第2章-解析式與不等式課件

第一章解析式與不等式第一章解析式與不等式這章的內(nèi)容主要包括數(shù)與式、不等式與方程、函數(shù)等,它們都是研究數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型,可以幫助人們從數(shù)量關(guān)系的角度更準(zhǔn)確、清晰地認(rèn)識、了解、描述和把握現(xiàn)實世界．要求讀者能對具體情境或符號演算過程中的數(shù)字與符號信息作出合理的解釋和推斷,能用代數(shù)式、解析式、方程和不等式、符號語言模式等刻畫和抽象概括事物間的相互聯(lián)系,以便能發(fā)展合情推理和演繹推理能力.這章的內(nèi)容主要包括數(shù)與式、不等式與方程、函數(shù)等,它們都是研對于7—9年級的學(xué)生來說,代數(shù)對于解析式的研究,是由淺入深、逐步展開的.它的教學(xué)內(nèi)容主要是:整式的加減、整式的乘除、因式分解、分式和二次根式(包括指數(shù)概念).進(jìn)一步運用習(xí)得的運算求解能力、抽象概括、數(shù)據(jù)處理能力、初步的邏輯思維能力來學(xué)習(xí)各種方程(組)理論和方程(組)的各種解法.對于7—9年級的學(xué)生來說,代數(shù)對于解析式的研究,是由淺入對于10—12年級的學(xué)生來說,解條件不等式和證明絕對不等式成為培養(yǎng)學(xué)生運算求解能力、推理論證能力、以及抽象概括能力發(fā)展和形成的主要途徑和重要知識點.在這個環(huán)節(jié)中,不等式、方程和函數(shù)、解析幾何等內(nèi)容往往是交融在一起,以便培養(yǎng)和形成10—12年級學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).對于10—12年級的學(xué)生來說,解條件不等式和證明絕對不等式鑒于此,又考慮到師范生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)和能力狀況和結(jié)合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念和特征,我們將重要內(nèi)容放在解析式的發(fā)展過程和特點,而對于各種解析式的變形、轉(zhuǎn)換和化簡等做淡化處理.重點內(nèi)容放在方程的同解理論、不等式的求解和證明、不等式與方程的聯(lián)系.鑒于此,又考慮到師范生的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)和能力狀況和結(jié)合數(shù)學(xué)課第一節(jié)解析式第一節(jié)解析式一、數(shù)學(xué)符號發(fā)展簡史人類是怎樣一步一步學(xué)會計數(shù)的?這是一個漫長的漸進(jìn)的過程,大約可分為四個階段:對應(yīng)階段;基數(shù)與序數(shù)階段;語言階段;文字記號階段.在此基礎(chǔ)上逐漸形成簡單的數(shù)學(xué)語言乃至于用某種方法記錄數(shù)值的記號—數(shù)字.數(shù)字系統(tǒng)的產(chǎn)生標(biāo)志人類抽象的數(shù)學(xué)思想又提高到一個新的層次,人們已經(jīng)擺脫了與之對應(yīng)的實物而賦予數(shù)字一種形式上的意義,這是符號思想的萌芽.因此,數(shù)字系統(tǒng)為數(shù)與數(shù)之間的運算提供了條件,數(shù)和數(shù)字系統(tǒng)形成以后,圍繞它們而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想集中在數(shù)的運算和數(shù)的性質(zhì)的研究上,因而產(chǎn)生了初等代數(shù)學(xué).一、數(shù)學(xué)符號發(fā)展簡史人類是怎樣一步一步學(xué)會計數(shù)的?這是一個漫初等代數(shù)的特征之一是符號的引入及由此形成的符號代數(shù).符號的引入大致經(jīng)歷三個階段:第一階段是文詞代數(shù),即采用普通的文句來敘述數(shù)學(xué)問題和解答.15世紀(jì)之前大多數(shù)著作都屬于文詞代數(shù).第二階段是簡詞代數(shù)或半符號代數(shù),其特點是在代數(shù)中把某些量采用減縮的字母或記號.