山東省萊蕪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(老一中)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

山東省萊蕪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(老一中)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.

若，當(dāng)，時(shí)，，若在區(qū)間，內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

).，

.，

.，

.，

參考答案：D2.函數(shù)的圖像如圖所示，為得到的圖像，則只要將的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位

B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位

D．向左平移個(gè)單位參考答案：B3.（10）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程為（A）

（B）（C）

（D）參考答案：C4.已知集合，.則（

）A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A略5.已知“∈R，則“a=2”是“復(fù)數(shù)z=（a2—a—2）+（a+1）i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)”的A．充分而不必要條件

B.必要而不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C6.已知、是三次函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則的取值范圍是A． B． C．

D．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值，則有兩個(gè)不同的根，即，又，又，所以有，即。的幾何意義是指動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)兩點(diǎn)斜率的取值范圍，做出可行域如圖，，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過AB時(shí)，斜率最小，此時(shí)斜率為，直線經(jīng)過AD時(shí)，斜率最大，此時(shí)斜率為，所以，選B.參考答案：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值，則有兩個(gè)不同的根，即，又，又，所以有，即。的幾何意義是指動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)兩點(diǎn)斜率的取值范圍，做出可行域如圖，，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過AB時(shí)，斜率最小，此時(shí)斜率為，直線經(jīng)過AD時(shí)，斜率最大，此時(shí)斜率為，所以，選B.【答案】B7.已知向量,向量,則的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.關(guān)于函數(shù)有以下三個(gè)判斷①函數(shù)恒有兩個(gè)零點(diǎn)且兩個(gè)零點(diǎn)之積為-1；②函數(shù)恒有兩個(gè)極值點(diǎn)且兩個(gè)極值點(diǎn)之積為-1；③若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),則函數(shù)極小值為-1.其中正確判斷的個(gè)數(shù)有(

)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)參考答案：C【分析】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即的根的個(gè)數(shù)，利用判別式求解；對(duì)函數(shù)求導(dǎo)討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題即可得極值關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，方程，，所以關(guān)于的方程一定有兩個(gè)實(shí)根，且兩根之積為-1，所以恒有兩個(gè)零點(diǎn)且兩個(gè)零點(diǎn)之積為-1，即①正確；，，對(duì)于，，所以恒有兩個(gè)不等實(shí)根，且導(dǎo)函數(shù)在這兩個(gè)實(shí)根附近左右異號(hào)，兩根之積為，函數(shù)恒有兩個(gè)極值點(diǎn)且兩個(gè)極值點(diǎn)之積為，所以②錯(cuò)誤；若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),，則，，，，，所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以函數(shù)的極小值為，所以③正確.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)論單調(diào)性和極值問題，綜合性比較強(qiáng).9.函數(shù)的圖像

Ａ．關(guān)于y軸對(duì)稱

Ｂ．關(guān)于x軸對(duì)稱

Ｃ．關(guān)于直線y=x對(duì)稱

Ｄ．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱參考答案：D略10.設(shè)四面體ABCD各棱長(zhǎng)均相等，S為AD的中點(diǎn)，Q為BC上異于中點(diǎn)和端點(diǎn)的任一點(diǎn)，則在四面體的面BCD上的的射影可能是（

）A.① B.② C.③ D.④參考答案：C【分析】由題意可知四面體為正四面體，根據(jù)正四面體的特點(diǎn)可求得在平面上的射影點(diǎn)在中線上，且，又平面，可得射影三角形，從而得到結(jié)果.【詳解】四面體各棱長(zhǎng)相等，可知四面體為正四面體取中點(diǎn)，連接，如下圖所示：作平面，垂足為，由正四面體特點(diǎn)可知，為中心，且作平面，垂足為，可知，且為中點(diǎn)，則即在平面上的射影點(diǎn)為又平面即為在平面上的射影，可知③正確本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查投影圖形的求解問題，關(guān)鍵是能夠確定射影點(diǎn)所處的位置，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個(gè)函數(shù)，若對(duì)任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤k（k＞0），則稱f（x）與g（x）在[a，b]上是“k度和諧函數(shù)”，[a，b]稱為“k度密切區(qū)間”．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=在[，e]上是“e度和諧函數(shù)”，則m的取值范圍是．參考答案：﹣1≤m≤1+e【考點(diǎn)】：函數(shù)的值域．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】：由“e度和諧函數(shù)”，得到對(duì)任意的x∈[，e]，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，化簡(jiǎn)整理得m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），求出h（x）的最值，只要m﹣e不大于最小值，且m+e不小于最大值即可．解：：∵函數(shù)f（x）=lnx與g（x）=在[，e]上是“e度和諧函數(shù)”，∴對(duì)任意的x∈[，e]上，都有|f（x）﹣g（x）|≤e，即有|lnx+﹣m|≤e，即m﹣e≤lnx+≤m+e，令h（x）=lnx+（≤x≤e），h′（x）=﹣=，x＞1時(shí)，h′（x）＞0，x＜1時(shí)，h′（x）＜0，x=1時(shí)，h（x）取極小值1，也為最小值，故h（x）在[，e]上的最小值是1，最大值是e﹣1．∴m﹣e≤1且m+e≥e﹣1，∴﹣1≤m≤e+1．故答案為：﹣1≤m≤1+e【點(diǎn)評(píng)】：本題考查新定義及運(yùn)用，考查不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解，是一道中檔題．12.在極坐標(biāo)系中，曲線ρ=cosθ+1與ρcosθ=1的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為

