應力波基礎課件

第二章一維桿中的應力波-塑性波2.4.2彈塑性桿中波的傳播

一維長桿中施加的載荷v達到材料的屈服速度（對應于材料中波的應力大于材料的屈服強度Y）時，即

或材料發(fā)生屈服而進入塑性變形狀態(tài)，桿中將傳播塑性波。此時，塑性波波速C是應變ε的函數，變化規(guī)律與材料的本構關系直接相關。

(2-36)第二章一維桿中的應力波-塑性波2.4.2彈塑性桿中波的傳特征線法解彈塑性問題第二章一維桿中的應力波-塑性波

特征線式相容關系式

(2-33)(2-24)特征線法解彈塑性問題第二章一維桿中的應力波-塑性波

特征第二章一維桿中的應力波-塑性波

引入則特征線上的相容關系可表示為

其中，恒值區(qū)AOX及簡單波區(qū)AOt中的彈性波部分與彈性波解相同(2-37)(2-38a)(2-38b)第二章一維桿中的應力波-塑性波

引入則特征線上的相容關系

第二章一維桿中的應力波-塑性波

由于所有負向特征線都終將與X軸相交，在零初始擾動的初值條件下，Riemann不變量R2恒為零因此在塑性簡單波區(qū)處處有

(2-39)

第二章一維桿中的應力波-塑性波

由于所有負向特征線都終第二章一維桿中的應力波-塑性波由邊界條件確定沿正向特征線的Riemann不變量Rl

式中，C在物理意義上代表塑性波的傳播速度第二章一維桿中的應力波-塑性波由邊界條件確定沿正向特征線的第二章一維桿中的應力波-塑性波第二章一維桿中的應力波-塑性波第二章一維桿中的應力波-塑性波

(1)線彈性材料;(2)線彈性-線性硬化材料;(3)線彈性-遞減硬化材料;(4)線彈性-遞增硬化材料幾種常見的材料本構模型第二章一維桿中的應力波-塑性波

(1)線彈性材料;(2)

（1）線彈性材料對于特定的材料彈性波波速為常數：，特征線為相互平行的直線。（2）線彈性-線性硬化材料

彈性區(qū)內，塑性區(qū)內，塑性波速為常數，且。彈性區(qū)內和塑性區(qū)內的特征線分別相互平行，但是彈性波特征線與塑性波特征線斜率不相同。第二章一維桿中的應力波-塑性波（1）線彈性材料第二章一維桿中的應力波-塑性波

（3）線彈性-遞減硬化材料彈性區(qū)：

，塑性區(qū)：且有.彈性區(qū)內特征線分別相互平行，塑性區(qū)內波幅不同的特征線彼此不平行。

a）

上凸形的曲線；二階導數；

b）

隨著應力增加,應變增加,塑性波速減小,塑性波傳播過程中，波剖面是逐漸發(fā)散和展寬的（發(fā)散波）。第二章一維桿中的應力波-塑性波（3）線彈性-遞減硬化材料第二章一維桿中的應力波-塑性波

（4）線彈性-遞增硬化材料彈性區(qū)：

，塑性區(qū)：，塑性波速不為常數。彈性區(qū)內特征線分別相互平行，塑性區(qū)內波幅不同的特征線彼此不平行。

(a)

下凹形的曲線;

二階導數；(b)

隨著應力增加,塑性波速增加；(c)塑性波傳播過程中，高幅值擾動的傳播速度大于低幅值擾動的傳播速度，波剖面會愈來愈陡(會聚波)，最終將在波陣面上發(fā)生質點、速度和應力應變的突躍，形成沖擊波。第二章一維桿中的應力波-塑性波（4）線彈性-遞增硬化材料第二章一維桿中的應力波-塑性波例:半無限長桿,處于靜止的自然狀態(tài),在初始t=0時刻桿端受到一撞擊載荷,若桿端質點速度隨時間的變化已知.問題歸結為在初始條件和邊條件下,求解桿中彈塑性波的傳播問題.