丟番圖及中世紀(jì)的印度人都曾部分地采用簡字代數(shù).中國《九章算術(shù)》通過適當(dāng)?shù)嘏帕兴慊I來表示方程(相當(dāng)于矩陣表示法),宋朝的天元術(shù)和四元數(shù)則是一種相當(dāng)成熟的半符號代數(shù).第三階段是符號代數(shù),其特點是系統(tǒng)地引入字母和符號來表示數(shù)、式子、基本概念、運算以及關(guān)系.這項工作從15世紀(jì)開始,到16世紀(jì)中葉才基本形成現(xiàn)在的通用記號.初等代數(shù)的特征之一是符號的引入及由此形成的符號代數(shù).符號的引法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)一生最大的貢獻(xiàn)在于推進(jìn)代數(shù)的進(jìn)展,他是第一個有意識而系統(tǒng)地引入符號的數(shù)學(xué)家,他寫的《分析術(shù)引論》是數(shù)學(xué)史上第一部符號代數(shù)著作。因此,他被稱為代數(shù)學(xué)之父.在他的工作基礎(chǔ)上,笛卡爾、萊布尼茲、歐拉等人對符號的改進(jìn)和完善及發(fā)展也作出了重要的貢獻(xiàn).法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)一生最大的貢獻(xiàn)在于推進(jìn)代數(shù)的進(jìn)展,他是第一個相對于數(shù)值運算,符號運算是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個飛躍.實際上,代數(shù)運算施行于事物的類或形式,而算術(shù)運算施行于具體的數(shù),即符號是對數(shù)的抽象和概括.符號代數(shù)的引入使代數(shù)學(xué)成為研究一般類型的形式和方程(模式)的學(xué)問,因而廣泛應(yīng)用.同時有效的符號系統(tǒng),可以使數(shù)學(xué)書寫更加方便,運算過程更加清晰,推演思路更加精煉.鑒于符號的引入對代數(shù)的發(fā)展所起的重要作用,數(shù)學(xué)的其他分支也都相應(yīng)地采用.當(dāng)今數(shù)學(xué)中,符號思想已經(jīng)成為數(shù)學(xué)的一般思想方法.相對于數(shù)值運算,符號運算是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個飛躍.實際上,二、解析式1.解析式的含義解析式是數(shù)的概念的發(fā)展，也是研究函數(shù)、方程和不等式的基礎(chǔ)。正確地理解解析式的概念和性質(zhì)，熟練地掌握解析式的變形規(guī)律，對于提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的理論水平、運算能力和推理能力，都是必不可少的.二、解析式1.解析式的含義我們通常把依據(jù)數(shù)學(xué)概念、法則、原理、規(guī)律等而形成的形式符號的序列稱為數(shù)學(xué)式。是代數(shù)式，三個變換相乘等等，也可以看成是一種數(shù)學(xué)式.我們通常把依據(jù)數(shù)學(xué)概念、法則、原理、規(guī)律等而形成的形式符號的由于研究方程、函數(shù)等的需要,對于那些用運算符號、函數(shù)符號、括號,作用于數(shù)字和字母之上形成的數(shù)學(xué)式稱為解析式.例如，等等都是解析式.其中的是不定元,解析式可以看作是不定元通過運算符號連接起來的符號串.不定元的個數(shù),稱為解析式的“元”數(shù).前后用加減隔開的那一部分稱為解析式的“項”.由于研究方程、函數(shù)等的需要,對于那些用運算符號、函數(shù)符號、在初等數(shù)學(xué)里所說的運算是初等運算.初等運算可分為代數(shù)運算和初等超越運算。有限次的加、減、乘、除、正整數(shù)次乘方、開方(或有理數(shù)次乘方)運算稱為代數(shù)運算.其中加、減、乘、除運算稱為算術(shù)運算或四則運算.無理數(shù)次乘方運算、對數(shù)運算、三角運算和反三角運算通稱為初等超越運算.在初等數(shù)學(xué)里所說的運算是初等運算.初等運算可分為代數(shù)運算和2.