九年級數(shù)學(xué)下冊?？键c(diǎn)微專題提分精練瓜豆小題(解析版)

專題19瓜豆小題.如圖，線段AB為QO的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，AB=4,BC=2，點(diǎn)P是QO上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以CP為斜邊在PC的上方作RtAPCD,且使NDCP=60。，連接OD,則OD長的最大值為—2拒+1一【解答】解：如圖，作ACOE,使得NCEO=90。NECO=60。，則CO=2CE,OE=2v3NOCP=NECD==CDP=90。，NDCP=60。.??CP=2CDCOCPCECD=2.??ACOPSACEDOPCPEDCD=2即ED=1OP=12（定長）,,點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長，點(diǎn)D在半徑為1的OE上，,：0D^oE+DE=2√3+1.??OD的最大值為2√3+1故答案為2<3+1.如圖，NAOB=30。，OD=4,當(dāng)點(diǎn)C在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作等腰RtACDE,CD=DE,則O,E兩點(diǎn)間距離的最小值為—2+2√3A??.C為主動(dòng)點(diǎn)，￡為從動(dòng)點(diǎn)，。為定點(diǎn),點(diǎn)。在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD=DE,CDVDE,由“瓜豆原理”，。在上運(yùn)動(dòng)，則石在垂直。4的直線上運(yùn)動(dòng),答圈過￡作上時(shí)，。4于交.OB于N,則直線MN即為石的運(yùn)動(dòng)軌跡，OM的長為0,6兩點(diǎn)間距離的最小值,`.-ZAOB=30o,OD=4,DCLOA,..CD=2,■：CD=DE,DE=2，?'ZOCD=ZCDE=90°,..DEHOA，..ADEN=90o,ZEDN=30o,.?.?MJEN中可得ON=U-，34λ∕3-.0N=4+-，3NoMN中可得（W=且x（4+拽）=2+2√5,2 3故答案為：2+2出\3.如圖，正方形ABCD的邊長為2,E為BC上一點(diǎn)，且BE=1,F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為底向右側(cè)作等腰直角NEFG，連接CG，則CG的最小值為—?五_.BEC【解答】解：如圖1,過點(diǎn)G作GP1AB于點(diǎn)P,GQ1BC于點(diǎn)Q，連接BDBQEC圉1根據(jù)題意知，NABC=90°,NPGQ=90o.??NPGF+NFGQ=NQGE+NFGQ=900.??NPGF=NQGE又?.?NEFG是等腰直角三角形，且NFGE=900.??GF=GE在AGPF與NGQE中，'NGPF=NGQE=90°

VNPGF=NQGE ,GF=GE:.NGPF=NGQE(AAS).??GP=GQ,NGBP=NGBE=-NABC2???點(diǎn)G在BD所在的直線上運(yùn)動(dòng).?.?F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如圖2,圖工當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)G的位置如圖所示.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，記點(diǎn)G的位置為G〃點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段GG〃過點(diǎn)C作CG,1BD于點(diǎn)G,:.\CGI=CG=1BDmin 2■正方形ABCD的邊長為2，??.BD=2-?2:.\CGI=22min故答案是：W4.如圖，已知點(diǎn)A是第一象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，若點(diǎn)P是以O(shè)為圓心，2個(gè)單位長為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,以AP為邊向AP右側(cè)作等邊三角形APB.當(dāng)點(diǎn)P在OO上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長是—4π_.%A【解答】解：如圖，連接AO、OP,將AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,得線段AO',連接0,BOO'，-AO=AO',NOAO'=60°/.ΔOAO'為正三角形，-AAPS為正三角形，:.NPAB=60°,PA=BA:.NPAB-ZOAB=NOAO'-NOAB:.NPAO=ZBAO在ΔAPO與ΔABO,中，'AO=AO'VZPAO=ZBAO',、PA=BA.??