【解析】北京市匯文中學(xué)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷

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北京市匯文中學(xué)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷

一、單選題

1．（2023八下·北京市期中）下列各式中，哪個(gè)是最簡(jiǎn)二次根式（）

A．B．C．D．

2．（2023八下·大理期末）以下列各數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A．1，2，2B．1，，2C．4，5，6D．1，1，

3．（2023八下·北京市期中）如圖，在平行四邊形中，若，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

4．（2023八下·懷安期末）下列計(jì)算中，正確的是（）

A．B．C．D．

5．（2023八下·漢陽期中）如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形一定是()

A．矩形B．菱形C．正方形D．無法判斷

6．（2023八下·海淀期末）如圖，在實(shí)踐活動(dòng)課上，小華打算測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1m，當(dāng)她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時(shí)，測(cè)得繩子底端距離旗桿底部5m，由此可計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度是（）

A．8mB．10mC．12mD．15m

7．（2023八下·北京市期中）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這只鉛筆的長度可能是（）

A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm

8．（2023八下·門頭溝期末）下列命題正確的是（）．

A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形

B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

D．有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形

9．（2023八下·北京市期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DE上一點(diǎn)，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，則DF的長為（）

A．1B．2C．3D．4

10．（2023八下·北京市期中）老師布置了任務(wù)：過直線上一點(diǎn)C作的垂線．在沒有直角尺的情況下，嘉嘉和淇淇利用手頭的學(xué)習(xí)工具給出了如圖所示的兩種方案，下列判斷正確的是（）

方案Ⅰ：①利用一把有刻度的直尺在上量出．②分別以D，C為圓心，以和為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)E．③作直線，即為所求的垂線．方案Ⅱ：取一根筆直的木棒，在木棒上標(biāo)出M，N兩點(diǎn)．①使點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)Q．②保持點(diǎn)N不動(dòng)，將木棒繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在上，將旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)R．③將延長，在延長線上截取線段，得到點(diǎn)S．④作直線，即為所求直線．

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行

二、填空題

11．（2023八下·北京市期中）若有意義，請(qǐng)寫出符合條件的一個(gè)x的值：．

12．（2023八下·北京市期中）計(jì)算的結(jié)果為．

13．（2023八下·北京市期中）如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和BC．分別取AC，BC的中點(diǎn)D，E，測(cè)得D，E兩點(diǎn)間的距離為20m，則A，B兩點(diǎn)間的距離為m．

14．（2023八下·北京市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中點(diǎn)，則∠ADC＝．

15．（2023八下·北京市期中）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是__．

16．（2023八下·北京市期中）如圖，在菱形中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊，，和的中點(diǎn)，連接，，和．若，，則菱形的面積為．

17．（2022八下·五常期末）若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，則n的值為．

18．（2023八下·北京市期中）已知為實(shí)數(shù)，記，

（1）當(dāng)時(shí)，的值為．

（2）的最小值為．

三、解答題

19．（2023八下·北京市期中）計(jì)算

（1）

（2）

（3）

（4）

20．（2023八下·北京市期中）下面是小銘設(shè)計(jì)的“在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形”的尺規(guī)作圖過程．

已知：四邊形是平行四邊形．

求作：菱形（點(diǎn)在上，點(diǎn)在上）．

作法：①以為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)；

②以為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)；

③連接．

所以四邊形為所求作的菱形．

（1）根據(jù)小銘的做法，使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：∵，，

∴▲＝▲，

在中，，

即，

∴四邊形為平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）

∵，

∴四邊形為菱形（）（填推理的依據(jù)）

21．（2023八下·北京期中）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分線，DE分別交BC、AB于點(diǎn)D、E.

（1）求證：△ABC為直角三角形．

（2）求AE的長．

22．（2023八下·北京市期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF長．

23．（2023八下·北京市期中）海倫公式是利用三角形三條邊長求三角形面積的公式，用符號(hào)表示為：（其中a，b，c為三角形的三邊長，，S為三角形的面積）．利用上述材料解決問題：當(dāng)，，時(shí)．

（1）直接寫出p的化簡(jiǎn)結(jié)果為．

（2）寫出計(jì)算S值的過程．

24．（2023八下·北京市期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，每個(gè)小正方形邊長為1，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫圖．

（1）在圖①中，畫一個(gè)正方形，使它的邊長為；

（2）在圖②中，畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；

（3）在圖③中，畫一個(gè)三角形，使它的三邊長分別為，，5，并直接寫出該三角形最長邊上的高的長度．

25．（2023八下·北京市期中）某同學(xué)在解決問題：已知，求的值．

他是這樣分析與求解的：

先將進(jìn)行分母有理化，過程如下，

，

∴，

∴，，

∴，

∴．

請(qǐng)你根據(jù)上述分析過程，解決如下問題：

（1）若，請(qǐng)將進(jìn)行分母有理化；

（2）在（1）的條件下，求的值；

（3）在（1）的條件下，求的值

26．（2023八下·北京市期中）三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對(duì)一元二次方程進(jìn)行求解的方法，以為例，大致過程如下：

