平面向量的數(shù)量積及運算律

平面向量的數(shù)量積及運算律平面向量的數(shù)量積及運算律篇1

（第一課時）

一、教學目標

1.正確理解平面向量的數(shù)量積的概念，能夠運用這一概念求兩個向量的數(shù)量積，并能根據(jù)條件逆用等式求向量的夾角；

2.掌握平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題；

3.通過平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)猜想與證明，培養(yǎng)學生的探索精神和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度以及實際動手能力；

4.通過平面向量的數(shù)量積的概念，幾何意義，性質(zhì)的應用，培養(yǎng)學生的應用意識。

二、教學重點平面向量的數(shù)量積概念、性質(zhì)及其應用

教學難點平面向量的數(shù)量積的概念，平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)的理解。

三、教學具準備

直尺，投影儀

四、教學過程

1.設(shè)置情境

師：我們學過功的概念：即一個物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功：，其中表示一個什么角度？

表示力的方向與位移的方向的夾角。

我們對上述物理意義下的“功”概念進行抽象，就一般向量、，來規(guī)定的含義。

2.探索研究

（l）已知兩個非零向量和，在平面上任取一點，作，，則叫做向量與的夾角。你能指出下列圖中兩向量的夾角嗎？

①與的夾角為，②與的夾角為，③與的夾角是，④與的夾角是.

（2）下面給出數(shù)量積定義：

師：（板書）已知兩個非零向量和，它們的夾角為，我們把數(shù)量，叫做向量與的數(shù)量積或（內(nèi)積）記作即

并規(guī)定

師：在平面向量的數(shù)量積的定義中，它與兩個向量的加減法有什么本質(zhì)區(qū)別。

生：向量的數(shù)量積結(jié)果是一個數(shù)量，而向量的加法和減法的結(jié)果還是一個向量。

師：你能從圖中作出的幾何圖形嗎？表示的幾何意義是什么？

生：如圖，過的終點作的垂線段，垂足為，則由直角三角形的性質(zhì)得：

所以叫做向量在向量上的投影，叫做在上的投影。

師：因此我們得到的幾何意義：向量與的數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影的積。

注意：1°投影也是一個數(shù)量，不是向量。

2°當q為銳角時投影為正值；

當q為鈍角時投影為負值；

當q為直角時投影為0；

當q=0°時投影為|b|；

當q=180°時投影為-|b|。

向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。

（3）下面討論數(shù)量積的性質(zhì)：

（每寫一條讓學生動手證一條）設(shè)，都是非零向量，是與的方向相同的單位向量，是與的夾角，則

①

②

③當與同向時，，當與反向時，。

特別地

④

⑤

3.演練反饋（投影）

（通過練習熟練掌握性質(zhì)）

判斷下列各題是否正確

（1）若，則對任意向量，有（）

（2）若，則對任意非零量，有（）

（3）若，且，則（）

（4）若，則或（）

（5）對任意向量有（）

（6）若，且，則（）

參考答案：（l）√，（2）×，（3）×，（4）×，（5）√，（6）×.

4.總結(jié)提煉

（l）向量的數(shù)量的物理模型是力的做功。

（2）的結(jié)果是個實數(shù)（標量）

（3）利用，可以求兩向量夾角，尤其是判定垂直。

（4）二向量夾角范圍.

（5）五條屬性要掌握。

五、板書設(shè)計

課題

1.“功”的抽象

2.數(shù)量積的定義

3.（5）條性質(zhì)

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

4.演練反饋

5.總結(jié)提煉

平面向量的數(shù)量積及運算律篇2

教學目的：

1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；

2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；

3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；

4掌握向量垂直的條件

教學重點：平面向量的數(shù)量積定義

教學難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應用

授課類型：新授課

課時安排：1課時

教具：多媒體、實物投影儀

內(nèi)容分析：

本節(jié)學習的關(guān)鍵是啟發(fā)學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數(shù)量積的認識主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運算律

