2021-2023年高考數學真題分類匯編專題18 坐標系與參數方程、不等式選講（解析版）

專題18坐標系與參數方程、不等式選講知識點目錄知識點1：不等式選講之面積問題知識點2：不等式選講之證明不等式、范圍問題知識點3：直角坐標方程與極坐標方程互化知識點4：SKIPIF1<0的幾何意義近三年高考真題知識點1：不等式選講之面積問題1．（2023?甲卷（文））設SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0．（1）求不等式SKIPIF1<0的解集；（2）若曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸所圍成的圖形的面積為2，求SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，綜上SKIPIF1<0，即不等式的解集為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）作出SKIPIF1<0的圖象如圖：則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．2．（2023?乙卷（文））已知SKIPIF1<0．（1）求不等式SKIPIF1<0的解集；（2）在直角坐標系SKIPIF1<0中，求不等式組SKIPIF1<0所確定的平面區(qū)域的面積．【解析】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0．綜上SKIPIF1<0，即不等式的解集為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）不等式組SKIPIF1<0等價為SKIPIF1<0，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則陰影部分的面積SKIPIF1<0．3．（2023?甲卷（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）解不等式SKIPIF1<0；（2）若曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸所圍成的面積為2，求SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可化為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0原不等式的解集為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0，且最低點的坐標為SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的兩零點分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，函數圖象大致如下：SKIPIF1<0曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸所圍成的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．知識點2：不等式選講之證明不等式、范圍問題4．（2022?乙卷（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是正數，且SKIPIF1<0，證明：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是正數，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得證．（2）根據基本不等式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，故得證．5．（2022?甲卷（文））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為正數，且SKIPIF1<0，證明：（1）SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【解析】證明：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為正數，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由柯西不等式知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時取等號；（2）法一、由（1）知，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由權方和不等式可知，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時取等號，故SKIPIF1<0．法二、由（1）知，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0等號成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0等號成立，故SKIPIF1<0．6．（2021?乙卷（文））已知函數SKIPIF1<0．（1）當SKIPIF1<0時，求不等式SKIPIF1<0的解集；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不等式的解集為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，不等式恒成立；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0兩邊平方可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，綜上可得，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．知識點3：直角坐標方程與極坐標方程互化7．（2021?乙卷（文））在直角坐標系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為1．（1）寫出SKIPIF1<0的一個參數方程；（2）過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的兩條切線．以坐標原點為極點，SKIPIF1<0軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程．【解析】（1）SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為1，則SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一個參數方程為SKIPIF1<0為參數）．（2）由題意可知兩條切線方程斜率存在，設切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0到切線的距離SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以切線方程為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以這兩條切線的極坐標方程為SKIPIF1<0．8．（2022?甲卷（文））在直角坐標系SKIPIF1<0中，曲線SKIPIF1<0的參數方程為SKIPIF1<0為參數），曲線SKIPIF1<0的參數方程為SKIPIF1<0為參數）．（1）寫出SKIPIF1<0的普通方程；（2）以坐標原點為極點，SKIPIF1<0軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線SKIPIF1<0的極坐標方程為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點的直角坐標，及SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點的直角坐標．【解析】（1）由SKIPIF1<0為參數），消去參數SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的普通方程為SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0為參數），消去參數SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的普通方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則曲線SKIPIF1<0的直角坐標方程為SKIPIF1<0．聯立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點的直角坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0；聯立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點的直角坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0．9．（2022?乙卷（文））在直角坐標系SKIPIF1<0中，曲線SKIPIF1<0的參數方程為SKIPIF1<0為參數）．以坐標原點為極點，SKIPIF1<0軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線SKIPIF1<0的極坐標方程為SKIPIF1<0．（1）寫出SKIPIF1<0的直角坐標方程；（2）若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有公共點，求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的直角坐標方程為SKIPIF1<0；（2）由曲線SKIPIF1<0的參數方程為SKIPIF1<0為參數）．消去參數SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，聯立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．10．（2023?乙卷（文））在直角坐標系SKIPIF1<0中，以坐標原點SKIPIF1<0為極點，SKIPIF1<0軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線SKIPIF1<0的極坐標方程為SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0為參數，SKIPIF1<0．（1）寫出SKIPIF1<0的直角坐標方程；（2）若直線SKIPIF1<0既與SKIPIF1<0沒有公共點，也與SKIPIF1<0沒有公共點、求SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】（1）曲線SKIPIF1<0的極坐標方程為SKIPIF1<0，根據SKIPIF1<0轉換為直角坐標方程為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的直角坐標方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由于曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0為參數，SKIPIF1<0，轉換為直角坐標方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；如圖所示：由于SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于點SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0沒有公共點；當曲線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相切時，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（負值舍去），由于直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0沒有公共點，所以SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0既與SKIPIF1<0沒有公共點，也與SKIPIF1<0沒有公共點、實數SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．知識點4：SKIPIF1<0的幾何意義11．（2023?甲卷（理））已知SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0為參數），SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的傾斜角，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸正半軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）以原點為極點，SKIPIF1<0軸正半軸為極軸建立極坐標系，求SKIPIF1<0的極坐標方程．【解析】（1）已知SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0為參數），SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸正半軸交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸正半軸，所以直線SKIPIF1<0的傾斜角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0斜率為SKIPIF1<0