第一步：將原方程變形為．即．

第二步：構(gòu)造一個(gè)長為，寬為的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖①所示．

第三步：用四個(gè)這樣的長方形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，如圖②所示．

第四步：

將大正方形邊長用含的代數(shù)式表示為____．

小正方形邊長為常數(shù)____，

長方形面積之和為常數(shù)____．

由觀察可得，大正方形面積等于四個(gè)長方形與小正方形面積之和，得方程____，兩邊開方可求得，．

（1）第四步中橫線上應(yīng)依次填入，，，；

（2）請(qǐng)參考古人的思考過程，畫出示意圖，寫出步驟，解方程．

27．（2023八下·北京市期中）現(xiàn)有正方形和一個(gè)直角．

（1）如圖1，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，射線交延長線于，射線交正方形的邊于，則與的數(shù)量關(guān)系是，請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）如圖2，若點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，射線交延長線于，射線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是，請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（3）若在正方形所在平面內(nèi)任意移動(dòng)，射線交直線于點(diǎn)，射線交直線于點(diǎn)，若與始終保持相等，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)所有可能的位置．

28．（2023八下·北京市期中）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于P，Q兩點(diǎn)，給出如下定義：若點(diǎn)P到x、y軸的距離中的最大值等于點(diǎn)Q到x、y軸的距離中的最大值，則稱P，Q兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”．

（1）如圖1，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為，在點(diǎn)，，中，與點(diǎn)P是“等距點(diǎn)”的有；

（2）如圖2，菱形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，

①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N為菱形的邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，令點(diǎn)N到x、y軸的距離中的最大值為，則的取值范圍是；

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F為菱形的邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若平面中存在一點(diǎn)E，使得E，F(xiàn)兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”．在圖3中畫出點(diǎn)E的軌跡，并計(jì)算該軌跡所形成圖形的面積；

③我們規(guī)定：橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)是整點(diǎn)．若菱形的邊過定點(diǎn)，點(diǎn)F為菱形的邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面中存在一點(diǎn)E，使得E，F(xiàn)兩點(diǎn)為“等距點(diǎn)”，若菱形內(nèi)部（不含邊界）恰有9個(gè)整點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)E的軌跡所覆蓋整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

答案解析部分

1．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式

【解析】【解答】解：A、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；

D、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意．

故答案為：C．

【分析】

最簡(jiǎn)二次根式的概念：被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．一般解題方法是：只要被開方數(shù)中是分?jǐn)?shù)或小數(shù)，一定不是最簡(jiǎn)二次根式；被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，也一定不是最簡(jiǎn)二次根式．

2．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、12+22≠22，不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；

B、12+（）2=22，符合勾股定理的逆定理，能組成直角三角形，故正確；

C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；

D、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可知，當(dāng)三角形中三邊的關(guān)系滿足較小兩邊的平方和等于較大邊長的平方的時(shí)，則該三角形為直角三角形，從而一一判斷得出答案.

3．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C，AD//BC，

∴∠A+∠B=180°，

把∠B=2∠A代入得：3∠A=180°，

∴∠A=60°，

∴∠C=∠A=60°，故A正確．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，將代入求出的度數(shù).

4．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除法；二次根式的加減法

【解析】【解答】解：A．與不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)計(jì)算不符合題意；

B.2與不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)計(jì)算不符合題意；

C．，此選項(xiàng)計(jì)算符合題意；

D.2與﹣2不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)不符合題意；

故答案為：C．

【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可得出。

5．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定

【解析】【解答】如圖，作DF⊥BC,BE⊥CD,

由已知可得，AD∥BC,AB∥CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

在Rt△BEC和Rt△DFC中

∴Rt△BEC≌Rt△DFC，

∴BC=DC

∴四邊形ABCD是菱形.

故答案為：B

【分析】作DF⊥BC,BE⊥CD,先證四邊形ABCD是平行四邊形.再證Rt△BEC≌Rt△DFC，得，BC=DC，所以，四邊形ABCD是菱形.

6．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：設(shè)旗桿的長度為xm，則繩子的長度為：（x+1）m，如圖，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，

解得：x=12，

∴旗桿的高度為12m．

故答案為：C．

【分析】設(shè)旗桿的長度為xm，則繩子的長度為：（x+1）m，根據(jù)勾股定理可得x2+52=（x+1）2，再求出x的值即可。

7．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示：

AB=12cm，BC=9cm，

在Rt△ABC中：AC==15（cm），

則這只鉛筆的長度大于15cm．

故答案為：D．

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理計(jì)算出AC的長

8．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】真命題與假命題

【解析】【解答】A、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以A選項(xiàng)為假命題；

B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以B選項(xiàng)為假命題；

C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以C選項(xiàng)為假命題；

D、有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形，所以D選項(xiàng)為真命題．

故答案為：D．

【分析】

A.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D、有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形

9．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線定理；直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：∵點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE＝BC，

∵BC＝12，

∴DE＝6，

在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC＝8，

∴FE＝AC＝4，

∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，

故答案為：B．

【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得FE，即可．

10．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：方案Ⅰ：根據(jù)作圖可知，CE=40cm，DE=50cm，