教學過程：

一、復習引入：

1.向量共線定理向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ

2.平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2

3.平面向量的坐標表示

分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得

把叫做向量的（直角）坐標，記作

4.平面向量的坐標運算

若，，

則，，

若，，則

5.∥()的充要條件是x1y2-x2y1=0

6.線段的定比分點及λ

p1,p2是直線l上的兩點，p是l上不同于p1,p2的任一點，存在實數(shù)λ，

使=λ，λ叫做點p分所成的比，有三種情況：

λ＞0(內(nèi)分)(外分)λ＜0(λ＜-1)(外分)λ＜0(-1＜λ＜0)

7定比分點坐標公式：

若點p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，λ為實數(shù)，且＝λ，則點p的坐標為（），我們稱λ為點p分所成的比

8點p的位置與λ的范圍的關(guān)系：

①當λ＞0時，與同向共線，這時稱點p為的內(nèi)分點

②當λ＜0()時，與反向共線，這時稱點p為的外分點

9線段定比分點坐標公式的向量形式：

在平面內(nèi)任取一點o，設(shè)＝，＝，

可得=

10.力做的功：w=||||cos，是與的夾角

二、講解新課：

1.兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量與，作＝，＝，則∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫與的夾角

說明：（1）當θ＝0時，與同向；

（2）當θ＝π時，與反向；

（3）當θ＝時，與垂直，記⊥；

（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的范圍0≤≤180

2.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cos叫與的數(shù)量積，記作，即有=||||cos，

（0≤θ≤π）并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0

探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別

（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cos的符號所決定

（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成；今后要學到兩個向量的外積×，而是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分符號“•”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替

（3）在實數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若，且=0，不能推出=因為其中cos有可能為0

（4）已知實數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bca=c

但是==

如右圖：=||||cos=|||oa|，=||||cos=|||oa|

=但

(5)在實數(shù)中，有(aa)c=a(ac)，但是()()

顯然，這是因為左端是與共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與不共線

3.“投影”的概念：作圖

定義：||cos叫做向量在方向上的投影

投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0時投影為||；當=180時投影為||

4.向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積等于的長度與在方向上投影||os的乘積

5.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)、為兩個非零向量，是與同向的單位向量

1==||cos

2=0

3當與同向時，=||||；當與反向時，=||||

特別的=||2或

4os=

5||≤||||

三、講解范例：

例1判斷正誤，并簡要說明理由

①•＝；②0•＝0；③－＝；④｜•｜＝｜｜｜｜；⑤若≠，則對任一非零有•≠0；⑥•＝0，則與中至少有一個為；⑦對任意向量，，都有（•）＝（•）；⑧與是兩個單位向量，則2＝2

解：上述8個命題中只有③⑧正確；

對于①：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應有•＝0；

對于②：應有0•＝；

對于④：由數(shù)量積定義有｜•｜＝｜｜•｜｜•｜cosθ｜≤｜｜｜｜，這里θ是與的夾角，只有θ＝0或θ＝π時，才有｜•｜＝｜｜•｜｜；

對于⑤：若非零向量、垂直，有•＝0；

對于⑥：由•＝0可知⊥可以都非零；

對于⑦：若與共線，記＝λ

則•＝（λ）•＝λ（•）＝λ（•），

∴（•）•＝λ（•）＝（•）λ＝（•）

若與不共線，則(•)≠（•）

評述：這一類型題，要求學生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律

例2已知｜｜＝3，｜｜＝6，當①∥，②⊥，③與的夾角是60°時，分別求•

解：①當∥時，若與同向，則它們的夾角θ＝0°，

∴•＝｜｜•｜｜cos0°＝3×6×1＝18；

若與反向，則它們的夾角θ＝180°，

∴•＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；

②當⊥時，它們的夾角θ＝90°，

∴•＝0；

③當與的夾角是60°時，有

•＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9

評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是［0°，180°］，因此，當∥時，有0°或180°兩種可能

四、課堂練習：

五、小結(jié)通過本節(jié)學習，要求大家掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)、運算律，并能運用它們解決相關(guān)的問題

六、課后作業(yè)：

七、板書設(shè)計（略）

八、課后記及備用資料：

1概念辨析：正確理解向量夾角定義

對于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點出發(fā)的兩個向量所構(gòu)成的較小的非負角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成解題錯誤是一些易見的錯誤，如：