解析式的分類只含有加、減、乘、除四則運算和有理數(shù)次的乘方開方運算的解析式叫代數(shù)式.代數(shù)式中不含開方運算稱為有理式,否則稱為無理式.有理式中又以分母上是否含有字母分為整式和分式.解析式中如果除了代數(shù)運算之外,還有超越運算,如(為無理數(shù))等等,我們稱之為超越式.綜上所述,我們可以做以下的分類2.解析式的分類第2章--解析式與不等式課件對于整式,我們可以談它的變元數(shù)和次數(shù).如果整式中有個不定元,各個不定元出現(xiàn)的次數(shù)中的最高次數(shù)為,我們稱之為元次的整式.例如,分別是一元次式,二元一次式,三元四次式.對于整式,我們可以談它的變元數(shù)和次數(shù).如果整式中有3.解析式的關(guān)系研究數(shù)學(xué)式本身不是最終目的.用數(shù)學(xué)式（主要是解析式）構(gòu)成的等式和不等式才是我們研究的主要對象.解析式中一般含有不定元,它可以取某些數(shù)值（中學(xué)里主要是在實數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行考察）.因此,解析式最終代表數(shù)值,因而具有大小和相等關(guān)系.3.解析式的關(guān)系（1）解析式的相等關(guān)系我們把兩個解析式用等號連接起來的式子稱為等式:.等式可以分為恒等式和條件等式.當(dāng)不定元取一切有意義的數(shù)值時,等號兩邊的解析式都取相同的值,我們稱之為恒等式,也稱為絕對等式.當(dāng)一個等式,只在不定元取某些特殊的數(shù)值時才成立,我們稱之為條件等式.（1）解析式的相等關(guān)系方程就是一種條件等式.習(xí)慣上把“含有未知數(shù)的等式叫做方程”,其實并不完全.我們習(xí)慣上不會把含有未知數(shù)的恒等式叫做方程.例如這樣的等式,都不屬于方程的研究范圍.不定元所取的滿足方程(條件等式)的特殊值,就是方程的根.根的數(shù)目可以有限,也可以無限.方程就是一種條件等式.習(xí)慣上把“含有未知數(shù)的等式叫做方程”不失一般性,方程可以寫成對于整式方程(為多項式時),我們將各個不定元出現(xiàn)的最高次數(shù),作為方程的次數(shù).我們熟知的一元次方程的一般表示式:代數(shù)基本定理告訴我們,一元次方程必有且只有個復(fù)根.方程的根的數(shù)目可以是無限的.例如的根集合對應(yīng)平面上點集合組成的一個圓.不失一般性,方程可以寫成對于（2）解析式的不等關(guān)系類似地,兩個解析式用不等號連接起來稱為不等式:.和等式情形一樣,不等式也有絕對不等式和條件不等式之分.當(dāng)不定元取一切有意義的數(shù)值時,不等式恒成立,我們稱之為恒不等式,也稱為絕對不等式.絕對不等式需要證明.當(dāng)一個不等式,只當(dāng)不定元取某些特殊的數(shù)值時才成立,我們稱之為條件不等式.求出使不等式成立的那些特殊值,稱為解不等式.（2）解析式的不等關(guān)系在現(xiàn)實生活中,兩個量一般情形下可能相等,也可能不相等,而相等只是一種特殊情形.數(shù)學(xué)的任務(wù)是找出那些相等的數(shù)量關(guān)系,例如,列出的各種方程,比例關(guān)系,函數(shù)的表示,以及幾何中勾股定理等等都是等式.等式的變換是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本技能.從合并同類項、配方、因式分解,到方程的同解變形,函數(shù)的運算變換,三角函數(shù)的恒等變換等,貫穿整個中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.在現(xiàn)實生活中,兩個量一般情形下可能相等,也可能不相等,中學(xué)里學(xué)習(xí)不等式具有特別重要的意義.首先,不等式可以表示一種界限和范圍,本身就是一種刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量和空間形式的規(guī)律.例如,三角形兩邊之和大于第三邊,等等.其次,研究不等式可以導(dǎo)致等式.例如,幾何平均值小于等于算術(shù)平均值,等是依靠不等式.最后,不等式在幾何上可以表示一個區(qū)域,例如用方程表示圓的內(nèi)部和外部.