∵CD=30cm，

∴302+402=502，

∴CD2+CE2=DE2，

∴△CDE為直角三角形，

∴∠DCE=90°，

∴EC⊥AB，

∴方案Ⅰ可行；

方案Ⅱ：根據(jù)作圖可知，CQ=RQ=SQ，

∴∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，

∵∠CRQ+∠RCQ+∠CSQ+∠SCQ=180°，

∴∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，

∴∠RCS=90°，

∴SC⊥AB，

∴方案Ⅱ可行；

故答案為：C．

【分析】方案Ⅰ：連接DE，根據(jù)勾股定理逆定理證明△CDE為直角三角形，即可證明EC⊥AB；方案Ⅱ：根據(jù)CQ=RQ=SQ，得出∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，求出∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，即∠RCS=90°，得出SC⊥AB.

11．【答案】2（答案不唯一）

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件

【解析】【解答】解：∵有意義，

∴x-1≥0，即x≥1，

∴x的值為2，

故答案為：2（答案不唯一）．

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求解即可．

12．【答案】2023

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

【解析】【解答】解：

故答案為：2023

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)（）即可求解．

13．【答案】40

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：∵點(diǎn)D，E分別是BC和AC的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，DE＝20m，

∴AB＝2DE＝2×20＝40（m）．

故答案為：40．

【分析】先判斷出DE是△ABC的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得AB＝2DE，問題得解．

14．【答案】50°

【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，

∴CD＝BD，

∴∠DCB＝∠B，

∵∠B＝25°，

∴∠DCB＝25°，

∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°，

故答案為：50°．

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求出CD＝BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠DCB＝∠B，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．

15．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示；勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖，

勾股定理可得

OA=OB=

故答案為：．

【分析】根據(jù)勾股定理求出OB的長度，然后根據(jù)點(diǎn)A在數(shù)軸上的位置即可解答．

16．【答案】16

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：連接AC、BD，交于點(diǎn)O，如圖所示：

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD，

∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD和DA的中點(diǎn)，

∴EF=AC，EH=BD，

∵EH=4，EF=2，

∴AC=4，BD=8，

∴S菱形ABCD=AC×BD=16．

故答案為：16．

【分析】連接AC、BD，交于點(diǎn)O，根據(jù)中位線的性質(zhì)求出AC=4，BD=8，根據(jù)菱形面積公式求出菱形ABCD的面積

17．【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理

【解析】【解答】解：由題意得：（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，

解得：n1＝2，n2＝－2（不合題意，舍去）．

故答案為2．

【分析】根據(jù)題意先求出（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，再作答即可。

18．【答案】（1）

（2）

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；軸對(duì)稱的應(yīng)用-最短距離問題

【解析】【解答】解：（1）當(dāng)x=y=0時(shí)，

=；

故答案為：．

（2）

=

設(shè)P(x，0)，Q(0，y)，A(3，1)，B(2，6)，

如圖所示，

作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B'與x軸交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，A'B'即為所求，

∴B'(-2，6)，A'(3，-1)，

M=QB+QP+AP≥A'B'=

故答案為：．

【分析】（1）將x=y=0時(shí)，代入M進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；

（2）設(shè)P(x，0)，Q(0，y)，A(3，1)，B(2，6)，在直角坐標(biāo)系中畫出圖，根據(jù)最短路徑模型，作對(duì)稱點(diǎn)即可得到答案。

19．【答案】（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【分析】（1）（2）（3）根據(jù)二次根式的加減乘除混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算；

（4）根據(jù)平方差公式計(jì)算即可.

20．【答案】（1）解：如圖所示：

菱形即為所求．

（2）解：∵，，

∴AE＝BF，

在中，，

即，

∴四邊形為平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

∵，

∴四邊形為菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形），

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可．

（2）利用平行四邊形的判定及性質(zhì)和菱形的判定填寫理由．

21．【答案】（1）證明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，

又∵42+32=52，

即AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形；

（2）證明：連接CE．

∵DE是BC的垂直平分線，

∴EC=EB，

設(shè)AE=x，則EC=4-x．

∴x2+32=（4-x）2．

解之得x=，即AE的長是．

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE=CE，設(shè)AE=x，則EC=4-x，根據(jù)勾股定理可得x2+32=（4-x）2，再解即可．

22．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，

∵DF＝BE，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

∴四邊形BFDE是矩形；

（2）解：∵四邊形BFDE是矩形，

∴∠BFD＝90°，

∴∠BFC＝90°，

在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，

∴BC＝5，

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠BAF，

∵AB∥DC，

∴∠DFA＝∠BAF，

∴∠DAF＝∠DFA，

∴AD＝DF，

∵AD＝BC，

∴DF＝BC，

∴DF＝5．

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；矩形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先求出四邊形BFDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定推出即可；

（2）根據(jù)勾股定理求出BC長，求出AD＝DF，即可得出答案。

23．【答案】（1）

（2）解：∵，，，，

∴

．

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

【解析】【解答】（1）解：∵，，，

∴，

故答案為：．

【分析】（1）根據(jù)題目中提供的信息，代入數(shù)據(jù)根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；

