【重點突圍】2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練（人教版） 一元二次方程的概念（解析版）

一元二次方程的概念考點一判斷方程是否是一元二次方程考點二根據(jù)一元二次方程的概念求參數(shù)的值考點三一元二次方程的一般形式考點四已知一元二次方程的一個解求參數(shù)或代數(shù)式的值典型例題典型例題考點一判斷方程是否是一元二次方程例題：（2022·全國·九年級單元測試）下列方程：①x2-1=0；②2x2+3x=（1-2x）（2+x）；③x+=2；④2x2-=0⑤ax2+bx+c=0．其中是一元二次方程的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．【詳解】解：①x2-1=0是一元二次方程；②2x2+3x=（1-2x）（2+x）是一元二次方程；③x+=2是分式方程不是一元二次方程；④2x2-=0不是一元二次方程；⑤ax2+bx+c=0當a=0時不是一元二次方程．所以其中一元二次方程的個數(shù)是2個．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·浙江紹興·八年級期中）下列方程中是一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（含有一個未知數(shù)并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程）進行判斷即可．【詳解】解：A、是一元二次方程該選項符合題意；B、是一元一次方程該選項不符合題意；C、是分式方程該選項不符合題意；D、是二元一次方程該選項不符合題意.故答案為：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義解題時要注意：①是整式方程②只含有一個未知數(shù)③所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2．2．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）判斷下列各式是一元二次方程的是________．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．【答案】②③⑥【解析】【分析】直接根據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可．【詳解】解：①不是方程；②是一元二次方程；③是一元二次方程；④不是整式方程故不是一元二次方程；⑤含有2個未知數(shù)不是一元方程；⑥；是一元二次方程；⑦化簡后沒有二次項不是2次方程.∴②③⑥符合一元二次方程的定義．故答案為：②③⑥．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的辨別熟練掌握一元二次方程的定義是解答此題的關(guān)鍵．考點二根據(jù)一元二次方程的概念求參數(shù)的值例題：（2022·四川成都·二模）若（其中a是常數(shù)）是關(guān)于x的一元二次方程則a的值為______．【答案】﹣3【解析】【分析】只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．直接利用一元二次方程的定義分析得出答案．【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程∴a﹣1≠0解得：a＝﹣3．故答案為：﹣3．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的定義正確把握定義是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2021·遼寧·建昌縣教師進修學(xué)校九年級期中）如果關(guān)于的方程是一元二次方程則___．【答案】-1【解析】【分析】一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0．由這兩個條件得到相應(yīng)的關(guān)系式再求解即可．【詳解】解：由題意得解得．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的概念掌握一元二次方程的概念是解題的關(guān)鍵．2.（2022·全國·九年級單元測試）若關(guān)于x的方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是一元二次方程則m的值是________．【答案】-3【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義可知二次項系數(shù)為2則可以得到m2?7＝2；再根據(jù)一元二次方程中二次項系數(shù)不等于零即可確定m的值．【詳解】解：∵該方程為一元二次方程∴m2?7＝2解得m＝±3；當m＝3時m-3＝0則方程的二次項系數(shù)是0不符合題意；∴m＝-3故答案為：-3．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（abc是常數(shù)且a≠0）解題的關(guān)鍵是特別要注意a≠0的條件這是在做題過程中容易忽視的知識點．考點三一元二次方程的一般形式例題：（2022·全國·九年級單元測試）將方程（3x－1）（2x＋4）＝2化為一般形式為____________其中二次項系數(shù)為________一次項系數(shù)為________．【答案】

3x2＋5x－3＝0

3

5【解析】【分析】將方程展開化簡后即可求解．【詳解】將開展為一般形式為：；則可知一次項系數(shù)為5二次項系數(shù)為3故答案為：35．【點睛】本題主要考查了將一元二次方程化為最簡式以及判斷方程各項系數(shù)的知識熟記相關(guān)考點概念是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·天津濱海新·九年級期末）一元二次方程化成一般形式后它的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先將原方程化為一般形式進而作答即可．【詳解】一元二次方程化成一般形式為：它的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別是5-4故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的一般形式即一元二次方程的一般形式是：(abc是常數(shù)且a

