第3節(jié)　離散型隨機變量及其分布列

第三節(jié)離散型隨機變量及其分布列第十二章內容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養(yǎng)1.結合古典概型,了解事件的獨立性,了解條件概率及其與獨立性的關系,能計算簡單隨機事件的條件概率,會利用乘法公式計算概率.2.通過具體實例,了解離散型隨機變量的概念,理解離散型隨機變量分布列,了解超幾何分布,并能解決簡單的實際問題.1.事件的相互獨立性的判斷2.事件的相互獨立性的概率3.條件概率4.隨機變量分布列的性質5.離散型隨機變量的分布列1.數(shù)據(jù)分析2.數(shù)學建模3.邏輯推理4.數(shù)學運算強基礎增分策略1.事件的相互獨立性(1)定義:對兩個事件A,B,如果P(AB)=

,則稱事件A與事件B相互獨立.

P(A)P(B)2.條件概率

在古典概型中,若用n(A)和n(AB)分別表示事件A和事件AB所包含的基本事件的個數(shù),則P(B|A)=

.P(B|A)+P(C|A)3.離散型隨機變量及其分布列

微點撥分兩類:離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量1.隨機變量的特點(1)隨機變量將隨機事件的結果數(shù)量化;(2)試驗之前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值;(3)在試驗之前不可能確定取何值.2.利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值.3.隨機變量ξ所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的,利用這一點可以求相關事件的概率.4.超幾何分布一般地,設有N件產(chǎn)品,其中有M(M≤N)件次品.從中任取n(n≤N)件產(chǎn)品,用X表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù),那么P(X=k)=(其中k為非負整數(shù)).如果一個隨機變量的分布列由上式確定,則稱X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布.微點撥超幾何分布中的隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù),主要特征為:(1)考察對象分兩類;(2)已知各類對象的個數(shù);(3)從中抽取若干個個體,考查某類個體數(shù)X的概率分布,超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型,其實質是古典概型.增素能精準突破考點一事件的相互獨立性的判斷典例突破例1.(2021新高考Ⅰ,8)有6個相同的球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則(

)A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立答案:B

反思感悟判斷事件A,B的獨立性的方法(1)若事件A是否發(fā)生和事件B是否發(fā)生沒有關系,則事件A與事件B相互獨立;(2)利用事件A與事件B相互獨立的定義,即若P(AB)=P(A)P(B),則事件A與事件B相互獨立.對點訓練1(2021福建龍巖期末)現(xiàn)有5個相同的小球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,從中有放回地隨機抽取兩次,每次抽取一個球,記:事件A表示“第一次取出的球數(shù)字是2”,事件B表示“第二次取出的球數(shù)字是3”,事件C表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,事件D表示“兩次取出的球的數(shù)字之和為6”,則下列選項正確的是(

)A.事件A和事件C相互獨立

B.事件B和事件C相互獨立C.事件B和事件D相互獨立

D.事件C和事件D相互獨立答案:C

考點二事件的相互獨立性的概率典例突破例2.(2020全國Ⅰ,理19)甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽,約定賽制如下:累計負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽,負者下一場輪空,直至有一人被淘汰;當一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為

.(1)求甲連勝四場的概率;(2)求需要進行第五場比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.(2)根據(jù)賽制,至少需要進行四場比賽,至多需要進行五場比賽.比賽四場結束,共有三種情況:反思感悟求復雜事件的概率,應先列出題中涉及的各事件,并用適當?shù)姆柋硎?再理清各事件之間的關系,最后根據(jù)事件之間的關系選取相應的公式進行計算.對點訓練2(2019全國Ⅱ,理18)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分.當某局打成10∶10平后,每球交換發(fā)球權,先多得2分的一方獲勝,該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽,假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結果相互獨立.在某局雙方10∶10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個球該局比賽結束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.解:(1)X=2就是10∶10平后,兩人又打了兩個球該局比賽結束,則這兩個球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲獲勝,就是10∶10平后,兩人又打了4個球該局比賽結束,且這4個球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.考點三條件概率典例突破例3.(2021山東濱州二模)為增進全體黨員干部職工對黨史知識的了解,某單位組織開展黨史知識競賽活動,以支部為單位參加比賽,某支部在5道黨史題中(有3道選擇題和2道填空題),不放回地依次隨機抽取2道題作答,設事件A為“第1次抽到選擇題”,事件B為“第2次抽到選擇題”,則下列結論中不正確的是(

)答案:D

解析:由題意,事件A為“第1次抽到選擇題”,事件B為“第2次抽到選擇題”,反思感悟條件概率的3種求法

對點訓練3甲、乙、丙、丁四名同學報名參加假期社區(qū)服務活動,社區(qū)服務活動共有關懷老人、環(huán)境監(jiān)測、教育咨詢這三個項目,每人限報其中一項,記事件A為“恰有2名同學所報項目相同”,事件B為“只有甲同學一人報關懷老人項目”,則P(B|A)=(

)答案:A

解析:事件AB為“4名同學所報項目恰有2名同學所報項目相同且只有甲同學一人報關懷老人項目”.考點四離散型隨機變量分布列的性質典例突破例4.(1)(2021浙江杭州模擬)設隨機變量X的概率分布列為則P(|X-3|=1)=

.

