chǔ)上，可假設(shè)應(yīng)變增量與應(yīng)力偏張量成正比，即式中：dλ—正的瞬時常數(shù)，在加載的不同瞬時是變化的，在卸載時，dλ=0。第16頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

第18頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月將上式正應(yīng)變兩兩相減，并寫出切應(yīng)變公式：代入以下公式第19頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

第20頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月P42類似廣義Hooke定律第21頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月將增量理論式兩邊除以時間dt，可得應(yīng)力—應(yīng)變速率方程，稱為圣文南塑性流動方程。即：（2）應(yīng)力—應(yīng)變速率方程第22頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月與粘性流體的牛頓公式相似，故稱為塑性流動方程。Levy-Mises方程實際上是塑性流動方程的增量形式。若不考慮應(yīng)變速率對材料性能的影響，二者是一致的。第23頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

列維—米塞斯理論沒有考慮彈性變形的影響，因此，僅適用于大塑性變形問題。

普朗特—勞斯理論考慮了彈性變形部分，即（3）普朗特—勞斯(Prandtl-Reuss)理論第24頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月塑性應(yīng)變增量由列維—米塞斯理論給出，彈性應(yīng)變增量由廣義虎克定律的微分形式給出。

將廣義虎克定律式微分后，可得第25頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2全量理論

增量理論雖然比較嚴(yán)密，但在應(yīng)用時需沿加載路徑進(jìn)行積分，從工程應(yīng)用的角度上講是不方便的。因此，許多學(xué)者例如漢蓋(Hencky)、那達(dá)依(Nadai)、伊留申(Ильюшин)相繼提出了描述應(yīng)力與全量應(yīng)變之間的關(guān)系，稱為全量理論，也稱形變理論。在此只介紹較為實用的伊留申全量理論。第26頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

伊留申指出，在塑性變形時，只有滿足簡單加載（也稱比例加載）條件時，才可以建立全量應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系。所謂簡單加載，是指在加載過程中，所有的外力從一開始就按同一比例增加。第27頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

為了建立全量理論，需提出如下幾點假設(shè)，即

(a)應(yīng)力主方向與應(yīng)變主方向是重合的；

(b)塑性變形時體積保持不變；

(c)應(yīng)力偏量分量與應(yīng)變偏量分量成比例；

第28頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月(d)等效應(yīng)力是等效應(yīng)變的函數(shù)，而這個函數(shù)對每個具體材料都應(yīng)通過實驗來確定，即式中：E/—塑性模量

E/與材料性質(zhì)和塑性變形程度有關(guān)。第29頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)以上假設(shè)，可以寫出如下方程，即式中：G’—塑性剪切模量。G’與材料性質(zhì)和塑性變形程度有關(guān)。第30頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

第32頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律

◆應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)關(guān)系

◆應(yīng)力應(yīng)變的中間關(guān)系第33頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)關(guān)系第34頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）應(yīng)力應(yīng)變的中間關(guān)系2s

231ss+

2e

0

應(yīng)力應(yīng)變的中間關(guān)系的含義是：

當(dāng)

的關(guān)系保持不變時，相應(yīng)地有

第35頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月3等效應(yīng)力—等效應(yīng)變曲線的單一性

塑性變形時的應(yīng)力應(yīng)變之間的關(guān)系，總可歸結(jié)為等效應(yīng)力與等效應(yīng)變之間的關(guān)系，即

這種關(guān)系只與材料性質(zhì)、變形條件有關(guān)，而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。實驗表明，按不同應(yīng)力組合所得到的等效應(yīng)力與等效應(yīng)變曲線與簡單拉伸時的應(yīng)力—應(yīng)變曲線基本相同。第36頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

因此，通?？梢约僭O(shè)，對于同一種材料，在變形條件相同的條件下，等效應(yīng)力與等效應(yīng)變曲線是單一的，稱為單一曲線假設(shè)。由此假設(shè)，就可以采用最簡單的實驗方法來確定材料的等效應(yīng)力與等效應(yīng)變曲線。常用的實驗方法有以下三種:

（1）單向拉伸實驗

（2）單向壓縮實驗

（3）平面應(yīng)變壓縮實驗第37頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月圓柱體單向拉伸時的應(yīng)力狀態(tài)為：

σ1

，σ2=σ3=0；

應(yīng)變狀態(tài)為：

ε1=-（ε2+ε3），ε2=ε3＝-ε1/2。（1）單向拉伸實驗第38頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

第39頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月圓柱體單向壓縮時的應(yīng)力狀態(tài)為：

σ3

，σ1=σ2=0；

應(yīng)變狀態(tài)為：

ε3=-（ε1+ε2），ε1=ε2＝-ε3/2。（2）單向壓縮實驗

第40頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

除應(yīng)力的正負(fù)號相反外，圓柱體單向壓縮與單向拉伸時的應(yīng)力狀態(tài)是相同的，仍有

第41頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

單向拉伸實驗時，由于縮頸的出現(xiàn)，使得應(yīng)變量較小，從而限制了其使用范圍。為了獲得較大應(yīng)用范圍的曲線，就需要采用圓柱體試樣的軸對稱單向壓縮實驗。單向壓縮實驗的主要問題是試樣與工具之間不可避免地存在著摩擦，摩擦力的存在會改變試樣的單向均勻壓縮狀態(tài)，并使圓柱體試樣出現(xiàn)鼓形，由此所得到的應(yīng)力也就不是真實應(yīng)力。因此，消除接觸表面間的摩擦是獲得精確的單向壓縮應(yīng)力—應(yīng)變曲線的關(guān)鍵。第42頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）平面應(yīng)變壓縮實驗

如果被加工工件為厚度較薄的板料，進(jìn)行圓柱體單向拉伸實驗或單向壓縮實驗是非常困難的，此時可以采用平面應(yīng)變壓縮實驗。

第43頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)平面應(yīng)變壓縮時的板料寬度為W，工具寬度為b，厚度為h，則一般取W/b=6～10，b=(2～4)h，此時，沿板料寬度方向的寬展可忽略不計，可將板料看作是處于平面應(yīng)變狀態(tài)。第44頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月

平面應(yīng)變單向壓縮時的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)變狀態(tài)為第45頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月4等效應(yīng)力—等效應(yīng)變曲線

的簡化模型

采用上述的實驗方法所得到的等效應(yīng)力—等效應(yīng)變曲線比較復(fù)雜，不能用簡單的函數(shù)形式來描述，在應(yīng)用上是不方便的。在工程應(yīng)用上，通常將實驗所得到的曲線處理成可以用某一函數(shù)表達(dá)的形式。第46頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）理想彈塑性材料模型該模型適合于應(yīng)變不太大、強化程度較小的材料。第47頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）理想剛塑性材料模型對于熱加工范圍內(nèi)的金屬變形都宜采用該模型。第48頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）冪指數(shù)硬化材料模型對大多數(shù)金屬材料都是適用的。

第49頁，課件共52頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）剛塑性非線性硬化材料模型適合于預(yù)先經(jīng)過冷加工的金屬。材料在屈服前為剛性的