ΔAPO=ΔABO':.OP=OOB=2???O0'即為動(dòng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑，:當(dāng)點(diǎn)P在OO上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑長是4兀5.如圖，正方形ABCD的邊長為8，E為BC上一點(diǎn)，且BE=2，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊ΔEFG，連接CG，則CG的最小值為5.A D【解答】解：如圖，以EC為邊作等邊三角形ECH，連接FH，過點(diǎn)H作HN1BC于NHM11AB于MA D?.?/ABC=90°:.四邊形MHNB是矩形，.??MH=BN?.?BE=2:EC=4?；AEHC是等邊三角形，HN1EC:EC=EH=4,EN=NC=2,NHEC=60°:BN=4=MH?.ZGE是等邊三角形，:FE=GE，NFEG=60°=NHEC:.NFEH=NGEC在AFEH和AGEC中，Ief=geVNFEH=NGEC，HE=EC:.AFEH=AGEC(SAS):.FH=GC:.當(dāng)FH1AB時(shí)，F(xiàn)H有最小值，即GC有最小值，.:點(diǎn)F與點(diǎn)M重合時(shí)，F(xiàn)H=HM=5故答案為5.6.如圖，菱形ABCD的邊長為4,NB=120°,E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是對角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF,將線段EF繞點(diǎn)F按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°G為點(diǎn)E對應(yīng)點(diǎn)，連接CG,則CG的最小值為一22_.A D一SEC【解答】解：如圖取CD的中點(diǎn)K,連接FK,KG,EK,延長KG交BC于J,作CH1JK于HA 0rBEJC四邊形ABCD是菱形，.??NFCE=NFCK，CB=CD，AB//CD.??NDCB+NB=180°?;NB=120°:.NDCB=60°BBE=EC，CK=KD:.CK=CE「.AECK是等邊三角形，?.?CF=CF，NFCK=NFCE，CK=CE:AFCK=AFCE(SAS):FK=FEFFG=FE:FE=FG=FK:NEKG=1NEFG=15°2?.?NCKE=60°:NCKJ=45°■:點(diǎn)G在直線KJ上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)G與H重合時(shí)，CG的值最小，在RtACKH中，?.?NCKH=45°，NCHK=90°，CK=1CD=22:CH=KH=五/.CG的最小值為√2故答案為五7.已知邊長為6的等邊AABC中，E是高AD所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE,將線段BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BF，連接DF，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)線段DF長度的最小值時(shí)，DE的長度為3亙.2-【解答】解：連接CF■■等邊AABC/AB=BC?線段BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BF/BE=BF,NABE=NCBF/AABE=ABCF(A5A)F點(diǎn)在直線CF上運(yùn)動(dòng)，/CF=AE,NBCF=30。,,F點(diǎn)在直線CF上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)DF1CF時(shí)，DF最小，?:CD=3373/CF=——23+3/AE=——2AAD=3??3,DE=323故答案為".如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BQ相交于點(diǎn)O,AB=6,/ZMC=60。，點(diǎn)尸在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，連接DF,以DF為邊作等邊三角形DFE,點(diǎn)E和點(diǎn)A分別位于。F兩側(cè)，則點(diǎn)石運(yùn)動(dòng)的路程長是_2行_.；四邊形ABCD是矩形，.?.AO=DO,ZDAB=90°,?,?ZDAC=60°，.ΛDAO是等邊三角形，.?.DA=DO,ZADO=60°,?：ADFE是等邊三角形，.?.DE=DF,/EDF=60°,:./ADF=ZODE,5LAD=DO,DF=DE,:.AADF=AODE(SAS),.?.OE=AF,/DOE=ZDAO,點(diǎn)石在射線OE上運(yùn)動(dòng)，且OE=AF,當(dāng)點(diǎn)F在線段AO上從點(diǎn)A至點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程是AO,在RtAADB中，設(shè)AD=x，貝UBD=2X.?.