≠

0)特別要注意a≠

0的條件這是在做題過程中容易忽視的知識點在一般形式中叫二次項叫一次項c是常數(shù)項其中abc分別叫二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項．2．（2022·云南昭通·九年級期末）一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是_______．【答案】5【解析】【分析】ax2+bx+c=0（abc是常數(shù)且a≠0）這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項；c叫做常數(shù)項進行填空即可求得．【詳解】解：由題意得：3x2-5x+7=0∴二次項系數(shù)為3一次項系數(shù)為-5常數(shù)項為7∴二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的和是：3-5+7=5故答案為：5．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式關(guān)鍵是一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（abc是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項bx叫一次項c是常數(shù)項．其中abc分別叫二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項．考點四已知一元二次方程的一個解求參數(shù)或代數(shù)式的值例題：（2022·四川成都·九年級期末）已知x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0的一個根則實數(shù)k的值為_____．【答案】【解析】【分析】將x=2代入方程得關(guān)于k的方程解之可得．【詳解】解：將x=2代入方程得：22+2k-2=0解得：k=-1故答案為：-1．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解的定義和解方程的能力掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（2022·湖北恩施·二模）已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解則－4b+2c=（

）A．8 B．－8 C．4 D．－4【答案】A【解析】【分析】由x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一個解將x=2代入原方程即可求得2b-c的值從而得解．【詳解】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一個根∴4+2b-c=0∴2b-c=-4．∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8．故選：A．【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義．解題的關(guān)鍵是將x=2代入原方程利用整體思想求解．2.（2022·湖南婁底·二模）若a是的一個根則的值是（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【解析】【分析】由是方程的一個根得由此可求得的值．【詳解】解：是方程的一個根即．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解熟知一元二次方程的解與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·河北石家莊·二模）是下列哪個方程的解（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】把x＝1代入各選項進行驗算即可得解．【詳解】解：A、5?1＝4≠6故本選項錯誤；B、4≠6故本選項錯誤；C、當x=1時x-1=0即分式的分母為0故本選項錯誤；D、故本選項正確．故選：D．【點睛】本題考查了方程的解的概念使方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．2．（2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)八年級期中）將方程化成的形式則abc的值分別為（

）A．351 B．35-1 C．3-5-1 D．3-51【答案】D【解析】【分析】將一元二次方程化成一般式即可得出結(jié)論．【詳解】解：可化為∴a=3b=-5c=1．故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的一般式熟練掌握其形式是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·九年級）關(guān)于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x＋2m＝15有一個根為﹣2則m的值等于（

）A．2 B． C．﹣2 D．【答案】D【解析】【分析】把x＝﹣2代入方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15即可求解．【詳解】解：把x＝﹣2代入方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15得∶3×4﹣2（3m﹣1）×（﹣2）+2m＝15解得m．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解熟練掌握方程解的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2022·貴州畢節(jié)·九年級期末）關(guān)于x的一元二次方程(a?1)x2+a2?1=0的一個根是0．則a的值為（

）A．1 B． C．1或 D．【答案】B【解析】【分析】方程的根即方程的解就是能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值利用方程解的定義就可以得到關(guān)于a的方程從而求得a的值．【詳解】解：把x=0代入方程得到：a2-1=0解得：a=±1．∵a-10∴a1∴a=-1故選：B．【點睛】本題主要考查了方程的根的定義是一個基礎(chǔ)的題目．一元二次方程的解使方程的左右兩邊相等．5．（2022·全國·九年級）下列方程中一元二次方程共有（

）個．①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的定義一一判定即可．【詳解】解：①x2﹣2x﹣1＝0符合一元二次方程的定義是一元二次方程；②ax2+bx+c＝0沒有二次項系數(shù)不為0這個條件不符合一元二次方程的定義不是一元二次方程；③不是整式方程不符合一元二次方程的定義不是一元二次方程；④﹣x2＝0符合一元二次方程的定義是一元二次方程；⑤（x﹣1）2+y2＝2方程含有兩個未知數(shù)不符合一元二次方程的定義不是一元二次方程；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2方程整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是1不符合一元二次方程的定義不是一元二次方程．綜上所述一元二次方程共有2個．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義解題的關(guān)鍵在于判斷一個方程是否是一元二次方程首先要看是否是整式方程然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．二、填空題6．（2021·全國·九年級課時練習(xí)）一元二次方程化為一般形式為______它的二次項是_______一次項是_______常數(shù)項是_______．【答案】

