初等模型與數(shù)據(jù)處理-數(shù)據(jù)處理（數(shù)學(xué)建模課件）

插值初等模型與數(shù)據(jù)處理在實(shí)際問題觀測(cè)中，如野外地質(zhì)勘探、地下水水位監(jiān)測(cè)、地形地貌測(cè)繪、醫(yī)學(xué)斷層圖像掃描等，迫于成本過高或觀測(cè)手段限制，僅能得到部分離散、不規(guī)則、稀疏的觀測(cè)點(diǎn)位的觀測(cè)值科學(xué)研究與工程實(shí)踐中常遇到的問題：如何填補(bǔ)缺失點(diǎn)的數(shù)據(jù)或者估算某些非觀測(cè)點(diǎn)位的函數(shù)值，或者用有限個(gè)點(diǎn)位的觀測(cè)值描繪一個(gè)光滑的曲線（曲面）基本特點(diǎn)：實(shí)際問題是一個(gè)光滑的曲線（曲面），但函數(shù)關(guān)系表達(dá)式未知，僅根據(jù)部分觀測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，而希望給出某種方法估算出整個(gè)觀測(cè)區(qū)域內(nèi)任意非觀測(cè)點(diǎn)的函數(shù)值解決方法：尋求一個(gè)便于計(jì)算的函數(shù)表達(dá)式來近似逼近實(shí)際問題數(shù)學(xué)上解決此類問題的常用方法：插值與擬合知識(shí)點(diǎn)插值問題引入插值方法一、問題引例

二、插值方法

求任一插值點(diǎn)處的插值

二、插值方法

一維插值問題二、插值方法

解決此問題的拉格朗日插值多項(xiàng)式公式如下1.拉格朗日插值二、插值方法

稱為拉格朗日插值基函數(shù).

二、插值方法兩點(diǎn)一次(線性)插值多項(xiàng)式:三點(diǎn)二次(拋物)插值多項(xiàng)式:二、插值方法2.分段線性插值xjxj-1xj+1x0xnxoy分段線性插值函數(shù)二、插值方法計(jì)算量與n無關(guān);n越大，誤差越小.二、插值方法例1用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差.(1)在[-6,6]中平均選取5個(gè)點(diǎn)作插值(4)在[-6,6]中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值(2)在[-6,6]中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值(3)在[-6,6]中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值二、插值方法例1用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差.(1)在[-6,6]中平均選取5個(gè)點(diǎn)作插值(4)在[-6,6]中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值(2)在[-6,6]中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值(3)在[-6,6]中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值二、插值方法例1用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差.(1)在[-6,6]中平均選取5個(gè)點(diǎn)作插值(4)在[-6,6]中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值(2)在[-6,6]中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值(3)在[-6,6]中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值二、插值方法例1用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差.(1)在[-6,6]中平均選取5個(gè)點(diǎn)作插值(4)在[-6,6]中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值(2)在[-6,6]中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值(3)在[-6,6]中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值二、插值方法分段線性插值精度與分點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān)二、插值方法3.三次樣條插值在工程技術(shù)實(shí)踐中，很多問題對(duì)插值函數(shù)的光滑性有較高要求.如飛機(jī)的機(jī)翼外形，內(nèi)燃機(jī)的進(jìn)、排氣門的凸輪曲線等，都要求曲線（曲面）具有較高的光滑程度.樣條插值要解決的問題：要求曲線（曲面）連續(xù)與連續(xù)的曲率樣條原本是工程設(shè)計(jì)中使用的一種繪圖工具，它是富有彈性的細(xì)木條或細(xì)金屬條.繪圖員利用它把一些已知點(diǎn)連接成一條光滑曲線，并使連接點(diǎn)處有連續(xù)的曲率.二、插值方法