(2X)2一x2=62解得X=2”3(負(fù)值舍去)，.?.AD=AO=2√3即點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為2√3故答案為：2√3.如圖，在RtAABC中，NACB=90。，AC=16,BC=12，點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,連接CP,點(diǎn)M是CP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長為_5兀_.【解答】解：?.?NACB=90。,AC=16,BC=12.??AB=a；'aC2+BC2=Y162+122=20連接AP,BPAAB是直徑，:.NAPB=90。即AP±BP取BC,AC的中點(diǎn)E和F，連接ME,MF,EF在ABPC中，MM,E為PC、BC的中點(diǎn)，.??ME//BP,ME=-BP2在AAPC中，??點(diǎn)M、F為PC、AC的中點(diǎn)，.??MF//APMMF=-AP2.??ME1MF即NEMF=900二點(diǎn)M在以EF為直徑的半圓上，.??EF=-AB=102???點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長為-X2πX5=5π2故答案為：5π.如圖，正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點(diǎn)，且BE=1,F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EGM連接CGM則CG的最小值為 5.2-【解答】解：將線段EB繞E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o至M，連接GM，過C作CN1GM于N，過E作EP1CN于P，如圖:?.?/BEM=NFEG=60°.??NBEF=NMEG在ABEF和AMEG中，BE=ME/BEF=/MEGEF=EG.??ABEF=AMEG(SAS).??NGME=NB=900???G在射線MG上運(yùn)動(dòng)，?.?GV1GM???CN的長度即是CG的最小值，?;CNLGM,EP1CN,NGME=90°.??四邊形MEPN為矩形，.??NP=ME=BE=1RtAEPC中，EC=BC—BE=3,NPEC=180°—NBEM-ZMEP=30°13.??CP=-CC=—22:.CN=CP+NP=52故答案為：2.如圖，已知點(diǎn)4-3,0),B(0,3)，C(-1,4),動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)P、C、M按逆時(shí)針順序排列，且NCPM=90°,CP=MP，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為6.【解答】解：；點(diǎn)A(-3,0),B(0,3)??.AB=3√2?.?C(-1,4),動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，NCPM=90°,CP=MP???CP-=亙，P為主動(dòng)點(diǎn)，M為從動(dòng)點(diǎn)，C為定點(diǎn)，CM2CP由“瓜豆原理”得P運(yùn)動(dòng)路徑(AB)與M運(yùn)動(dòng)路徑之比等于CP-CM???點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為3√2÷匚=62故答案為：6.12.如圖，在AABC中，NACB=90°，點(diǎn)D在BC邊上，BC=5,CD=2，點(diǎn)E是邊AC所在直線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接DE,將DE繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得至1」DF,連接BF,則BF的最小值為7.2—:BD=3AADHB是等邊三角形，HN1BD3:DN=BN=一，DB=DH,NHDB=60°27:.CN=-2??將DE繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到DF:DE=DF,NEDF=60o:.NEDF=NHDB:NEDH=NFDB在ADHE和ADBF中,DE=DF/EDH=/FDBDH=DB:ADHE=ADBF(SAS):EH=BF:當(dāng)EH有最小值時(shí)，BF有最小值,由垂線段最短可得：當(dāng)EH1AC時(shí)，EH有最小值,此時(shí)，?.?EH1AC,NACB=900,HN1DB:四邊形CNHE是矩形,- 7.?.HE=CN=-2故答案為：2.如圖，QO的直徑AB=2,C為QO上動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CB,將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得到CD，連結(jié)OD，則OD的最大值為√2+1【解答】解：如圖，以O(shè)B為邊在AB的下方作等腰直角三角形OBE，連接CE,BD將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得到CD:.BC=CD,NDCB=90°.??NDBC=450,BD=QBC?,?