初條件邊條件分析:(1)恒值區(qū)AOX與簡單波區(qū)AOt中的彈性波部分與前述彈性波解完全相同;恒值區(qū)AOXAOt中的彈性波第二章一維桿中的應力波-塑性波例:半無限長桿,處于靜止的自然狀態(tài),在初始t=0時刻桿端受到單波區(qū)有沿正向的特征線的Riemann不變量R1由邊界條件確定沿正向特征線質點速度應變和應力均不變,從而不變,但對不同的正向特征線有不同的值.在塑性簡單波區(qū)中正向特征線是一系列斜率不同的直線,即有(2)對應的塑性波部分,由于負向特征線都終將與X軸相交,在零初始擾動情況下,Riemann不變量R2恒為零.在塑性簡第二章一維桿中的應力波-塑性波單波區(qū)有(2)對應的塑性波部分,(3)塑性波的波速C取決于材料的密度和材料動態(tài)應力應變曲線塑性部分的斜率，因此根據材料本構關系的應變硬化特性不同，所形成應力波的塑性波區(qū)的特征線之間的發(fā)散或會聚趨勢也不同，應力波在傳播過程中波剖面的變化趨勢也不同。(4)根據特征線方法，可以畫出一維彈塑性波的波系圖（X-t圖）、某一位置的圖,以及桿中應力波傳播的圖.在平面上,塑性簡單波區(qū)對應的一段曲線,當引入后，平面上塑性簡單波區(qū)相對應一段直線.第二章一維桿中的應力波-塑性波(3)塑性波的波速C取決于材料的密度和材料動態(tài)應力應變曲線第二章一維桿中的應力波-塑性波2.5空間坐標描述的控制方程歐拉（Euler）法研究彈塑性波的傳播考慮空間指定區(qū)域（控制體積）研究各物理量在控制體積內的變化及其通過此控制體積邊界（控制表面）的流動。各物理量是歐拉變量，即空間坐標x和時間t的函數第二章一維桿中的應力波-塑性波2.5空間坐標描述的控制方第二章一維桿中的應力波-塑性波dx歐拉空間坐標系描述的微元控制體積對于細長桿中的一維應力平面縱波問題考慮x及x+dx間的控制體積假設：桿的橫截面保持為平面各物理量沿截面均勻分布m(x)v(x)

m(x+dx)v(x+dx)

p(x)p(x+dx)x化為以x和t為自變量的一維空間問題第二章一維桿中的應力波-塑性波dx歐拉空間坐標系描述的微元第二章一維桿中的應力波-塑性波占有空間長度dx的桿的質量為

上式表示桿微元變形前后的質量守恒

(2-41)第二章一維桿中的應力波-塑性波占有空間長度dx的桿的質量為第二章一維桿中的應力波-塑性波控制體積的質量守恒即在空間微元dx中質量的增加率等于進入和離開該微元空間的質量流之差

dx內動量的增加率應等于進入和離開該微元的動量流之差與凈外力之和

第二章一維桿中的應力波-塑性波控制體積的質量守恒

dx內動第二章一維桿中的應力波-塑性波簡化兩式得Euler變量表述的桿的連續(xù)方程和動力學方程：

簡化過程示例：

(2-42)(2-43)第二章一維桿中的應力波-塑性波簡化兩式得Euler變量表述第二章一維桿中的應力波-塑性波

其中

代入得

第二章一維桿中的應力波-塑性波

其中

代入得

第二章一維桿中的應力波-塑性波假定應力只是應變的函數：

記：

(2-44)則式（2-43）可改寫為：第二章一維桿中的應力波-塑性波假定應力只是應變的函數：

記第二章一維桿中的應力波-塑性波

用特征線發(fā)來求解這一偏微分方程組時，此方程組的線性組合應能化為只包含特征線的方向導數。以待定系數L和M分別乘此兩式后再相加，有

這些系數應滿足：

第二章一維桿中的應力波-塑性波

用特征線發(fā)來求解這一偏微分第二章一維桿中的應力波-塑性波

(2-45)(2-46)與物質坐標中的式（2-23）和式（2-24）相對應。第二章一維桿中的應力波-塑性波

(2-45)(2-46第二章一維桿中的應力波-塑性波式（2-45）給出了Euler波速c(=dx/dt)和Lagrange波速C(=dX/dt)間的關系

第二章一維桿中的應力波-塑性波式（2-45）給出了Eule第二章一維桿中的應力波-塑性波式(2-46)與物質坐標中的式