冪級(jí)數(shù)經(jīng)典課件

冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)主要內(nèi)容：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)及其收斂性。冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算。函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)。主要內(nèi)容：函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在前面，我們?cè)懻撨^公比為q的無窮等比級(jí)數(shù)：當(dāng)|q|<1時(shí)，級(jí)數(shù)是收斂的，其和為，因此我們也可以把q看作(-1，1)內(nèi)變化的一個(gè)自變量，用x代替它，即可得到:由于上式對(duì)區(qū)間(-1，1)內(nèi)的每一個(gè)q值都成立，它的每一項(xiàng)都是以x為自變量的函數(shù)。一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在前面，我們?cè)懻撨^公比為q的無窮等比級(jí)數(shù)：當(dāng)則稱點(diǎn)x0為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(8-3)的一個(gè)收斂點(diǎn)；收斂點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合，一般地，由定義在同一區(qū)間內(nèi)的函數(shù)序列構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)：u1(x)

+u2(x)+···+un(x)+···(8-3)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，

記為。

在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(8-3)中,若令x取定義域中某一確定值x0，則得到一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)u1(x0)

+u2(x0)+···+un(x0)+···稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域。若該數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，反之，則稱點(diǎn)x0為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(8-3)的發(fā)散點(diǎn)。則稱點(diǎn)x0為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(8-3)的一個(gè)收斂點(diǎn)；收斂點(diǎn)的全體構(gòu)且稱之為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)，若x0是收斂域內(nèi)的一個(gè)值，則必有一個(gè)和S(x0)與之對(duì)應(yīng)，即S(x0)=u1(x0)

+u2(x0)+···+un(x0)+···這個(gè)函數(shù)S(x)就稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)。當(dāng)x0在收斂域內(nèi)變化時(shí)，上述級(jí)數(shù)的和S(x0)也隨之變化，就得到一個(gè)定義在收斂域上的函數(shù)S(x)，即S(x)=u1(x)

+u2(x)+···+un(x)+···那么在函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域內(nèi)有將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和記為Sn(x)，即Sn(x)=u1(x)

+u2(x)+···+un(x)且稱之為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)，若x0是收斂域內(nèi)的一個(gè)值，則二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性和=a0+a1(x-a)+a2(x-a)2+···+an(x-a)n+···(8-5)一般地，形如=a0+a1x+a2x2+···+anxn+···(8-4)的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)。其中an

(n=0,1,2,···)

和a都是常數(shù)，an稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。對(duì)于級(jí)數(shù)(8-5)，只要令x-a=t,就可化為(8-4)的形式,因此下面我們主要討論級(jí)數(shù)(8-4)。二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性和所以區(qū)間(-1,1)就是該冪級(jí)數(shù)的收斂域?；蛘哒f冪級(jí)數(shù)(8-4)在點(diǎn)x0處收斂；對(duì)于冪級(jí)數(shù)(8-4)，它的每一項(xiàng)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)都有定義，因此對(duì)于每個(gè)給定的實(shí)數(shù)值x0，將其代入(8-4)式，就得到一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):如果(8-6)收斂，則稱點(diǎn)x0為冪級(jí)數(shù)(8-4)的收斂點(diǎn)，如果(8-6)發(fā)散，則稱點(diǎn)x0為冪級(jí)數(shù)(8-4)的發(fā)散點(diǎn)，或者說冪級(jí)數(shù)(8-4)在點(diǎn)x0處發(fā)散。所有收斂點(diǎn)的集合稱為冪級(jí)數(shù)的收斂域，所有發(fā)散點(diǎn)的集合稱為冪級(jí)數(shù)的發(fā)散域。例如冪級(jí)數(shù)，當(dāng)x在區(qū)間(-1,1)內(nèi)取任一個(gè)值x0時(shí)，級(jí)數(shù)都收斂，其和為。而(-∞,-1)及(1,+∞)就是該冪級(jí)數(shù)的發(fā)散域。所以區(qū)間(-1,1)就是該冪級(jí)數(shù)的收斂域?；蛘哒f冪級(jí)數(shù)(8-則稱冪級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)，設(shè)冪級(jí)數(shù)中an≠0(n=0,1,2,…)，否則稱為缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)。在級(jí)數(shù)(8-4)中，設(shè)，用比值判別法，得則(3)當(dāng)ρ=0，即ρ|x|=0時(shí)，級(jí)數(shù)(8-4)對(duì)任何x值收斂。(1)當(dāng)ρ|x|<1，即時(shí)，級(jí)數(shù)(8-4)收斂；(2)當(dāng)ρ|x|>1，即時(shí)，級(jí)數(shù)(8-4)發(fā)散；因此，令，即