ΔOBE是等腰直角三角形，:OE=BE,NOBE=450,OB=√2BE=1:BE=OE=—2?.?NDBC=NOBE:NOBD=NCBEDBOBCBBE.??ΔDBOs?CBEODDBCECB:OD=2CCE:當(dāng)CE有最大值時(shí)，OD有最大值，當(dāng)點(diǎn)C，點(diǎn)O，點(diǎn)E三點(diǎn)共線時(shí)，CE有最大值為1+—2.??OD的最大值為21+1故答案為：.如圖，矩形ABCD中，AD=6,DC=8,點(diǎn)E為對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，BE±BF,BE4

=—，BF332BG1EF于點(diǎn)G，連接CG，當(dāng)CG最小時(shí)，CE的長為一.5-【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BP1AC于點(diǎn)P，連接PGBEAB￡BF^BC-3^ABC=NEBF,.??AABCSAEBF.??NCAB=NFEBAPB=NEGB=90o:.AABPSAEBGABEB1PB^GB-sinNBACAC5NABP=NEBGBC~3:.NABE=NPBG:.AABESAPBG:.NBPG=NBAE即在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，NBPG的大小不變且等于NBAC:.當(dāng)CG1PG時(shí)，CG最小，設(shè)此時(shí)AE=xAEAB5——=——=-PGPB33:.PG=—X5?.?CG1PG.??NPCG=NBPG=NBACCP5 =—,PG33代入PG=3x，解得CP=x518?.?CP=BC?sinNCBP=BC?sinNBAC=一518.?.X=一5???AE=1832?CE=—5故答案為：325．二．解答題（共4小題）.如圖，在等邊AABC中，AB=6,BD1AC,垂足為D,點(diǎn)E為AB邊上中點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且DN=2NC，點(diǎn)F從BD中點(diǎn)Q沿射線QD運(yùn)動(dòng)，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EP，連接FP，當(dāng)NP+2MP最小時(shí)，直接寫出ADPN的面積.AB C【解答】解：以M為頂點(diǎn)，MP為一邊，作NPML=30。，ML交BD于點(diǎn)G,過點(diǎn)P作PH1ML于點(diǎn)H，設(shè)MP交BD于點(diǎn)K，如圖，RtΔPMH中，HP=1MP

2.??NP+1MP最小即NP+HP最小，此時(shí)N、P、H共線，2將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段EP???F在射線QF上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P在MP上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)“瓜豆原理”，F(xiàn)為主動(dòng)點(diǎn)，P是從動(dòng)點(diǎn)，E為定點(diǎn)，NFEP=60。，則F、P軌跡的夾角NQKP=NFEP=60o.??NBKM=60。?.?ZABD=30。.??NBMK=90。，/PML=30。.??NBML=60。???NBML=NA:.ML//AC.??NHNA=180。一NPHM=90。-BC1CC:NBDC=NHNA=NPHM=90。:四邊形GHND為矩形，:DN=GH等邊ΔABC中，AB=6，BD1AC:CD=3，?.?DN=2NC:等邊ΔABC中，AB=6，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為BE中點(diǎn)， 3 ?一._..一.??BM=—,BD=AB?sinA=6Xsin60o=3%32RtΔBGM中，-1_ 3MG=bBM=-2 4BG=BM?cos3003√—

~T~,:.MH=MG+GH=—,GD=BD-BG=9^-34 4…11v3RtΔMHP中，HP=MH?tan30。=一12~ 4√3:PN=HN—HP=GD—HP=——3:SΔDPN1―― 4v3=—PN?DN=--2316.若AC=4，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)P為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP.(1)如圖1,取點(diǎn)B，使ΔABC為等腰直角三角形，NBAC=90。，將點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AP,.①點(diǎn)P'的軌跡是圓(填“線段”或者“圓”)；②CP的最小值是一；(2)如圖2,以AP為邊作等邊ΔAPQ(點(diǎn)A、P、Q按照順時(shí)針方向排列)，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，求CQ的最大值.