(2)已知隨機變量X的概率分布如下.

則P(X=10)=(

)

反思感悟離散型隨機變量分布列性質的應用(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值,此時要注意檢驗,保證每個概率值均為非負數(shù).(2)求隨機變量在某個范圍內的概率,根據(jù)分布列,將所求范圍內隨機變量對應的概率值相加即可,其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式.對點訓練4某電話亭中裝有一部公用電話,在觀察使用這部電話的人數(shù)時,設在某一時刻,有n個人正在使用電話或等待使用的概率為P(n),P(n)與時刻t無關,統(tǒng)計得到:P(n)=那么在某一時刻,這個電話亭一個人也沒有的概率P(0)的值為(

)答案:A

解析:由P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)=1,考點五求離散型隨機變量的分布列(多考向探究)考向1.與互斥事件、相互獨立事件有關的分布列典例突破例5.(2021江蘇通州三模)某校團委組織“航天知識競賽”活動,每位參賽者第一關需回答三個問題,第一個問題回答正確得10分,回答錯誤得0分;第二個問題回答正確得10分,回答錯誤得-10分;第三個問題回答正確得10分,回答錯誤得-10分.規(guī)定,每位參賽者回答這三個問題的總得分不低于20分就算闖關成功.若每位參賽者回答前兩個問題正確的概率都是,回答第三個問題正確的概率都是,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.(1)求參賽者甲僅回答正確兩個問題的概率;(2)求參賽者甲回答這三個問題的總得分ξ的分布列、數(shù)學期望和闖關成功的概率.解:(1)設事件Ai為參賽者甲回答正確第i個問題(i=1,2,3),所以參賽者甲僅回答正確兩個問題的概率(2)由題意,ξ所有可能取值為-20,-10,0,10,20,30,

所以ξ的分布列為

反思感悟離散型隨機變量分布列的求解步驟

對點訓練5在某校的校園歌手大賽決賽中,有6位參賽選手(1號至6號)登臺演出,由現(xiàn)場的100位同學投票選出最受歡迎的歌手,各位同學須彼此獨立地在投票器上選出3位候選人,其中甲同學是1號選手的同班同學,必選1號,另在2號至6號選手中隨機選2名;乙同學不欣賞2號選手,必不選2號,在其他5位選手中隨機選出3名;丙同學對6位選手的演唱沒有偏愛,因此在1號至6號選手中隨機選出3名.(1)求甲同學選中3號且乙同學未選中3號選手的概率;(2)設3號選手得到甲、乙、丙三位同學的票數(shù)之和為X,求X的分布列和數(shù)學期望.解:設A表示事件“甲同學選中3號選手”,B表示事件“乙同學選中3號選手”,C表示事件“丙同學選中3號選手”.考向2.變量取值概率為古典概型的分布列典例突破例6.某校舉辦校園科技文化藝術節(jié),在同一時間安排《生活趣味數(shù)學》和《校園舞蹈賞析》兩場講座.已知A,B兩學習小組各有5位同學,每位同學在兩場講座任意選聽一場.若A組1人選聽《生活趣味數(shù)學》,其余4人選聽《校園舞蹈賞析》;B組2人選聽《生活趣味數(shù)學》,其余3人選聽《校園舞蹈賞析》.(1)若從此10人中任意選出3人,求選出的3人中恰有2人選聽《校園舞蹈賞析》的概率;(2)若從A,B兩組中各任選2人,設X為選出的4人中選聽《生活趣味數(shù)學》的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學期望.反思感悟求變量取值概率為古典概型的分布列的兩個注意點1.要注意應用計數(shù)原理、排列組合的知識求基本事件總數(shù)及事件A包含的基本事件的個數(shù),然后應用古典概型的概率公式求解.2.求出分布列后,注意運用分布列的兩條性質檢驗所求的分布列是否正確.對點訓練6某探險隊分為四個小組探險甲、乙、丙三個區(qū)域,若每個小組只能探險一個區(qū)域,且每個小組選擇任何一個區(qū)域是等可能的.(1)求恰有2個小組探險甲區(qū)域的概率;(2)求被探險區(qū)域的個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.考向3.超幾何分布典例突破例7.(2021江蘇新高考基地聯(lián)考)大閘蟹又名金爪蟹,蟹身青殼白肚,體大膘肥,肉質鮮美,營養(yǎng)豐富,深受消費者喜愛.某水產(chǎn)品超市購進一批質量為100千克的大閘蟹,隨機抽取了50只統(tǒng)計其質量,得到的結果如下表所示:規(guī)格中蟹大蟹特大蟹質量/克[160,180)[180,200)[200,220)[220,240)[240,260)[26