線性規(guī)劃是研究怎樣在一個由線性不等式圍成的凸域中取得目標(biāo)函數(shù)的最大值.中學(xué)里學(xué)習(xí)不等式具有特別重要的意義.首先,不等式可以表示近來,不等式的應(yīng)用范圍在擴(kuò)大,但運作時需要較多的數(shù)學(xué)知識和技巧,學(xué)習(xí)起來不太容易.所以,不等式的內(nèi)容主要列入高中(10-12年級)的數(shù)學(xué)課程.高中階段接觸的基本不等式,主要有:平均值不等式其他幾類重要不等式(比如伯努利不等式和柯西不等式等)也列入了高中數(shù)學(xué)教學(xué)要求(見選修系列4)；絕對值不等式另外解絕對值不等式內(nèi)容也列入高中數(shù)學(xué)內(nèi)容（見選修系列4）.近來,不等式的應(yīng)用范圍在擴(kuò)大,但運作時需要較多的數(shù)學(xué)知識第二節(jié)絕對值不等式的證明證明絕對不等式,就是根據(jù)不等式的性質(zhì),證明對于字母中所允許取的數(shù)值,這個不等式恒成立.第二節(jié)絕對值不等式的證明證明絕對不等式,就是根據(jù)不等式絕對不等式的證明與恒等式相仿,證明方法靈活多變,富有極強的技巧性,通常沒有固定的程序可循,要提高證明絕對不等式的能力,必須熟練掌握不等式的基本性質(zhì)和基本不等式,并能靈活運用不等式證明的各種常用方法.證明不等式的方法很多,常用的有分析法、綜合法、比較法、配方法、判別法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、利用已知不等式法、利用已知函數(shù)的增減性、換元法、放縮法、調(diào)整法、構(gòu)造法、積分法等.前面的一些方法,在中學(xué)數(shù)學(xué)教材里多有介紹,這里先考慮絕對不等式證明，再重點考察后面幾種方法.利用已知不等式的問題,我們在下節(jié)還要作進(jìn)一步的研究.絕對不等式的證明與恒等式相仿,證明方法靈活多變,富有極強一、分析法與綜合法分析法是證明不等式的一種重要的方法,用分析法論證,“若則”這個命題的格式是:欲證的真,只需證的真,從而又……,只需證命題為真.現(xiàn)在已知真,故真.可見分析法是執(zhí)果索因,步步尋求上一步成立的充分條件,寫出簡要的形式為:一、分析法與綜合法分析法是證明不等式的一種重要的方法,用分證明絕對不等式的綜合法,是從題目的條件或已知成立的不等式出發(fā),利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)變形,進(jìn)而得出所要求證的不等式,利用綜合法的關(guān)鍵是一些常用的不等式,通過變形,將未知的不等式歸結(jié)為常用不等式.在實際的問題解決過程中,綜合法和分析法往往是交織使用的,利用分析法試誤證明思路和方法,用綜合法整理或形成證明過程.有些時候,采用“兩邊湊”的辦法解決絕對不等式的證明問題.這樣的話,分析法和綜合法也就可包括換元法、放縮法、構(gòu)造法等構(gòu)建證明過程的特殊技巧和策略.證明絕對不等式的綜合法,是從題目的條件或已知成立的不等式出第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件二、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種用于判斷一個命題是否對所有自然數(shù)成立的演繹推理方法,它常用如下形式表述:二、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種用于判斷一個命題是否對所有自然條件1：成立,即當(dāng)時成立.條件2：對任意自然數(shù),若成立(即當(dāng)時,成立)則(即當(dāng)時成立).也可將條件2換成它的等價命題,即下面條件:條件:對任意自然數(shù),若對所有成立,則成立(即若對小于的每個自然數(shù)都成立,則對于成立).數(shù)學(xué)歸納法是由皮亞諾公理的第五公理(設(shè)是的子集,若(1)且對任何蘊含則即就是本身)推導(dǎo)出來的.一般來說,與正整數(shù)有關(guān)的不等式問題可采用數(shù)學(xué)歸納法.條件1：成立,即當(dāng)時成立.