(3)如圖3,將點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到點(diǎn)M,連接PM,則CM的最小值為圖1 圖2 圖3【解答】解：(1)①連接CP、BP',如圖1所示：?,?ΔAB。是等腰直角三角形，NBAC=90。:AC=AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP=AP',NPAP'=90。:NPAC=NP'AB?AP'=AP在ΔABP'和ΔACP中，INPAAB=NPAC,AB=AC:.ΔABP^δACPP(SAS)???BP'=CP=2，即點(diǎn)P'到點(diǎn)B的距離等于定長，???點(diǎn)P'的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓；故答案為：圓；②ΛABC是等腰直角三角形，AC=4??.BC=√2AC=4√2當(dāng)點(diǎn)P'在線段BC上時(shí)，CP'最小=BC-BP'=4√2^-2故答案為：4√2-2(2)以AC為邊長作等邊AACD，連接DQ、CP，如圖2所示:?.?AAPQ和AACD是等邊三角形，.??AP=AQ，AC=AD=CD=4，NPAQ=NCAD=60o.??NDAQ=NCAP[aD=AC在AADQ和AACP中，｛NDAQ=NCAP，、AQ=AP.??AADQ=AACP(SAS).?.DQ=CP=2當(dāng)C、D、Q三點(diǎn)共線時(shí)，CQ有最大值=CD+DQ=4+2=6(3)如圖3所示：M點(diǎn)的軌跡是以MM'為直徑的一個(gè)圓O貝UPM=PA=2，PM'=PA=4+2=6則CO,是梯形PMMP'的中位線，.??CO'=2(2+6)=4連接MM'n則NMM"M'=90o.P'MM=PM=2,MMM=PPP=4:.MM'”=6-2=4=MM??.△MMM"r是等腰直角三角形，：MM'=、/2MM"'=4<-2:O'M"=2v2:CM=CO'-O'M"=4-2√2故答案為：4-2V2圖117.如圖，0。的半徑為2,O到定點(diǎn)A的距離為5,點(diǎn)B在OO上，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，若B在。0上運(yùn)動(dòng)一周.(1)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓;(1)思路引導(dǎo)要證點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是一個(gè)圓，只要證點(diǎn)P到定點(diǎn)M的距離等于定長r，由圖中的定點(diǎn)、定長可以發(fā)現(xiàn)M，r.【解答】(1)解：連接OA、OB，取OAi的中點(diǎn)H，連接HP，如圖1所示：則HP是AABO的中位線，.?.HP=10B=12???P點(diǎn)到H點(diǎn)的距離固定為1,.?.B在。。上運(yùn)動(dòng)一周，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是以點(diǎn)H為圓心，半徑為1的一個(gè)圓;(2)解：連接AO并延長AO交OO于點(diǎn)M、N，如圖2所示：AABCC是等邊三角形，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，.?.PC1AB,PA=PB=1AB=1BC2 2.?.PC=3PPA=3AAB2當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Pt位置，PC最短，AAM=OA—OM=5—2=313.?.APf=AM=—22.??PC="2當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P"位置，PC最長，AAN=OA+ON=5+2=7.?.AP“=1AN=722八7√3.?.PC=-^―2.?.PC長的取值范圍是匹3WPCW7^32 2點(diǎn)C,連接BC，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn).①②(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.(2)當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，作直線AP,交直線BC于點(diǎn)Q,若AABQ的面積是KBPQ

面積的4倍，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，連接AP,交線段BC于點(diǎn)M,以AM為斜邊向KABM

外作等腰直角三角形AMN，連接BN,AABN的面積是否變化？如果不變，請求出AABN的

面積；如果變化,請說明理由．【解答】解：(1)二次函數(shù)經(jīng)過A(-1,0),(3,0)...代入得［°=-(-1)2+b?(T)+C,0=-32+3b+c解得［:=2,所以二次函數(shù)的表達(dá)式為