折線是一次樣條曲線

二、插值方法xyxi-1xiab

二、插值方法三次樣條插值比分段線性插值更光滑xyxi-1xiab二、插值方法

由條件（2）式二、插值方法容易看出，共4n-2個(gè)方程.由條件（3）式

3n-3個(gè)方程n+1個(gè)方程三、樣條插值

小結(jié)介紹了插值問題引入1介紹了插值方法：拉格朗日插值、分段線性插值、三次樣條插值2用matlab求解插值初等模型與數(shù)據(jù)處理知識(shí)點(diǎn)插值方法的命令插值例題講解vq=interp1(x0,y0,xq,method,extrapolation)x0為已知的插值節(jié)點(diǎn)，y0是對(duì)應(yīng)于x0的函數(shù)值.xq是所求函數(shù)值的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，返回值vq是求得的節(jié)點(diǎn)xq處的函數(shù)值.method指定插值的方法，默認(rèn)為線性插值，常用的取值有：

'nearest'最近鄰插值； 'linear'線性插值； 'spline'三次樣條插值，函數(shù)是二次光滑的； 'cubic'立方插值，函數(shù)是一次光滑的.extrapolation是外插策略（可省略）一、插值算法命令1.interp1函數(shù)三次樣條插值還可以函數(shù)csape，csape的返回值是pp形式.其調(diào)用格式如下：pp=csape(x0,y0)使用默認(rèn)的邊界條件，即Lagrange邊界條件.pp=csape(x0,y0,conds,valconds)中的conds指定插值的邊界條件，其值可為 'complete'邊界為一階導(dǎo)數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)的值在valconds參數(shù)中給出 'not-a-knot'非扭結(jié)條件 'periodic'周期條件'second'邊界為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的值在valconds參數(shù)中給出，

若忽略valconds參數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的缺省值為[0,0]一、插值算法命令2.三次樣條插值csapeconds(i)=j的含義是給定端點(diǎn)i的j

階導(dǎo)數(shù)，即conds的第一個(gè)元素表示左邊界的條件，第二個(gè)元素表示右邊界的條件conds=[2,1]表示左邊界是二階導(dǎo)數(shù)，右邊界是一階導(dǎo)數(shù),對(duì)應(yīng)的值由valconds給出利用pp結(jié)構(gòu)的返回值，要求插值點(diǎn)的函數(shù)值，需要調(diào)用函數(shù)fnvalpp結(jié)構(gòu)還可以計(jì)算返回值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分，命令分別為fnder，fnint一、插值算法命令調(diào)用格式函數(shù)功能pp1=csape(x0,y0)計(jì)算插值函數(shù)pp2=fnder(pp1)計(jì)算pp1對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，返回值pp2也是pp結(jié)構(gòu)pp3=fnint(pp1)計(jì)算pp1對(duì)應(yīng)函數(shù)的積分，返回值pp3也是pp結(jié)構(gòu)y=fnval(pp1,x)計(jì)算pp1對(duì)應(yīng)的函數(shù)在x點(diǎn)的取值二、典型例題講解

例1在1-12的11小時(shí)內(nèi)，每隔1小時(shí)測(cè)量一次溫度，測(cè)得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24.試估計(jì)每隔1/10小時(shí)的溫度值.hours=1:12;temps=[589152529313022252724];h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');%(直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:')%作圖二、典型例題講解xy機(jī)翼下輪廓線例2

已知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改變0.1時(shí)的y值。二、典型例題講解x0=[035791112131415];y0=[01.21.72.02.12.01.81.21.01.6];x=0:0.1:15;y1=interp1(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x,'nearest');y3=interp1(x0,y0,x,'spline')subplot(3,1,1)plot(x0,y0,'k+',x,y1,'r')gridsubplot(3,1,2)plot(x0,y0,'k+',x,y2,'r')gridsubplot(3,1,3)plot(x0,y0,'k+',x,y3,'r')二、典型例題講解

二、典型例題講解

小結(jié)介紹了插值方法的matlab的命令1介紹了插值方法的例題2用matlab求解數(shù)據(jù)擬合初等模型與數(shù)據(jù)處理知識(shí)點(diǎn)線性擬合matlab命令非線性擬合matlab命令一、線性擬合命令

a=polyfit(x,y,m)多項(xiàng)式在x處的值y可用以下命令計(jì)算：

y=polyval（a，x）輸出擬合多項(xiàng)式系數(shù)a=[a1,…am,

am+1]