，就得到下面定理:則稱冪級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)，設(shè)冪級(jí)數(shù)中an≠0(n在x=±R處，可能收斂也可能發(fā)散(此時(shí)ρ=1)，而當(dāng)|x|>R時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散；定理則有：(1)如果0<R<+∞,則當(dāng)|x|<R時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂，(2)如果R=+∞，則冪級(jí)數(shù)在(-∞，+∞)內(nèi)收斂；(3)如果R=0，則冪級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂。由定理知：設(shè)冪級(jí)數(shù)是不缺項(xiàng)的，冪級(jí)數(shù)在的收斂域是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中點(diǎn)，長(zhǎng)度為2R的區(qū)間(特殊情況可能是整個(gè)數(shù)軸，也可能只是坐標(biāo)原點(diǎn))。它在(-R，R)內(nèi)收斂；在(-R，R)外發(fā)散；通常稱R為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，區(qū)間(-R,R)稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。在x=±R處，可能收斂也可能發(fā)散(此時(shí)ρ=1)，而當(dāng)|x|>例1求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。解：收斂半徑：即級(jí)數(shù)收斂半徑R=+∞，冪級(jí)數(shù)在(-∞,+∞)內(nèi)收斂。例2求冪級(jí)數(shù)1+2x+(3x)2+···+(nx)n-1+···的收斂半徑。解:收斂半徑:即級(jí)數(shù)僅在x=0處收斂。例1求冪級(jí)數(shù)例3求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。解:收斂半徑:當(dāng)|x|<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)|x|>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)x=1和x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)分別為和前者收斂，后者發(fā)散。所以冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(-1，1]。例3求冪級(jí)數(shù)例4求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。解:令x-2=t，得所以-2<t<2,即-2<x-2<2,得0<x<4。當(dāng)x=0得，它是發(fā)散的;當(dāng)x=4時(shí)，得，也發(fā)散。所以冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?0,4)。例4求冪級(jí)數(shù)解:例5請(qǐng)求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。當(dāng)ρ<1，即x2<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，即|x|<1時(shí)，所求冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)x=±1時(shí)，代入級(jí)數(shù)得，級(jí)數(shù)收斂；所以冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為[-1，1]。解:例5請(qǐng)求冪級(jí)數(shù)三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算設(shè)冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為R1與R2(R1與R2與均不為零)，

它們的和函數(shù)分別為S1(x)與S2(x)，

記R=min(R1，R2)，

那么對(duì)于冪級(jí)數(shù)可進(jìn)行以下運(yùn)算：

1．加法和減法

±==S1(x)±S2(x)

此時(shí)所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是R。2．乘法

=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+···+(a0bn+a1bn-1+···+anb0)xn+···=S1(x)·S2(x)此時(shí)所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是R。

三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算設(shè)冪級(jí)數(shù)與則和函數(shù)S(x)在(－R，R)內(nèi)可積，則在(－R，R)內(nèi)和函數(shù)S(x)可導(dǎo)，3．逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù)若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，且有所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為R，但在收斂區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性可能改變。

4．逐項(xiàng)積分

設(shè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)收斂半徑為R，且有所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑仍為R，但在收斂區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性可能改變。