（2）根據(jù)題目中的面積公式，代入數(shù)據(jù)根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值即可。

24．【答案】（1）解：如圖①，正方形即為所求，

；

（2）解：如圖②，即為所求，

；

（3）如圖③，即為所求，

，

2

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】（3）解：∵AB=，

∴AB2+BC2=AC2，

∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°，

三角形最長邊上的高的長度為：

【分析】（1）根據(jù)勾股定理得出正方形的邊長，即可得到圖形；

（2）構(gòu)造邊長為3，4，5的直角三角形即可；

（3）根據(jù)勾股定理逆定理判斷△ABC為直角三角形，再根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．

25．【答案】（1）解：．

（2）解：∵，

∴，，

∴，

∴．

（3）解：根據(jù)（2）可知，，

∴

．

【知識(shí)點(diǎn)】分母有理化；二次根式的化簡(jiǎn)求值

【解析】【分析】1）按照分母有理化的方法進(jìn)行解答即可；

（2）根據(jù)可得，進(jìn)而根據(jù)完全平方公式即可求解；

（3）根據(jù)（2）可知，，則，將代入即可求解．

26．【答案】（1）；2；12；

（2）解：第一步：將原方程變形為，即，

第二步：構(gòu)造成一個(gè)長為，寬為的長方形，長比寬大1，且面積為3，

第三步：用四個(gè)這樣的長方形圍城一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，如圖所示，

，

第四步：

將大正方形邊長用含的代數(shù)式表示為，

小正方形邊長為常數(shù)，

長方形面積之和為常數(shù)，

由觀察可得，大正方形面積等于四個(gè)長方形與小正方形面積之和，

得方程，

兩邊開方可求得，．

【知識(shí)點(diǎn)】直接開平方法解一元二次方程；一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】（1）解：根據(jù)題意可得：

大正方形的邊長為：[x+(x-2)]，

小正方形的邊長為：[x+(x-2)]-2(x-2)=2，

長方形面積之和為：4×3=12，

∵大正方形面積等于四個(gè)長方形與小正方形面積之和，

故答案為：，2，12，．

【分析】（1）根據(jù)題意，大正方形的邊長為[x+(x-2)]，小正方形的邊長為[x+(x-2)]-2(x-2)=2，求得長方形面積之和，再結(jié)合圖形根據(jù)由大正方形面積等于四個(gè)長方形與小正方形面積之和列出方程即可得到答案；

（2）先將原方程變形，構(gòu)造出一個(gè)長為x，寬為(x-1)的長方形，長比寬大1，且面積為3，同（1）的方法，得出一個(gè)方程，解方程即可得到答案。

27．【答案】（1）解：，

證明：四邊形是正方形，

，

，

，

，

在和中，

，

，

，；

（2）解：，

證明：如圖，作，交于，

，

四邊形是正方形，

，

，

為等腰直角三角形，

，，

，即，

在和中，

，

，

，

，

；

（3）點(diǎn)在直線上時(shí)，與始終保持相等

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定；正方形的性質(zhì)

【解析】【解答】（3）解：當(dāng)點(diǎn)O在線段AC上時(shí)，如圖所示，

作OQ⊥CD交CD于Q，作OP⊥BC交BC于P，

則∠OPC=∠OQC=90°，

由正方形的性質(zhì)可得：∠OCP=∠OCQ=45°，

在△OPC和△OQC中，

∴△OPC≌OQC(AAS)，

∴OQ=OP，

∵∠POE+∠EOQ=90°，∠EOQ+∠FOQ=90°，

∴∠POE=∠QOF，

在△OPE和△OQF中，

∴OE=OF，

∴當(dāng)點(diǎn)O在線段AC上時(shí)，OE與OF始終保持相等，

當(dāng)點(diǎn)O在射線AC上時(shí)，如圖所示，

作OK⊥CF交CF于K，OJ⊥BE交BE于J，

則∠OKF=∠OJE=90°，四邊形OKCJ為矩形，

由正方形的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)可得：∠OCK=∠OCJ=45°，

在△OKC和△OJC中，

∴△OKC≌OJC(AAS)，

∴OK=OJ，

∵∠JOE+∠JOF=90°，∠KOF+∠FOJ=90°，

∴∠JOE=∠KOF，

在△OJE和△OKF中，

∴△OJE≌△OKF(ASA)，

∴OE=OF，

∴當(dāng)點(diǎn)O在AC的延長線上時(shí)，OE與OF始終保持相等，

同理可得：當(dāng)點(diǎn)O在CA的延長線上時(shí)，OE與OF始終保持相等，

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)O在直線AC上時(shí)，OE與OF始終保持相等．

【分析】（1）根據(jù)AAS證明△EAB≌△DAF即可；

（2）作OF⊥AC，交BC于F，證明△FOE≌△COD(ASA)，即可得到結(jié)論；

（3）分兩種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)O在線段AC上時(shí)，作OQ⊥CD交CD于Q，作OP⊥BC交BC于P，證明△OPC≌OQC(AAS)和△OPE≌△OQF(ASA)，即可得到OE與OF始終保持相等，當(dāng)點(diǎn)O在AC的延長線上時(shí)，作OK⊥CF交CF于K，OJ⊥BE交BE于J，通過證明△OKC≌OJC(AAS)和△OJE≌△OKF(ASA)，即可得到OE與OF始終保持相等，②同理可得，當(dāng)點(diǎn)O在CA的延長線上時(shí)，OE與OF始終保持相等。