(數(shù)組）輸入同長度的數(shù)組x，y擬合多項(xiàng)式次數(shù)例1

對(duì)下面一組數(shù)據(jù)作二次多項(xiàng)式擬合分析：要求出二次多項(xiàng)式

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2一、線性擬合命令1）輸入以下命令：

x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.66

9.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%作出數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合曲線的圖形2）計(jì)算結(jié)果：Ａ=－9.810820.1293-0.0317解:多項(xiàng)式擬合的命令為一、線性擬合命令

引題1已知熱敏電阻數(shù)據(jù)：求60

0C時(shí)的電阻R．

設(shè)

R=at+ba,b為待定系數(shù)一、線性擬合命令解：1）程序t=[20.532.7517395.7];R=[7658268739421032];a=polyfit(t,R,1)y=polyval(a,t)plot(t,R,'r+',t,y)xlabel('溫度')%為X軸注釋，注釋寫成字符串ylabel('電阻')%為Y軸注釋，注釋寫成字符串title('電阻與溫度的關(guān)系')

一、線性擬合命令二、非線性擬合命令MATLAB非線性擬合的主要命令有fit（要用fittype定義函數(shù)類），lsqcurvefit，nlinfit等命令.fit函數(shù)使用很方便，但只能擬合一元和二元函數(shù)．lsqcurvefit

可以擬合任意多個(gè)自變量的函數(shù)，并且可以約束未知參數(shù)的下界和上界．nlinfit函數(shù)無法約束參數(shù)的界限.二、非線性擬合命令已知數(shù)據(jù)點(diǎn)：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），

ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）

二、非線性擬合命令輸入格式為:theta=lsqcurvefit(fun,theta0,xdata,ydata,lb,ub,options)

二、非線性擬合命令該問題即解最優(yōu)化問題：例2

用下面一組數(shù)據(jù)擬合

二、非線性擬合命令１）程序：xdata=100:100:1000;ydata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];c0=rand(1,3);ｆ=@(c,x)c(1)+c(2).*exp(-0.02*c(3)*x)%a=c(1),b=c(2),k=c(3),c=lsqcurvefit(ｆ,c0,xdata,ydata,[],[])y=f(c,xdata)plot(xdata,ydata,'r+',xdata,y)

二、非線性擬合命令2）運(yùn)算結(jié)果為：f=0.00450.00490.00530.00550.0058

0.00590.00610.00620.00630.0064c=0.0069-0.00280.09363）結(jié)論：a=

0.0069b=－0.0028k=0.0936（1）程序中定義匿名函數(shù)時(shí)，必須使用“.*”，否則會(huì)出錯(cuò)．（2）對(duì)于一些非線性擬合，有時(shí)感覺像在湊數(shù)，MATLAB每次運(yùn)行

的答案是不一樣的．二、非線性擬合命令

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01引例2

已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律c(t).二、非線性擬合命令t=[0.250.511.523468];c=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)c0=exp(a(2))

１）程序：二、非線性擬合命令

二、非線性擬合命令兩種方法對(duì)比

非線性擬合轉(zhuǎn)化成線性擬合是一個(gè)非常重要的方法.小結(jié)介紹了線性擬合matlab的命令1介紹了非線性擬合matlab的命令2舉例鞏固擬合matlab命令的應(yīng)用3最小二乘擬合初等模型與數(shù)據(jù)處理知識(shí)點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合引入最小二乘擬合插值與擬合的區(qū)別一、數(shù)據(jù)擬合引入

引題1已知熱敏電阻數(shù)據(jù)：求60

0C時(shí)的電阻R.

設(shè)

R=at+ba,b為待定系數(shù)一、數(shù)據(jù)擬合引入

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01引例2

已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律c(t).二、最小二乘擬合在科學(xué)計(jì)算中常要建立實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型.給定的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，需要用比較簡(jiǎn)單與合適的函數(shù)逼近（擬合）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).這種逼近特點(diǎn)：適度的精確度與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有小的誤差對(duì)于某些問題，可能有些特殊的信息能用來作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型二、最小二乘擬合

+++++++++xy

(xi,yi)i二、最小二乘擬合

二、最小二乘擬合1.線性最小二乘法

二、最小二乘擬合

化簡(jiǎn)得記二、最小二乘擬合超定方程組：方程個(gè)數(shù)大于未知量個(gè)數(shù)的方程組即Ra=y其中

如果有向量a使得