第五章方程組的迭代法課件

第五章解線性方程組的迭代法第五章1實際問題經(jīng)過簡單的分析可以直接歸結(jié)為線性方程組，或者微分方程，后者可以轉(zhuǎn)換為線性方程組。兩種方法：直接法：中小型稠密矩陣迭代法：大型稀疏矩陣實際問題經(jīng)過簡單的分析可以直接歸結(jié)為線性方程組，或者25.1Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法設(shè)線性方程組簡記AX=b5.1Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法設(shè)3其中其中4將方程組AX=b，改寫成便于迭代的形式建立迭代格式向量X(0)事先給定，稱為初始解向量，用公式逐步迭代求解的方法叫做迭代法.如果由產(chǎn)生的序列收斂，則稱迭代法是收斂的，否則稱為迭代法發(fā)散.將方程組AX=b，改寫成便于迭代的形式5若將方程組改寫為若61．Jacobi迭代法建立迭代格式其中1．Jacobi迭代法7Jacobi迭代法的矩陣表示將方程組AX=b的系數(shù)A分解成A=L+D+U其中D=diag(a11,a22,,ann)，L和U分別是A的對角線下方元素和上方元素組成的嚴(yán)格下三角陣與嚴(yán)格上三角陣.即Jacobi迭代法的矩陣表示將方程組AX=b的系數(shù)A分解成8第五章方程組的迭代法課件9迭代格式為：迭代格式為：10對應(yīng)的分量表示形式為：另外一種矩陣形式是：對應(yīng)的分量表示形式為：另外一種矩陣形式是：11的Jacobi迭代格式（三種）寫出方程組寫出方程組12第五章方程組的迭代法課件13Matlab計算過程如下：Matlab計算過程如下：14>>A=[1-22;-130;207]A=1-22-130207>>U=triu(A,1)U=0-22000000>>L=tril(A,-1)L=000-100200>>D=diag(diag(A))D=100030007>>A=[1-22;-130;207]>>U15>>-inv(D)*(L+U)ans=02.000000000000000-2.0000000000000000.33333333333333300-0.28571428571428600>>b=[5;-1;2];inv(D)*bans=5.000000000000000-0.3333333333333330.285714285714286>>-inv(D)*(L+U)>>b=[5;-1;2];16>>I=eye(3)I=100010001>>I-inv(D)*Aans=02.000000000000000-2.0000000000000000.33333333333333300-0.28571428571428600>>I=eye(3)17分量形式為:分量形式為:18Gauss-Seidel迭代法方程組改寫為：即得迭代格式：Gauss-Seidel迭代法方程組改寫為：即得迭代格式：19Gauss-Seidel迭代法迭代格式的分量形式：其中

Gauss-Seidel迭代法迭代格式的分量形式：20的Gauss-Seidel迭代格式（兩種）寫出方程組寫出方程組21例

分別用Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法求解方程組精確到小數(shù)點(diǎn)后四位，并要求分別寫出其迭代法的分量形式和矩陣形式.例分別用Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代22解（1）用Jacobi迭代法，其迭代法的分量形式為解（1）用Jacobi迭代法，其迭代法的分量形式為23迭代法的矩陣形式為其中迭代法的矩陣形式為24

25取初值X(0)=(0,0,0)′，迭代可得取初值X(0)=(0,0,0)′，迭代可得26迭代7次，得近似值.（2）用Gauss-Seidel迭代法，其迭代法的分量形式為迭代7次，得近似值.27其迭代法的矩陣形式為其中其迭代法的矩陣形式為28

29

30即取初值X(0)=(0,0,0)′，迭代可得即31迭代5次，得近似值第五章方程組的迭代法課件32Question:如何判斷迭代出來的值和真實根很接近？Question:33向量和矩陣的模（范數(shù)）

為了研究線性方程組近似解的誤差估計和迭代法的收斂性，我們需要對Rn(n維向量空間)中的向量或Rnxn中矩陣的“大小”引入一種度量，——向量和矩陣的范數(shù)。向量和矩陣的模（范數(shù)） 為了研究線性方程組近似解的誤差估計34向量和矩陣的范數(shù)

在一維數(shù)軸上，實軸上任意一點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離用|x|表示。而任意兩點(diǎn)x1，x2之間距離用|x1-x2|表示。向量和矩陣的范數(shù) 在一維數(shù)軸上，實軸上任意一點(diǎn)x到原點(diǎn)的距離35向量和矩陣的范數(shù)

