高等代數(shù)-第9章矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型-95-矩陣的最小多項(xiàng)式課件

§7.9

最小多項(xiàng)式由哈密爾頓―凱萊定理，

是A的特征多項(xiàng)式，則

因此，對(duì)任定一個(gè)矩陣，總可以找到一個(gè)多項(xiàng)式使

多項(xiàng)式以A為根.引入本節(jié)討論，以矩陣A為根的多項(xiàng)式的中次數(shù)最低的那個(gè)與A的對(duì)角化之間的關(guān)系.此時(shí)，也稱§7.9最小多項(xiàng)式由哈密爾頓―凱萊定理，是A的特征多項(xiàng)式1§7.9

最小多項(xiàng)式一、最小多項(xiàng)式的定義定義：設(shè)

在數(shù)域P上的以A為根的多項(xiàng)為A的最小多項(xiàng)式.式中，次數(shù)最低的首項(xiàng)系數(shù)為1的那個(gè)多項(xiàng)式，稱§7.9最小多項(xiàng)式一、最小多項(xiàng)式的定義定義：設(shè)2§7.9

最小多項(xiàng)式二、最小多項(xiàng)式的基本性質(zhì)1.（引理1）矩陣A的最小多項(xiàng)式是唯一的.證：設(shè)都是A的最小多項(xiàng)式.由帶余除法，可表成其中或于是有§7.9最小多項(xiàng)式二、最小多項(xiàng)式的基本性質(zhì)1.（引理1）矩3§7.9

最小多項(xiàng)式

由最小多項(xiàng)式的定義，

即，

同理可得，

又都是首1多項(xiàng)式,

故

§7.9最小多項(xiàng)式由最小多項(xiàng)式的定義，即，同理可得，4§7.9

最小多項(xiàng)式2.（引理2）設(shè)是矩陣A的最小多項(xiàng)式，則以A為根

證：充分性顯然，只證必要性由帶余除法，可表成

其中或

于是有

§7.9最小多項(xiàng)式2.（引理2）設(shè)是矩陣A的最小多項(xiàng)5§7.9

最小多項(xiàng)式由最小多項(xiàng)式的定義，

由此可知：若是A的最小多項(xiàng)式，則整

除任何一個(gè)以A為根的多項(xiàng)式，從而整除A的特征多項(xiàng)式.即3.

矩陣A的最小多項(xiàng)式是A的特征多項(xiàng)式的一個(gè)因子.§7.9最小多項(xiàng)式由最小多項(xiàng)式的定義，6§7.9

最小多項(xiàng)式例1、數(shù)量矩陣

kE的最小多項(xiàng)式是一次多項(xiàng)式特別地，單位矩陣的最小多項(xiàng)式是；

零矩陣的最小多項(xiàng)式是.

反之，若矩陣A的最小多項(xiàng)式是一次多項(xiàng)式，則A一定是數(shù)量矩陣.例2、求的最小多項(xiàng)式.§7.9最小多項(xiàng)式例1、數(shù)量矩陣kE的最小多項(xiàng)式是一次多7§7.9

最小多項(xiàng)式解：A的特征多項(xiàng)式為又

∴A的最小多項(xiàng)式為

§7.9最小多項(xiàng)式解：A的特征多項(xiàng)式為又∴A的最小多項(xiàng)8§7.9

最小多項(xiàng)式4.

相似矩陣具有相同的最小多項(xiàng)式.證：設(shè)矩陣A與B相似，分別為它們的最小多項(xiàng)式.由A相似于B，存在可逆矩陣T,使

從而

也以B為根，同理可得

從而

又都是首1多項(xiàng)式，

§7.9最小多項(xiàng)式4.相似矩陣具有相同的最小多項(xiàng)式.證9§7.9

最小多項(xiàng)式反之不然，即最小多項(xiàng)式相同的矩陣未必相似.如：的最小多項(xiàng)式皆為但A與B不相似.

注：即所以，A與B不相似.§7.9最小多項(xiàng)式反之不然，即最小多項(xiàng)式相同的矩陣未必相似10§7.9

最小多項(xiàng)式5.（引理3）設(shè)A是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣并設(shè)的最小多項(xiàng)式分別為.

則A的最小多項(xiàng)式為的最小公倍式.證：記首先，

即A為的根.

§7.9最小多項(xiàng)式5.（引理3）設(shè)A是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣并設(shè)11§7.9

最小多項(xiàng)式所以被A的最小多項(xiàng)式整除.則

從而

其次，如果從而

故為A的最小多項(xiàng)式.§7.9最小多項(xiàng)式所以被A的最小多項(xiàng)式整除.12§7.9

最小多項(xiàng)式若A是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣且的最小多項(xiàng)式為則A的最小多項(xiàng)式是為推廣：特別地，若兩兩互素，即則A的最小多項(xiàng)式是為§7.9最小多項(xiàng)式若A是一個(gè)準(zhǔn)對(duì)角矩陣且的最小多13§7.9

最小多項(xiàng)式6.（引理4）級(jí)若當(dāng)塊的最小多項(xiàng)式為

證：J的特征多項(xiàng)式為

§7.9最小多項(xiàng)式6.（引理4）級(jí)若當(dāng)塊的最小多項(xiàng)式14§7.9

最小多項(xiàng)式而

的最小多項(xiàng)式為

§7.9最小多項(xiàng)式而的最小多項(xiàng)式為15§7.9

最小多項(xiàng)式6.（定理13）與對(duì)角矩陣相似的最小多項(xiàng)式是P上互素的一次因式的積.

證：由引理3的推廣，必要性顯然.只證充分性.

根據(jù)矩陣與線性變換之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，

設(shè)V上線性變換在某一組基下的矩陣為A，則

則的最小多項(xiàng)式與A的最小多項(xiàng)式相同,設(shè)為§7.9最小多項(xiàng)式6.（定理13）16§7.9

最小多項(xiàng)式若為P上互素的一次因式的乘積：則

其中

（此結(jié)論的證明步驟同定理12）把各自的基合起來就是V的一組基.從而A相似于對(duì)角矩陣.特征向量.所以,在這組基下的矩陣為對(duì)角矩陣.在這組基中，每個(gè)向量都屬于某個(gè)，即是的§7.9最小多項(xiàng)式若為P上互素的一次因式的乘積：則其17§7.9

最小多項(xiàng)式8.

與對(duì)角矩陣相似的最小多項(xiàng)式?jīng)]有重根.練習(xí)：求矩陣