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文檔簡介

第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波2.4.2彈塑性桿中波的傳播

一維長桿中施加的載荷v達(dá)到材料的屈服速度(對應(yīng)于材料中波的應(yīng)力大于材料的屈服強(qiáng)度Y)時,即

或材料發(fā)生屈服而進(jìn)入塑性變形狀態(tài),桿中將傳播塑性波。此時,塑性波波速C是應(yīng)變ε的函數(shù),變化規(guī)律與材料的本構(gòu)關(guān)系直接相關(guān)。

(2-36)第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波2.4.2彈塑性桿中波的傳特征線法解彈塑性問題第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

特征線式相容關(guān)系式

(2-33)(2-24)特征線法解彈塑性問題第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

特征第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

引入則特征線上的相容關(guān)系可表示為

其中,恒值區(qū)AOX及簡單波區(qū)AOt中的彈性波部分與彈性波解相同(2-37)(2-38a)(2-38b)第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

引入則特征線上的相容關(guān)系

第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

由于所有負(fù)向特征線都終將與X軸相交,在零初始擾動的初值條件下,Riemann不變量R2恒為零因此在塑性簡單波區(qū)處處有

(2-39)

第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

由于所有負(fù)向特征線都終第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波由邊界條件確定沿正向特征線的Riemann不變量Rl

式中,C在物理意義上代表塑性波的傳播速度第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波由邊界條件確定沿正向特征線的第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

(1)線彈性材料;(2)線彈性-線性硬化材料;(3)線彈性-遞減硬化材料;(4)線彈性-遞增硬化材料幾種常見的材料本構(gòu)模型第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

(1)線彈性材料;(2)

(1)線彈性材料對于特定的材料彈性波波速為常數(shù):,特征線為相互平行的直線。(2)線彈性-線性硬化材料

彈性區(qū)內(nèi),塑性區(qū)內(nèi),塑性波速為常數(shù),且。彈性區(qū)內(nèi)和塑性區(qū)內(nèi)的特征線分別相互平行,但是彈性波特征線與塑性波特征線斜率不相同。第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波(1)線彈性材料第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

(3)線彈性-遞減硬化材料彈性區(qū):

,塑性區(qū):且有.彈性區(qū)內(nèi)特征線分別相互平行,塑性區(qū)內(nèi)波幅不同的特征線彼此不平行。

a)

上凸形的曲線;二階導(dǎo)數(shù);

b)

隨著應(yīng)力增加,應(yīng)變增加,塑性波速減小,塑性波傳播過程中,波剖面是逐漸發(fā)散和展寬的(發(fā)散波)。第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波(3)線彈性-遞減硬化材料第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

(4)線彈性-遞增硬化材料彈性區(qū):

,塑性區(qū):,塑性波速不為常數(shù)。彈性區(qū)內(nèi)特征線分別相互平行,塑性區(qū)內(nèi)波幅不同的特征線彼此不平行。

(a)

下凹形的曲線;

二階導(dǎo)數(shù);(b)

隨著應(yīng)力增加,塑性波速增加;(c)塑性波傳播過程中,高幅值擾動的傳播速度大于低幅值擾動的傳播速度,波剖面會愈來愈陡(會聚波),最終將在波陣面上發(fā)生質(zhì)點、速度和應(yīng)力應(yīng)變的突躍,形成沖擊波。第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波(4)線彈性-遞增硬化材料第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波例:半無限長桿,處于靜止的自然狀態(tài),在初始t=0時刻桿端受到一撞擊載荷,若桿端質(zhì)點速度隨時間的變化已知.問題歸結(jié)為在初始條件和邊條件下,求解桿中彈塑性波的傳播問題.