而在二維平面上，平面上任意一點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離用表示。而平面上任意兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距離用表示。推廣到n維空間，則稱為向量范數(shù)。向量和矩陣的范數(shù) 而在二維平面上，平面上任意一點(diǎn)P(x,y)36向量范數(shù)

向量范數(shù) 37常見的向量范數(shù)

常見的向量范數(shù) 38Question:如何判斷迭代出的向量是真實解的精度較高的近似值？Question:39第五章方程組的迭代法課件40向量范數(shù)性質(zhì)向量范數(shù)性質(zhì)41第五章方程組的迭代法課件42例已知例已知43矩陣范數(shù)矩陣范數(shù)44相容范數(shù)相容范數(shù)45算子范數(shù)（了解）算子范數(shù)（了解）46算子范數(shù)（了解）算子范數(shù)（了解）47算子范數(shù)（了解）算子范數(shù)（了解）48算子范數(shù)（了解）算子范數(shù)（了解）49常見的矩陣范數(shù)列范數(shù)行范數(shù)譜范數(shù)常見的矩陣范數(shù)列范數(shù)行范數(shù)譜范數(shù)50例題例題51Matlab計算過程如下：2范數(shù)：>>norm(A)1范數(shù)：>>norm(A,1)無窮范數(shù)：>>norm(A,inf)Matlab計算過程如下：52矩陣的譜半徑矩陣的譜半徑53例題求特征值命令eig(A)例題求特征值命令54第五章方程組的迭代法課件55第五章方程組的迭代法課件56例解：A的特征值為：》lm=eig(A)lm=1.500000000000000+1.658312395177701i1.500000000000000-1.658312395177701i1.000000000000000例解：A的特征值為：57》norm(lm,inf)ans=2.236067977499790》norm(lm,inf)ans=58》lm1=eig(A*A')lm1=0.9360750171710592.9211249380724389.142800044756498》sqrt(9.142800044756498)ans=3.023706342348162》lm1=eig(A*A')lm1=》sqrt(9.159迭代法的收斂性定理（迭代法的基本收斂定理）迭代過程

X(k+1)

=BX(k)

+g對于任意初始向量X(0)及右端向量g均收斂的充要條件是迭代矩陣B的譜半徑(B)<1,并且(B)愈小，收斂速度愈快.

迭代法的收斂性定理（迭代法的基本收斂定理）60第五章方程組的迭代法課件61B表示B的任意一種范數(shù)定理（迭代法收斂的充分條件）若迭代法

X(k+1)

=BX(k)

+g的迭代矩陣B滿足，B=q<1,則對于任意的初始向量X(0)與右端向量g迭代法收斂.B表示B的任意一種范數(shù)定理（迭代法收斂的充分條件）62第五章方程組的迭代法課件63Question:Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法如何判斷收斂性？Question:64第五章方程組的迭代法課件65收斂的判別條件收斂的判別條件66要清楚掌握如下概念：對角占優(yōu)矩陣，強(qiáng)對角占優(yōu)矩陣可約矩陣，不可約矩陣正定矩陣要清楚掌握如下概念：67第五章方程組的迭代法課件68第五章方程組的迭代法課件69定理

若線性代數(shù)方程組AX=b的系數(shù)方陣A=(aij)nn是按行(或按列)嚴(yán)格對角占優(yōu)的，則Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都是收斂的.定理70

對方程組通過調(diào)整方程的次序，建立收斂的Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式.解

將第二個方程調(diào)到第一行、第三個方程調(diào)到第二行、第一個方程調(diào)到第三行后有同解方程組對方程組71這是按行嚴(yán)格對角占優(yōu)方程組，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法都一定收斂.Jacobi迭代格式為

第五章方程組的迭代法課件72Gauss-Seidel迭代格式為

第五章方程組的迭代法課件73第五章方程組的迭代法課件74定理系數(shù)矩陣是不可約矩陣且是對角占優(yōu)矩陣，Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代都收斂。第五章方程組的迭代法課件75第五章方程組的迭代法課件76定理若線性方程組的系數(shù)矩陣是對稱正定矩陣，則用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法都是收斂的。怎么判斷矩陣是對稱正定矩陣，直接從定義判斷不方便，我們有如下幾個結(jié)論：定理77對稱性很容易判定。下面是如何判斷正定性。矩陣的任意特征值都大于零，則是正定矩陣；矩陣的所有順序主子式都大于零，則是正定矩陣；對角元素為正實數(shù)and（強(qiáng)對角占優(yōu)矩陣or不可約對角占優(yōu)矩陣），是正定矩陣。對稱性