28．【答案】（1）、

（2）解：①

②根據(jù)①的方法可得：點(diǎn)F到x、y軸的距離中的最大值的取值范圍為：

設(shè)點(diǎn)，則，．

∴如圖：陰影部分為點(diǎn)F的軌跡，該軌跡所形成圖形的面積為；

③根據(jù)題意畫出圖形如下：根據(jù)①的方法可得：點(diǎn)F到x、y軸的距離中的最大值的取值范圍為：

設(shè)點(diǎn)，則，

∴如圖：陰影部分為點(diǎn)F的軌跡，則點(diǎn)E的軌跡所覆蓋整點(diǎn)的個(gè)數(shù)個(gè)．

【知識(shí)點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；菱形的性質(zhì)

【解析】【解答】(1)解：∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4，1)，

∴點(diǎn)P到x、y軸的距離中的最大值等于4，

∵點(diǎn)Q1(4，0)到x、y軸的距離中的最大值等于4，點(diǎn)Q2(2，2)到x、y軸的距離中的最大值等于2，點(diǎn)Q3(-3，-4)到x、y軸的距離中的最大值等于4，

∴點(diǎn)P的“等距點(diǎn)”的是Q1、Q3，

故答案為Q1、Q3．

解：①∵a=b=5

∴C(5，0)，D(0，5)

∴OD=5，OC=5，四邊形ABCD是正方形，

∴當(dāng)N與C或D重合時(shí)，dN有最大值5

如圖：過O作OE⊥DC

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ODC=∠OCD=45°

∴OE=EC，OE=DC

∴DE=EC

過E作EG⊥OC，則DF=OF

∴EF=OC=；同理：EG=

∴當(dāng)N在E點(diǎn)時(shí)，dN有最小值

∴dN的取值范圍為．

故答案為．

【分析】（1）根據(jù)"等距點(diǎn)”的定義判斷，根據(jù)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離，即可解答；

（2）①根據(jù)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離的定義確定的最值即可解答；

②先求得點(diǎn)F到x、y軸的距離中的最大值的取值范圍為3≤dF≤6，設(shè)點(diǎn)E(c，d)，根據(jù)新定義可得3≤|c|≤6、3≤|d|≤6，然后畫出軌跡區(qū)域確定面積即可；

③根據(jù)題意可得取值范圍為2≤dF≤4，設(shè)點(diǎn)E(c，d)，根據(jù)新定義可得2≤|c|<4、2≤|d|<4，然后畫出軌跡區(qū)域即可解答．

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北京市匯文中學(xué)2022-2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷

一、單選題

1．（2023八下·北京市期中）下列各式中，哪個(gè)是最簡(jiǎn)二次根式（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式

【解析】【解答】解：A、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

B.、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；

D、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意．

故答案為：C．

【分析】

最簡(jiǎn)二次根式的概念：被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．一般解題方法是：只要被開方數(shù)中是分?jǐn)?shù)或小數(shù)，一定不是最簡(jiǎn)二次根式；被開方數(shù)中含有能開得盡方的因數(shù)，也一定不是最簡(jiǎn)二次根式．

2．（2023八下·大理期末）以下列各數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A．1，2，2B．1，，2C．4，5，6D．1，1，

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、12+22≠22，不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；

B、12+（）2=22，符合勾股定理的逆定理，能組成直角三角形，故正確；

C、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤；

D、12+12≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能組成直角三角形，故錯(cuò)誤.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可知，當(dāng)三角形中三邊的關(guān)系滿足較小兩邊的平方和等于較大邊長的平方的時(shí)，則該三角形為直角三角形，從而一一判斷得出答案.

3．（2023八下·北京市期中）如圖，在平行四邊形中，若，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A=∠C，AD//BC，

∴∠A+∠B=180°，

把∠B=2∠A代入得：3∠A=180°，

∴∠A=60°，

∴∠C=∠A=60°，故A正確．

故答案為：A．

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，將代入求出的度數(shù).

4．（2023八下·懷安期末）下列計(jì)算中，正確的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的乘除法；二次根式的加減法

【解析】【解答】解：A．與不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)計(jì)算不符合題意；

B.2與不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)計(jì)算不符合題意；

C．，此選項(xiàng)計(jì)算符合題意；

D.2與﹣2不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)不符合題意；

故答案為：C．

【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可得出。

5．（2023八下·漢陽期中）如圖，兩把完全一樣的直尺疊放在一起，重合的部分構(gòu)成一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形一定是()

A．矩形B．菱形C．正方形D．無法判斷

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定

【解析】【解答】如圖，作DF⊥BC,BE⊥CD,

由已知可得，AD∥BC,AB∥CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

在Rt△BEC和Rt△DFC中

∴Rt△BEC≌Rt△DFC，

∴BC=DC

∴四邊形ABCD是菱形.