第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件三、微積分法微積分的知識和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問題上,能起到以簡馭繁的作用,尤其是在證明不等式、恒等式及恒等變形;求極值;研究函數(shù)的變化形態(tài)及作圖;求弧長、面積、體積等方面,不僅可使解法簡化,并能使問題的研究更為深入、全面.利用微積分的知識和方法,例如微分中值定理、函數(shù)的增減性、極值判別法、定積分的性質(zhì)等,可簡化不等式的證明過程,降低技巧性.三、微積分法微積分的知識和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問題上,能起第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件四、其它方法（一）反證法

當(dāng)證明論題時,不去直接證明它,而是把作為前提,加進(jìn)原論題的前提,并根據(jù)已知真命題和推理規(guī)則推出與另一已知真命題或原論題的前提相矛盾的結(jié)論,或者導(dǎo)出自相矛盾的結(jié)論,從而確立命題的正確性,這種證明命題的方法叫反證法.它包括了分析法綜合法和其他證明思路和策略.四、其它方法（一）反證法第2章--解析式與不等式課件此式與(2)式相矛盾,這說明假設(shè)不成立,故原命題成立.反證法在解決數(shù)學(xué)問題有著廣泛的應(yīng)用,尤其在處理存在性問題、否定性命題、唯一性命題時，反證法更有特殊的優(yōu)越性.此式與(2)式相矛盾,這說明假設(shè)不成立,故原命題成立.（二）放縮法根據(jù)不等式的傳遞性,把原不等式中的和式（或積式）的某些項(或某些因式),換以較大或較小的數(shù),從而證明不等式成立.這種證明方法,通常稱為放縮法,又稱傳遞法或不等量代換.其他證明過程和策略也包括分析綜合法或數(shù)學(xué)歸納法等方法.（二）放縮法第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件（三）調(diào)整法調(diào)整法常用于處理有多個變量的不等式問題.它的具體做法是:先暫時固定某些變量,而考查個別變量的變化結(jié)果,然后再確定整個問題的結(jié)果.調(diào)整好不等式后,就可利用前面的方法求證.（三）調(diào)整法第2章--解析式與不等式課件第三節(jié)條件不等式的求解解條件不等式，就是在其允許值集中,求出適合這個不等式的未知元的一切值.這一切值構(gòu)成此不等式的解集.條件不等式的解集簡稱條件不等式的解.第三節(jié)條件不等式的求解解條件不等式，就是在其允許值集中,一、解條件不等式的相關(guān)定理解條件不等式,通常要進(jìn)行不等式的變形，但變形后的不等式必須與原不等式的解集相等,即變形前后的不等式同解.根據(jù)不等式的性質(zhì),可以證明一元條件不等式有如下的同解定理.一、解條件不等式的相關(guān)定理解條件不等式,通常要進(jìn)行不等式的第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件二、實系數(shù)的一元有理式(包括整式和分式)不等式二、實系數(shù)的一元有理式(包括整式和分式)不等式第2章--解析式與不等式課件但當(dāng)不等式的因式項過多時,這種方法就顯得比較繁瑣.所以我們來看另一種簡便辦法.但當(dāng)不等式的因式項過多時,這種方法就顯得比較繁瑣.所以我第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件三、一元無理不等式求解無理不等式時,關(guān)鍵在于根據(jù)不等式的同解定理6,將其轉(zhuǎn)化為有理不等式.在乘方無理不等式時,要仔細(xì)考慮原不等式的定義域,以及不等式兩邊的等號.三、一元無理不等式求解無理不等式時,關(guān)鍵在于根據(jù)不等式的同第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件第2章--解析式與不等式課件四、絕對值不等式求解絕對值不等式,關(guān)鍵在于去掉絕對值符號,將其轉(zhuǎn)化為普通不等式,常用的方法有三種:(1)根據(jù)絕對值的定義及有關(guān)的同解定理;(2)兩邊平方;(3)零點區(qū)分法.四、絕對值不等式求解絕對值不等式