初條件邊條件分析:(1)恒值區(qū)AOX與簡單波區(qū)AOt中的彈性波部分與前述彈性波解完全相同;恒值區(qū)AOXAOt中的彈性波第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波例:半無限長桿,處于靜止的自然狀態(tài),在初始t=0時刻桿端受到單波區(qū)有沿正向的特征線的Riemann不變量R1由邊界條件確定沿正向特征線質(zhì)點速度應(yīng)變和應(yīng)力均不變,從而不變,但對不同的正向特征線有不同的值.在塑性簡單波區(qū)中正向特征線是一系列斜率不同的直線,即有(2)對應(yīng)的塑性波部分,由于負(fù)向特征線都終將與X軸相交,在零初始擾動情況下,Riemann不變量R2恒為零.在塑性簡第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波單波區(qū)有(2)對應(yīng)的塑性波部分,(3)塑性波的波速C取決于材料的密度和材料動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線塑性部分的斜率,因此根據(jù)材料本構(gòu)關(guān)系的應(yīng)變硬化特性不同,所形成應(yīng)力波的塑性波區(qū)的特征線之間的發(fā)散或會聚趨勢也不同,應(yīng)力波在傳播過程中波剖面的變化趨勢也不同。(4)根據(jù)特征線方法,可以畫出一維彈塑性波的波系圖(X-t圖)、某一位置的圖,以及桿中應(yīng)力波傳播的圖.在平面上,塑性簡單波區(qū)對應(yīng)的一段曲線,當(dāng)引入后,平面上塑性簡單波區(qū)相對應(yīng)一段直線.第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波(3)塑性波的波速C取決于材料的密度和材料動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波2.5空間坐標(biāo)描述的控制方程歐拉(Euler)法研究彈塑性波的傳播考慮空間指定區(qū)域(控制體積)研究各物理量在控制體積內(nèi)的變化及其通過此控制體積邊界(控制表面)的流動。各物理量是歐拉變量,即空間坐標(biāo)x和時間t的函數(shù)第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波2.5空間坐標(biāo)描述的控制方第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波dx歐拉空間坐標(biāo)系描述的微元控制體積對于細(xì)長桿中的一維應(yīng)力平面縱波問題考慮x及x+dx間的控制體積假設(shè):桿的橫截面保持為平面各物理量沿截面均勻分布m(x)v(x)

m(x+dx)v(x+dx)

p(x)p(x+dx)x化為以x和t為自變量的一維空間問題第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波dx歐拉空間坐標(biāo)系描述的微元第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波占有空間長度dx的桿的質(zhì)量為

上式表示桿微元變形前后的質(zhì)量守恒

(2-41)第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波占有空間長度dx的桿的質(zhì)量為第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波控制體積的質(zhì)量守恒即在空間微元dx中質(zhì)量的增加率等于進(jìn)入和離開該微元空間的質(zhì)量流之差

dx內(nèi)動量的增加率應(yīng)等于進(jìn)入和離開該微元的動量流之差與凈外力之和

第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波控制體積的質(zhì)量守恒

dx內(nèi)動第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波簡化兩式得Euler變量表述的桿的連續(xù)方程和動力學(xué)方程:

簡化過程示例:

(2-42)(2-43)第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波簡化兩式得Euler變量表述第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

其中

代入得

第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

其中

代入得

第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波假定應(yīng)力只是應(yīng)變的函數(shù):

記:

(2-44)則式(2-43)可改寫為:第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波假定應(yīng)力只是應(yīng)變的函數(shù):

記第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

用特征線發(fā)來求解這一偏微分方程組時,此方程組的線性組合應(yīng)能化為只包含特征線的方向?qū)?shù)。以待定系數(shù)L和M分別乘此兩式后再相加,有

這些系數(shù)應(yīng)滿足:

第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

用特征線發(fā)來求解這一偏微分第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

(2-45)(2-46)與物質(zhì)坐標(biāo)中的式(2-23)和式(2-24)相對應(yīng)。第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波

(2-45)(2-46第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波式(2-45)給出了Euler波速c(=dx/dt)和Lagrange波速C(=dX/dt)間的關(guān)系

第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波式(2-45)給出了Eule第二章一維桿中的應(yīng)力波-塑性波式(2-46)與物質(zhì)坐標(biāo)中的式

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