故答案為：B

【分析】作DF⊥BC,BE⊥CD,先證四邊形ABCD是平行四邊形.再證Rt△BEC≌Rt△DFC，得，BC=DC，所以，四邊形ABCD是菱形.

6．（2023八下·海淀期末）如圖，在實(shí)踐活動(dòng)課上，小華打算測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，她發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1m，當(dāng)她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時(shí)，測(cè)得繩子底端距離旗桿底部5m，由此可計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度是（）

A．8mB．10mC．12mD．15m

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：設(shè)旗桿的長度為xm，則繩子的長度為：（x+1）m，如圖，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2，

解得：x=12，

∴旗桿的高度為12m．

故答案為：C．

【分析】設(shè)旗桿的長度為xm，則繩子的長度為：（x+1）m，根據(jù)勾股定理可得x2+52=（x+1）2，再求出x的值即可。

7．（2023八下·北京市期中）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm，則這只鉛筆的長度可能是（）

A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示：

AB=12cm，BC=9cm，

在Rt△ABC中：AC==15（cm），

則這只鉛筆的長度大于15cm．

故答案為：D．

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理計(jì)算出AC的長

8．（2023八下·門頭溝期末）下列命題正確的是（）．

A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形

B．對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形

D．有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】真命題與假命題

【解析】【解答】A、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，所以A選項(xiàng)為假命題；

B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以B選項(xiàng)為假命題；

C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，所以C選項(xiàng)為假命題；

D、有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形，所以D選項(xiàng)為真命題．

故答案為：D．

【分析】

A.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

D、有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形

9．（2023八下·北京市期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DE上一點(diǎn)，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，則DF的長為（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線定理；直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：∵點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，

∴DE＝BC，

∵BC＝12，

∴DE＝6，

在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC＝8，

∴FE＝AC＝4，

∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，

故答案為：B．

【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得FE，即可．

10．（2023八下·北京市期中）老師布置了任務(wù)：過直線上一點(diǎn)C作的垂線．在沒有直角尺的情況下，嘉嘉和淇淇利用手頭的學(xué)習(xí)工具給出了如圖所示的兩種方案，下列判斷正確的是（）

方案Ⅰ：①利用一把有刻度的直尺在上量出．②分別以D，C為圓心，以和為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)E．③作直線，即為所求的垂線．方案Ⅱ：取一根筆直的木棒，在木棒上標(biāo)出M，N兩點(diǎn)．①使點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)Q．②保持點(diǎn)N不動(dòng)，將木棒繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在上，將旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)R．③將延長，在延長線上截取線段，得到點(diǎn)S．④作直線，即為所求直線．

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：方案Ⅰ：根據(jù)作圖可知，CE=40cm，DE=50cm，

∵CD=30cm，

∴302+402=502，

∴CD2+CE2=DE2，

∴△CDE為直角三角形，

∴∠DCE=90°，

∴EC⊥AB，

∴方案Ⅰ可行；

方案Ⅱ：根據(jù)作圖可知，CQ=RQ=SQ，

∴∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，

∵∠CRQ+∠RCQ+∠CSQ+∠SCQ=180°，

∴∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，

∴∠RCS=90°，

∴SC⊥AB，

∴方案Ⅱ可行；

故答案為：C．

【分析】方案Ⅰ：連接DE，根據(jù)勾股定理逆定理證明△CDE為直角三角形，即可證明EC⊥AB；方案Ⅱ：根據(jù)CQ=RQ=SQ，得出∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，求出∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，即∠RCS=90°，得出SC⊥AB.

二、填空題

11．（2023八下·北京市期中）若有意義，請(qǐng)寫出符合條件的一個(gè)x的值：．

【答案】2（答案不唯一）

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式有意義的條件

【解析】【解答】解：∵有意義，

∴x-1≥0，即x≥1，

∴x的值為2，

故答案為：2（答案不唯一）．

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求解即可．

12．（2023八下·北京市期中）計(jì)算的結(jié)果為．

【答案】2023

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

【解析】【解答】解：

故答案為：2023

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)（）即可求解．

13．（2023八下·北京市期中）如圖，A，B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC和BC．分別取AC，BC的中點(diǎn)D，E，測(cè)得D，E兩點(diǎn)間的距離為20m，則A，B兩點(diǎn)間的距離為m．

【答案】40

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：∵點(diǎn)D，E分別是BC和AC的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線，DE＝20m，

∴AB＝2DE＝2×20＝40（m）．

故答案為：40．

【分析】先判斷出DE是△ABC的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得AB＝2DE，問題得解．

14．（2023八下·北京市期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B=25°，D是AB的中點(diǎn)，則∠ADC＝．

【答案】50°

【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，

∴CD＝BD，

∴∠DCB＝∠B，

∵∠B＝25°，

∴∠DCB＝25°，

∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝50°，

故答案為：50°．

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線求出CD＝BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠DCB＝∠B，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可．