．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；兩點(diǎn)間的距離公式．【分析】聯(lián)立ρ=cosθ+1與ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即為答案．【解答】解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，解得ρ=或ρ=（舍），所以曲線ρ=cosθ+1與ρcosθ=1的公共點(diǎn)到極點(diǎn)的距離為，故答案為：．13.已知滿足約束條件則的最小值是__________．參考答案：

試題分析：畫出可行域及直線，如圖所示.平移直線，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，其縱截距最大，所以最小，最小值為.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.14.對(duì)于函數(shù)，給出下列命題：①f(x)有最小值；②當(dāng)a=0時(shí)，f(x)的值域?yàn)镽；③當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在區(qū)間上有反函數(shù)；④若f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.上述命題中正確的是

。(填上所有正確命題序號(hào)).參考答案：②③15.設(shè)，且，若，，則的取值范圍為

.參考答案：16.定長(zhǎng)為4的線段MN的兩端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，則P到y(tǒng)軸距離的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先設(shè)出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線方程可求得其準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可表示出M到y(tǒng)軸距離，根據(jù)拋物線的定義結(jié)合兩邊之和大于第三邊且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)判斷出的最小值即可【解答】解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），拋物y2=x的線準(zhǔn)線x=﹣，P到y(tǒng)軸距離S=||=﹣=﹣，∴﹣≥﹣=2﹣=，當(dāng)且僅當(dāng)M，N過F點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故答案為：．17.已知雙曲線的離心率為，則實(shí)數(shù)m的值為

．參考答案：2【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】判斷雙曲線的m＞0，求出a，b，c，由離心率公式e=，建立方程，解方程可得m的值．【解答】解：雙曲線（m＞0），的a=，b=2，c==，由題意可得e===，解得m=2．故答案為：2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上無解.（其中）參考答案：見解析【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用【試題解析】解：（Ⅰ）因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，.令，得，所以隨的變化情況如下表：極大值極小值所以在處取得極大值，在處取得極小值.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，,的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）證明：不等式在區(qū)間上無解，等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，即函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于等于1.因?yàn)?，令，? 因?yàn)闀r(shí)，所以.當(dāng)時(shí)，對(duì)成立，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,所以不等式在區(qū)間上無解；當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：

↘極小值↗

所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為或.此時(shí),，所以.

綜上，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式在區(qū)間上無解.19.如圖，在四棱錐中，平面，，，.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（含端點(diǎn)），設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍.參考答案：(1)過點(diǎn)作,由平面平面可知,即點(diǎn)到面的距離,在正中,,即點(diǎn)到平面的距離為.(2)∵,所以點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離,而,所以.20.(本小題滿分12分） 已知拋物線y2=2px(p>0)上點(diǎn)T(3，t)到焦點(diǎn)F的距離為4． (1)求t，p的值；(2)設(shè)A、B是拋物線上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．(ⅰ)求證：直線AB必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)P的坐標(biāo)；(ⅱ)過點(diǎn)P作AB的垂線與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值．參考答案：（1）p=2（2）

96【知識(shí)點(diǎn)】拋物線及其幾何性質(zhì)H7（1）由已知得，所以拋物線方程為y2=4x，代入可解得.（2）(ⅰ)設(shè)直線AB的方程為，、， 聯(lián)立得，則，. 由得：或（舍去）， 即，所以直線AB過定點(diǎn)； (ⅱ)由(ⅰ)得， 同理得， 則四邊形ACBD面積 令，則是關(guān)于的增函數(shù)， 故.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值96.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)拋物線性質(zhì)求出方程，直線和拋物線聯(lián)立求出最小值。21.已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，滿足，又?jǐn)?shù)列，在等比數(shù)列（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