1已知△abc中，＝5，＝8，c＝60°，求•

對此題，有同學求解如下：

解：如圖，∵｜｜＝＝5，｜｜＝＝8，c＝60°，

∴•＝｜｜•｜｜cosc＝5×8cos60°＝20

分析：上述解答，乍看正確，但事實上確實有錯誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義，即上例中與兩向量的起點并不同，因此，c并不是它們的夾角，而正確的夾角應當是c的補角120°

2向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律

分析：若有（•）＝•（•），設(shè)、夾角為，、夾角為β，則(•)＝｜｜•｜｜cosα•，

•(•)＝•｜｜｜｜cosβ

∴若＝，α＝β，則｜｜＝｜｜，進而有：（•）＝•(•)

這是一種特殊情形，一般情況則不成立舉反例如下：

已知｜｜＝1，｜｜＝1，｜｜＝，與夾角是60°，與夾角是45°，則：

(•)•＝（｜｜•｜｜cos60°）＝，

•(•)＝（｜｜•｜｜cos45°）＝

而≠，故（•）•≠•（•）

平面向量的數(shù)量積及運算律篇3

（第二課時）

一、教學目標

1.掌握平面向量的數(shù)量積的運算律，并能運用運算律解決有關(guān)問題；

2.掌握向量垂直的充要條件，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為零證明兩個向量垂直；由兩個向量垂直確定參數(shù)的值；

3.了解用平面向量數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；

4.通過平面向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律猜想與證明，培養(yǎng)學生的探索精神和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度以及實際動手能力；

5.通過平面向量的數(shù)量積的概念，幾何意義，性質(zhì)及運算律的應用，培養(yǎng)學生的應用意識。

二、教學重點平面向量的數(shù)量積運算律，向量垂直的條件；

教學難點平面向量的數(shù)量積的運算律，以及平面向量的數(shù)量積的應用。

三、教學具準備

投影儀

四、教學過程

1.設(shè)置情境

上節(jié)課，我們已經(jīng)給出了數(shù)量積的定義，指出了它的（5）條屬性，本節(jié)課將研究數(shù)量積作為一種運算，它還滿足哪些運算律？

2.探索研究

（1）師：什么叫做兩個向量的數(shù)量積？

生：（與向量的數(shù)量積等式的模與在的方向上的投影的乘積）

師：向量的數(shù)量積有哪些性質(zhì)？

生：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

師：向量的數(shù)量積滿足哪些運算律？

生（由學生驗證得出）

交換律：

分配律：

師：這個式子成立嗎？（由學生自己驗證）

生：，因為表示一個與共線的向量，而表示一個與共線的向量，而與一般并不共線，所以，向量的內(nèi)積不存在結(jié)合律。

（2）例題分析

【例1】求證：

（1）

（2）

分析：本例與多項式乘法形式完全一樣。

證：

注：（其中、為向量）

答：一般不成立。

【例2】已知，，與的夾角為，求.

解：∵

注：與多項式求值一樣，先化簡，再代入求值。

【例3】已知，且與不共線，當且僅當為何值時，向量與互相垂直。

分析：師：兩個向量垂直的充要條件是什么？

生：

解：與互相垂直的充要條件是

即

∵

∴

∴

∴當且僅當時，與互相垂直。

3.演練反饋（投影）

（1）已知，為非零向量，與互相垂直，與互相垂直，求與的夾角。

（2），為非零向量，當?shù)哪Ｈ∽钚≈禃r，

①求的值；

②求證：與垂直。

（3）證明：直徑所對的圓周角為直角。

參考答案：

（1）

（2）解答：①由

當時最??；

②∵

∴與垂直。

（3）如圖所示，設(shè)，，（其中為圓心，為直徑，為圓周上任一點）

則

∵，

∴即圓周角

4.總結(jié)提煉

（l）

（2）向量運算不能照搬實數(shù)運算律，如結(jié)合律數(shù)量積運算就不成立。

（3）要學會把幾何元素向量化，這是用向量法證幾何問題的先決條件。

（4）對向量式不能隨便約分，因為沒有這條運算律。

五、板書設(shè)計

課題：

1.數(shù)量積性質(zhì)