【解析】【分析】首先利用完全平方公式進行計算然后再把5移到等號左邊合并同類項即可得到然后再確定二次項、一次項系數(shù)和常數(shù)項．【詳解】解：方程整理為一般形式為∴二次項是一次項是常數(shù)項是．故答案為：【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式關(guān)鍵是掌握一元二次方程的一般形式是：（abc是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項bx叫一次項c是常數(shù)項．其中abc分別叫二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項．7．（2022·全國·九年級）關(guān)于x的方程（m2﹣4）x2＋（m﹣2）x﹣2＝0當m滿足______時方程為一元二次方程當m滿足______時方程為一元一次方程．【答案】

【解析】【分析】分別根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的定義列式求解即可.【詳解】解：由題意得：m2﹣4≠0解得：即當時方程為一元二次方程；由題意得：m2﹣4＝0且m﹣2≠0解得：m＝﹣2即當m＝﹣2時方程為一元一次方程．故答案為：；m＝﹣2．【點睛】此題主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定義解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程是通過化簡后只含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程；一元一次方程是只含有一個未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式．8．（2022·江蘇·蘇州市吳中區(qū)城西中學(xué)八年級期中）若關(guān)于的方程是一元二次方程則________．【答案】-1【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出k?1≠0且|k|＋1＝2再求出k即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程∴k?1≠0且|k|＋1＝2解得：k＝?1故答案為：?1．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義能熟記一元一次方程的定義是解此題的關(guān)鍵只含有一個未知數(shù)并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．9．（2022·江蘇連云港·中考真題）若關(guān)于的一元二次方程的一個解是則的值是___．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義把代入到進行求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個解是∴∴故答案為：1．【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義代數(shù)式求值熟知一元二次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇淮安·九年級期末）若a是方程3x2-4x-3=0的一個根則代數(shù)式值為_________．【答案】7【解析】【分析】由a是方程3x2-4x-3=0的一個根得利用整體代入即可求出答案.【詳解】解：∵a是方程3x2-4x-3=0的一個根∴∴故答案為：7.【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解的定義再利用整體代入的方法求代數(shù)式的值找到題目中的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵.三、解答題11．（2022·廣東省深圳市沙灣實驗學(xué)校九年級期末）把下列方程化成一般形式并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項．(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；(2)．【答案】(1)5x2+x﹣4＝0二次項系數(shù)為5；一次項系數(shù)為1；常數(shù)項為﹣4(2)2x2+6x+1＝0二次項系數(shù)為2；一次項系數(shù)為6；常數(shù)項為1【解析】【分析】根據(jù)多項式的乘法化簡再化為一元二次方程的一般形式進而求得二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項．(1)化簡后為5x2+x﹣4＝0因此二次項系數(shù)為5；一次項系數(shù)為1；常數(shù)項為﹣4；(2)化簡后為2x2+6x+1＝0二次項系數(shù)為2；一次項系數(shù)為6；常數(shù)項為1．【點睛】本題考查了多項式的乘法一元二次方程的一般形式理解一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．一元二次方程的一般形式是：（是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．在一般形式中ax2叫二次項bx叫一次項c是常數(shù)項．其中abc分別叫二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項．12．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）當m為何值時關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．(1)為一元二次方程；(2)為一元一次方程．【答案】(1)m＝3(2)m＝﹣1或m＝0m＝2【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義可得答案；（2）根據(jù)一元一次方程的定義可得答案．(1)由關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程得解得m＝3．當m＝3時關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．(2)由關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程得m+1＝0或解得m＝﹣1或m＝0m＝2當m＝﹣1或m＝0m＝2時關(guān)于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義判斷一個方程是否是一元二次方程首先要看是否是整式方程然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．13．（2021·全國·九年級期中）已知m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根求（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）的值．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)方程的根的定義得到m2﹣2m﹣3＝0化簡得m2﹣2m＝3再化簡原式得原式=2（m2﹣2m）﹣5將m2﹣2m＝3代入原式從而求得原式的值．【詳解】解：∵m是方程x2﹣2x﹣3＝0的一個根∴m2﹣2m﹣3＝0∴m2﹣2m＝3∴（m﹣2）2+（m+3）（m﹣3）＝m2﹣4m+4+m2﹣9＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝1．【點睛】本題考查了方程的根的定義整式的乘法掌握相關(guān)