15．（2023八下·北京市期中）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是__．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示；勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖，

勾股定理可得

OA=OB=

故答案為：．

【分析】根據(jù)勾股定理求出OB的長度，然后根據(jù)點(diǎn)A在數(shù)軸上的位置即可解答．

16．（2023八下·北京市期中）如圖，在菱形中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊，，和的中點(diǎn)，連接，，和．若，，則菱形的面積為．

【答案】16

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【解答】解：連接AC、BD，交于點(diǎn)O，如圖所示：

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AC⊥BD，

∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD和DA的中點(diǎn)，

∴EF=AC，EH=BD，

∵EH=4，EF=2，

∴AC=4，BD=8，

∴S菱形ABCD=AC×BD=16．

故答案為：16．

【分析】連接AC、BD，交于點(diǎn)O，根據(jù)中位線的性質(zhì)求出AC=4，BD=8，根據(jù)菱形面積公式求出菱形ABCD的面積

17．（2022八下·五常期末）若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，則n的值為．

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理

【解析】【解答】解：由題意得：（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，

解得：n1＝2，n2＝－2（不合題意，舍去）．

故答案為2．

【分析】根據(jù)題意先求出（n＋1）2＋（n＋2）2＝（n＋3）2，再作答即可。

18．（2023八下·北京市期中）已知為實(shí)數(shù)，記，

（1）當(dāng)時(shí)，的值為．

（2）的最小值為．

【答案】（1）

（2）

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；軸對(duì)稱的應(yīng)用-最短距離問題

【解析】【解答】解：（1）當(dāng)x=y=0時(shí)，

=；

故答案為：．

（2）

=

設(shè)P(x，0)，Q(0，y)，A(3，1)，B(2，6)，

如圖所示，

作B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B'與x軸交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，A'B'即為所求，

∴B'(-2，6)，A'(3，-1)，

M=QB+QP+AP≥A'B'=

故答案為：．

【分析】（1）將x=y=0時(shí)，代入M進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；

（2）設(shè)P(x，0)，Q(0，y)，A(3，1)，B(2，6)，在直角坐標(biāo)系中畫出圖，根據(jù)最短路徑模型，作對(duì)稱點(diǎn)即可得到答案。

三、解答題

19．（2023八下·北京市期中）計(jì)算

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）解：

（2）解：

（3）解：

（4）解：

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算

【解析】【分析】（1）（2）（3）根據(jù)二次根式的加減乘除混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算；

（4）根據(jù)平方差公式計(jì)算即可.

20．（2023八下·北京市期中）下面是小銘設(shè)計(jì)的“在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形”的尺規(guī)作圖過程．

已知：四邊形是平行四邊形．

求作：菱形（點(diǎn)在上，點(diǎn)在上）．

作法：①以為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)；

②以為圓心，長為半徑作弧，交于點(diǎn)；

③連接．

所以四邊形為所求作的菱形．

（1）根據(jù)小銘的做法，使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：∵，，

∴▲＝▲，

在中，，

即，

∴四邊形為平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）

∵，

∴四邊形為菱形（）（填推理的依據(jù)）

【答案】（1）解：如圖所示：

菱形即為所求．

（2）解：∵，，

∴AE＝BF，

在中，，

即，

∴四邊形為平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）

∵，

∴四邊形為菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形），

【知識(shí)點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可．

（2）利用平行四邊形的判定及性質(zhì)和菱形的判定填寫理由．

21．（2023八下·北京期中）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分線，DE分別交BC、AB于點(diǎn)D、E.

（1）求證：△ABC為直角三角形．

（2）求AE的長．

【答案】（1）證明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，

又∵42+32=52，

即AB2+AC2=BC2，

∴△ABC是直角三角形；

（2）證明：連接CE．

∵DE是BC的垂直平分線，

∴EC=EB，

設(shè)AE=x，則EC=4-x．

∴x2+32=（4-x）2．

解之得x=，即AE的長是．

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE=CE，設(shè)AE=x，則EC=4-x，根據(jù)勾股定理可得x2+32=（4-x）2，再解即可．

22．（2023八下·北京市期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF．

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）若AF平分∠DAB，CF＝3，BF＝4，求DF長．

【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，

∵DF＝BE，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

∴四邊形BFDE是矩形；

（2）解：∵四邊形BFDE是矩形，

∴∠BFD＝90°，

∴∠BFC＝90°，

在Rt△BCF中，CF＝3，BF＝4，

∴BC＝5，

∵AF平分∠DAB，

∴∠DAF＝∠BAF，

∵AB∥DC，

∴∠DFA＝∠BAF，

∴∠DAF＝∠DFA，

∴AD＝DF，

∵AD＝BC，

∴DF＝BC，

∴DF＝5．

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用；矩形的判定與性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先求出四邊形BFDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定推出即可；

（2）根據(jù)勾股定理求出BC長，求出AD＝DF，即可得出答案。

23．（2023八下·北京市期中）海倫公式是利用三角形三條邊長求三角形面積的公式，用符號(hào)表示為：（其中a，b，c為三角形的三邊長，，S為三角形的面積）．利用上述材料解決問題：當(dāng)，，時(shí)．

