第六節(jié)　雙曲線

第六節(jié)雙曲線第九章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.通過雙曲線的實際背景理解雙曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.理解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.掌握雙曲線的簡單應(yīng)用.強(qiáng)基礎(chǔ)固本增分1.雙曲線的定義一般地,如果F1,F2是平面內(nèi)的兩個定點(diǎn),a是一個

正常數(shù)

,且2a<|F1F2|,則平面上滿足

||PF1|-|PF2||=2a

的動點(diǎn)P的軌跡稱為雙曲線,其中,兩個定點(diǎn)F1,F2稱為雙曲線的

焦點(diǎn)

,兩個焦點(diǎn)的距離|F1F2|稱為雙曲線的焦距,雙曲線也可以通過用平面截兩個特殊的

圓錐

面得到,因此雙曲線是一種圓錐曲線.

數(shù)學(xué)表達(dá)式:P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}微點(diǎn)撥1.要注意定義中的“絕對值”,若沒有絕對值,當(dāng)|MF1|-|MF2|=2a(0<2a<|F1F2|)時,點(diǎn)M的軌跡為靠近點(diǎn)F2的雙曲線的一支;當(dāng)|MF1|-|MF2|=-2a(0<2a<|F1F2|)時,點(diǎn)M的軌跡為靠近點(diǎn)F1的雙曲線的一支.2.要注意定義中2a的范圍限制.若2a=|F1F2|,則點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線;若2a>|F1F2|,則點(diǎn)M的軌跡不存在;若2a=0,則點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

微點(diǎn)撥

在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中,看x2與y2的系數(shù)的正負(fù),若x2的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在x軸上;若y2的系數(shù)為正,則焦點(diǎn)在y軸上.即“焦點(diǎn)位置看正負(fù),焦點(diǎn)隨著正的跑”.3.雙曲線的幾何性質(zhì)

常用結(jié)論2.若P是雙曲線右支上一點(diǎn),F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),則|PF1|min=c+a,|PF2|min=c-a,雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時也成立.3.同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦),其長為

;異支的弦中最短的為實軸,其長為2a.4.設(shè)P是雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),F1,F2為其焦點(diǎn),記∠F1PF2=θ,則

5.等軸雙曲線(1)定義:中心在原點(diǎn),以坐標(biāo)軸為對稱軸,實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.(2)性質(zhì):①a=b;②e=;③漸近線互相垂直;④等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項.6.共軛雙曲線(1)定義:如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸,那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線.(2)性質(zhì):①它們有共同的漸近線;②它們的四個焦點(diǎn)共圓;③它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)2.平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.(

)×××√題組二

雙基自測5.(2022·山東淄博一模)雙曲線

的離心率為(

)答案

C7.

已知直線l1:5x+3y=0和l2:5x-3y=0.(1)寫出兩個以直線l1和l2為漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如果以直線l1和l2為漸近線的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M(1,3),求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.研考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一雙曲線的定義及其應(yīng)用題組(1)已知定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點(diǎn),點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是(

)A.橢圓

B.雙曲線 C.拋物線 D.圓(2)已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cos∠F1PF2=

.

解析

(1)如圖,連接ON,由題意可得|ON|=1,且N為MF1的中點(diǎn).又O為F1F2的中點(diǎn),∴|MF2|=2.∵點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P,∴由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|=|PF1|,∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|.由雙曲線的定義可得,點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線.引申探究1(變條件變結(jié)論)在本題組(2)中,若將條件“|PF1|=2|PF2|”改為“∠F1PF2=60°”,則△F1PF2的面積是多少?規(guī)律方法

雙曲線定義的應(yīng)用主要有兩個方面

考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例題(1)已知動圓M與圓C1:(x+4)2+y2=2外切,與圓C2:(x-4)2+y2=2內(nèi)切,則動圓圓心M的軌跡方程為(

)(2)(2023·河北廊坊高三檢測)江西景德鎮(zhèn)青花瓷始創(chuàng)于元代,到明清兩代達(dá)到了頂峰,它藍(lán)白相映怡然成趣,晶瑩明快,美觀雋永.現(xiàn)有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面,如圖所示.若該花瓶的瓶身最小的直徑是4,瓶口和底面的直徑都是8,瓶高是6,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)規(guī)律方法

求雙曲線方程的兩種方法

對點(diǎn)訓(xùn)練(2022·廣東廣州二模)寫出一個同時滿足下列性質(zhì)①②③的雙曲線方程

.

①中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上;②一條漸近線方程為y=2x;③焦距大于10.考點(diǎn)三雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(多考向探究預(yù)測)考向1離心率問題

規(guī)