2.數(shù)量積運算律

例題

1

2

3

演練反饋

總結(jié)提煉

平面向量的數(shù)量積及運算律篇4

教學目的：

1掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；

2能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關(guān)問題；

3掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題

教學重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律

教學難點：平面向量數(shù)量積的應用

授課類型：新授課

課時安排：1課時

教具：多媒體、實物投影儀

內(nèi)容分析：

啟發(fā)學生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導學生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點，以熟練地應用數(shù)量積的性質(zhì)

教學過程：

一、復習引入：

1.兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量與，作＝，＝，則∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫與的夾角

2.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是θ，則數(shù)量||||cos叫與的數(shù)量積，記作，即有=||||cos，

（0≤θ≤π）并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0

3.“投影”的概念：作圖

定義：||cos叫做向量在方向上的投影

投影也是一個數(shù)量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當=0時投影為||；當=180時投影為||

4.向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積等于的長度與在方向上投影||cos的乘積

5.兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)、為兩個非零向量，是與同向的單位向量

1==||cos；2=0

3當與同向時，=||||；當與反向時，=||||

特別的=||2或

4cos=；5||≤||||

6.判斷下列各題正確與否：

1若=，則對任一向量，有=0(√)

2若，則對任一非零向量，有0(×)

3若，=0，則=(×)

4若=0，則、至少有一個為零(×)

5若，=，則=(×)

6若=，則=當且僅當時成立(×)

7對任意向量、、，有()()(×)

8對任意向量，有2=||2(√)

二、講解新課：

平面向量數(shù)量積的運算律

1.交換律：=

證：設(shè)，夾角為，則=||||cos，=||||cos

∴=

2.數(shù)乘結(jié)合律：()=()=()

證：若＞0，()=||||cos，()=||||cos，()=||||cos，

若＜0，()=||||cos()=||||(cos)=||||cos，

()=||||cos，

()=||||cos()=||||(cos)=||||cos

3.分配律：(+)=c+

在平面內(nèi)取一點o，作=,=，=，

∵+（即）在方向上的投影等于、在方向上的投影和，

即|+|cos=||cos1+||cos2

∴|||+|cos=||||cos1+||||cos2

∴(+)=+即：(+)=+

說明：（1）一般地，(•)≠（•）

（2）•＝•，≠＝

（3）有如下常用性質(zhì)：2＝｜｜2，

（＋）（＋）＝•＋•＋•＋•

(＋)2＝2＋2•＋2

三、講解范例：

例1已知、都是非零向量，且+3與75垂直，4與72垂直，求與的夾角

解：由(+3)(75)=072+16152=0①

(4)(72)=07230+82=0②

兩式相減：2=2

代入①或②得：2=2

設(shè)、的夾角為，則cos=∴=60

例2求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和

解：如圖：abcd中，，，=

∴||2=

而=

∴||2=

∴||2+||2=2=

例3四邊形abcd中，＝，＝，＝，＝，且•＝•＝•＝•，試問四邊形abcd是什么圖形？

分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量

解：四邊形abcd是矩形，這是因為：

一方面：∵＋＋＋＝0，

∴＋＝－（＋），∴(＋)2＝（＋）2

即｜｜2＋2•＋｜｜2＝｜｜2＋2•＋｜｜2

由于•＝•，

∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2①

同理有｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2②

由①②可得｜｜＝｜｜，且｜｜＝｜｜即四邊形abcd兩組對邊分別相等

∴四邊形abcd是平行四邊形

另一方面，由•＝•，有（－）＝0，而由平行四邊形abcd可得＝－，代入上式得•(2)＝0

即•＝0，∴⊥也即ab⊥bc

綜上所述，四邊形abcd是矩形

評述：(1)在四邊形中，，，，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即＋＋＋＝，應注意這一隱含條件應用；

(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系

四、課堂練習：

1下列敘述不正確的是（）

a向量的數(shù)量積滿足交換律b向量的數(shù)量積滿足分配律

c向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律d•是一個實數(shù)

2已知||=6,||=4,與的夾角為60°，則(+2)•(-3)等于（）

a72b-72c36d-36

3||=3,||=4,向量+與-的位置關(guān)系為（）

a平行b垂直c夾角為d不平行也不垂直

4已知||=3,||=4,且與的夾角為150°，則(+)2＝

5已知||=2,||=5,•=-3,則|+|=______,|-|=

6設(shè)||=3,||=5,且+λ與－λ垂直，則