（1）直接寫出p的化簡(jiǎn)結(jié)果為．

（2）寫出計(jì)算S值的過程．

【答案】（1）

（2）解：∵，，，，

∴

．

【知識(shí)點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)

【解析】【解答】（1）解：∵，，，

∴，

故答案為：．

【分析】（1）根據(jù)題目中提供的信息，代入數(shù)據(jù)根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；

（2）根據(jù)題目中的面積公式，代入數(shù)據(jù)根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值即可。

24．（2023八下·北京市期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，每個(gè)小正方形邊長為1，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫圖．

（1）在圖①中，畫一個(gè)正方形，使它的邊長為；

（2）在圖②中，畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；

（3）在圖③中，畫一個(gè)三角形，使它的三邊長分別為，，5，并直接寫出該三角形最長邊上的高的長度．

【答案】（1）解：如圖①，正方形即為所求，

；

（2）解：如圖②，即為所求，

；

（3）如圖③，即為所求，

，

2

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理；勾股定理的應(yīng)用

【解析】【解答】（3）解：∵AB=，

∴AB2+BC2=AC2，

∴△ABC為直角三角形，∠ABC=90°，

三角形最長邊上的高的長度為：

【分析】（1）根據(jù)勾股定理得出正方形的邊長，即可得到圖形；

（2）構(gòu)造邊長為3，4，5的直角三角形即可；

（3）根據(jù)勾股定理逆定理判斷△ABC為直角三角形，再根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．

25．（2023八下·北京市期中）某同學(xué)在解決問題：已知，求的值．

他是這樣分析與求解的：

先將進(jìn)行分母有理化，過程如下，

，

∴，

∴，，

∴，

∴．

請(qǐng)你根據(jù)上述分析過程，解決如下問題：

（1）若，請(qǐng)將進(jìn)行分母有理化；

（2）在（1）的條件下，求的值；

（3）在（1）的條件下，求的值

【答案】（1）解：．

（2）解：∵，

∴，，

∴，

∴．

（3）解：根據(jù)（2）可知，，

∴

．

【知識(shí)點(diǎn)】分母有理化；二次根式的化簡(jiǎn)求值

【解析】【分析】1）按照分母有理化的方法進(jìn)行解答即可；

（2）根據(jù)可得，進(jìn)而根據(jù)完全平方公式即可求解；

（3）根據(jù)（2）可知，，則，將代入即可求解．

26．（2023八下·北京市期中）三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對(duì)一元二次方程進(jìn)行求解的方法，以為例，大致過程如下：

第一步：將原方程變形為．即．

第二步：構(gòu)造一個(gè)長為，寬為的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖①所示．

第三步：用四個(gè)這樣的長方形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，如圖②所示．

第四步：

將大正方形邊長用含的代數(shù)式表示為____．

小正方形邊長為常數(shù)____，

長方形面積之和為常數(shù)____．

由觀察可得，大正方形面積等于四個(gè)長方形與小正方形面積之和，得方程____，兩邊開方可求得，．

（1）第四步中橫線上應(yīng)依次填入，，，；

（2）請(qǐng)參考古人的思考過程，畫出示意圖，寫出步驟，解方程．

【答案】（1）；2；12；

（2）解：第一步：將原方程變形為，即，

第二步：構(gòu)造成一個(gè)長為，寬為的長方形，長比寬大1，且面積為3，

第三步：用四個(gè)這樣的長方形圍城一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，如圖所示，

，

第四步：

將大正方形邊長用含的代數(shù)式表示為，

小正方形邊長為常數(shù)，

長方形面積之和為常數(shù)，

由觀察可得，大正方形面積等于四個(gè)長方形與小正方形面積之和，

得方程，

兩邊開方可求得，．

【知識(shí)點(diǎn)】直接開平方法解一元二次方程；一元二次方程的應(yīng)用-幾何問題

【解析】【解答】（1）解：根據(jù)題意可得：

大正方形的邊長為：[x+(x-2)]，

小正方形的邊長為：[x+(x-2)]-2(x-2)=2，

長方形面積之和為：4×3=12，

∵大正方形面積等于四個(gè)長方形與小正方形面積之和，

故答案為：，2，12，．

【分析】（1）根據(jù)題意，大正方形的邊長為[x+(x-2)]，小正方形的邊長為[x+(x-2)]-2(x-2)=2，求得長方形面積之和，再結(jié)合圖形根據(jù)由大正方形面積等于四個(gè)長方形與小正方形面積之和列出方程即可得到答案；

（2）先將原方程變形，構(gòu)造出一個(gè)長為x，寬為(x-1)的長方形，長比寬大1，且面積為3，同（1）的方法，得出一個(gè)方程，解方程即可得到答案。

27．（2023八下·北京市期中）現(xiàn)有正方形和一個(gè)直角．

（1）如圖1，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，射線交延長線于，射線交正方形的邊于，則與的數(shù)量關(guān)系是，請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（2）如圖2，若點(diǎn)在正方形的對(duì)角線上，射線交延長線于，射線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是，請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（3）若在正方形所