則和函數(shù)S(x)在(－R，R)內(nèi)可積，則在(－R，R)內(nèi)例6討論冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求積分所得冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。解：收斂半徑R=1，逐項(xiàng)求積分后得它的收斂半徑仍為R=1。當(dāng)x=-1時(shí)，冪級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)是收斂的。當(dāng)x=1時(shí)，冪級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù)，它是發(fā)散的。故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為[-1,1)。例6討論冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求積分所得冪級(jí)數(shù)例7求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。解：所給冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1，收斂區(qū)間為(-1,1)。注意到而在收斂區(qū)間(-1,1)內(nèi)，所以例7求冪級(jí)數(shù)的和(8-7)式稱為f(x)的x的冪級(jí)數(shù)展開式。因此，把一個(gè)函數(shù)表示為冪級(jí)數(shù)，而且在它的收斂區(qū)間內(nèi)還可以像多項(xiàng)式一樣地進(jìn)行運(yùn)算，四、函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)對(duì)于研究函數(shù)有著重要的意義。我們看到，冪級(jí)數(shù)不僅形式簡(jiǎn)單，對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)f(x),如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，使(-R<x<R)(8-7)成立，那么，我們就說函數(shù)f(x)可以展開為x的冪級(jí)數(shù)，在這里，有兩個(gè)問題需要我們?nèi)ソ鉀Q：(1)在式(8-7)中，系數(shù)a0,a1,a2,···,an,···如何確定？(2)f(x)滿足什么條件才能展開為x的冪級(jí)數(shù)？(8-7)式稱為f(x)的x的冪級(jí)數(shù)展開式。因此，把一個(gè)函數(shù)先解決問題(1):不妨假設(shè)(8-7)式成立，那么根據(jù)冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)法，對(duì)式(8-7)依次求出各階導(dǎo)數(shù)：……………把x=0代入式(8-7)及上列的各等式，得a0=f(0),···,···把它們代入式(8-7),得先解決問題(1):不妨假設(shè)(8-7)式成立，那么根據(jù)冪級(jí)數(shù)的那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)。通常稱式(8-8)為f(x)的冪級(jí)數(shù)展開式，但要注意，按上述形式作出的麥克勞林級(jí)數(shù)，在收斂區(qū)間內(nèi)是否一定收斂于函數(shù)本身呢？因此，還要解決問題(2)，研究f(x)滿足什么條件才能展開為x的冪級(jí)數(shù)，或著說麥克勞林級(jí)數(shù)滿足什么條件才能收斂于f(x)。在(-R,R)內(nèi)，只要考察余項(xiàng)是否隨n的無限增大而趨于零。要使成立，那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)。通常稱式(8-8)當(dāng)f(x)在(-R，R)內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以證明，(其中ξ在0和x之間；n=1,2,···)綜上所述可得：如果f(x)在包含點(diǎn)x=0的某一區(qū)間(-R,R)內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，(ξ在0和x之間；-R<x<R)(7-9)且那么f(x)在區(qū)間(R，R)內(nèi)可以展開為麥克勞林級(jí)數(shù)。當(dāng)f(x)在(-R，R)內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可以證明，(其中函數(shù)展開為麥克勞林級(jí)數(shù)的一般步驟為：1.求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)；2.計(jì)算f(0),；3.寫出f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)4.求出上述級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間(-R，R)；5.在收斂區(qū)間內(nèi)考察是否為零，若為零，則有：否則即使求出的麥克勞林級(jí)數(shù)收斂，其和函數(shù)也不一定為f(x)。函數(shù)展開為麥克勞林級(jí)數(shù)的一般步驟為：1.求出f(x)的各階例8求指數(shù)函數(shù)f(x)=ex的麥克勞林展開式。解：由于f(n)(x)=ex

，故得f(n)(0)=1(n=1,2,···)。于是，ex的麥克勞林級(jí)數(shù)為:它的收斂半徑為R=+∞。要證明這個(gè)級(jí)數(shù)在(-∞，+∞)內(nèi)收斂于ex，就需驗(yàn)證式(7-9)在(-∞，+∞)內(nèi)成立，現(xiàn)在(ξ在0和x之間)，因eξ≤e|x|，故對(duì)任意給定的x，eξ有界。而是級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，所以根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，對(duì)任意的x，都有從而即得ex的麥克勞林展開式為:例8求指數(shù)函數(shù)f(x)=ex的麥克勞林展開式于是sinx的麥克勞林展開式為:例9求正弦函數(shù)f(x)=sinx的麥克勞林展開式。解：正弦函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為：···，(n=0,1,2,···)f(n)(0)依次循環(huán)地取0,1,0,-1,···，于是得sinx麥克勞林級(jí)數(shù)為:其收斂區(qū)間為(-∞,+∞)。因?yàn)椤?,而(ξ在0和x之間)所以，對(duì)任意x