【?？?jí)狠S題】2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略（人教版）解直角三角形的三種實(shí)際應(yīng)用（解析版）

解直角三角形的三種實(shí)際應(yīng)用類型一、仰角俯角問題例1．如圖，株洲市炎陵縣某中學(xué)在實(shí)施“五項(xiàng)管理”中，將學(xué)校的“五項(xiàng)管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學(xué)樓A棟的頂部（如圖所示）該中學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在山坡的坡腳A處測(cè)得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿芙蓉小學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測(cè)得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1：3，AB=2m，AE=8m．(1)求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH．(2)求宣傳牌CD的高度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：≈1.414,≈1.732）【答案】(1)點(diǎn)B距水平面AE的高度BH是2米(2)廣告牌CD的高度約為2.1米【詳解】（1）解：在Rt△ABH中，BH：AH=1:3，∴設(shè)BH=a,則AH=3a，∵AB=2，由勾股定理得BH=2，答:點(diǎn)B距水平面AE的高度BH是2米；（2）解：在Rt△ABH中,BH=2，∴AH=6，在Rt△ADE中,tan∠DAE=.，即DE=tan60·AE=8，如圖,過點(diǎn)B作BF⊥CE,垂足為F，BF=AH+AE=6+8=14，DF=DE-EF=DE-BH=8—2，在Rt△BCF中,∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=14,∴CD=CF-DF=14—（8—2）=14—8+2≈2.1答:廣告牌CD的高度約為2.1米．【變式訓(xùn)練1】如圖，小明想要測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)上旗桿AB的高度，他作了如下操作：（1）在點(diǎn)C處放置測(cè)角儀，測(cè)得旗桿頂?shù)难鼋?；?）量得測(cè)角儀的高度；（3）量得測(cè)角儀到旗桿的水平距離．利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識(shí)，旗桿的高度可表示為________．【答案】【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，在中，，∴，∴，∴旗桿的高度可表示為：，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】風(fēng)能作為一種清潔能源越來越受到世界各國(guó)的重視，我市結(jié)合自身地理優(yōu)勢(shì)架設(shè)風(fēng)力發(fā)電機(jī)利用風(fēng)能發(fā)電．王芳和李華假期去明月峰游玩，看見風(fēng)電場(chǎng)的各個(gè)山頭上布滿了大大小小的風(fēng)力發(fā)電機(jī)，好奇的想知道風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔架的高度．如圖，王芳站在點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)與塔底點(diǎn)的距離為，李華站在斜坡的坡頂處，已知斜坡的坡度，坡面長(zhǎng)，李華在坡頂處測(cè)得輪轂點(diǎn)的仰角，請(qǐng)根據(jù)測(cè)量結(jié)果幫他們計(jì)算：(1)斜坡頂點(diǎn)B到CD所在直線的距離；(2)風(fēng)力發(fā)電機(jī)塔架的高度．結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，，，【答案】(1)；(2)．【解析】（1）解：如圖，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，，則為坡頂B到所在直線的距離，則，，在中，，∴，∵，∴；（2）由題意得，四邊形是矩形，由勾股定理得：，∵，∴，∴，在中，，，∴，答：塔架高度約為．【變式訓(xùn)練3】“為夢(mèng)想戰(zhàn)，決戰(zhàn)中考”，如圖①是尋烏縣第三中學(xué)的中考倒計(jì)時(shí)牌，圖②為它的側(cè)面圖，圖③為它的側(cè)面簡(jiǎn)意圖，已知，．(1)如圖③，A處離地面多高？(2)如圖④，芳芳站在倒計(jì)時(shí)牌前的點(diǎn)H處觀察倒計(jì)時(shí)牌（點(diǎn)D、C、H在同一水平線上），測(cè)得芳芳的身高為，當(dāng)芳芳的視線恰好落在點(diǎn)B處時(shí)（忽略眼睛到頭頂?shù)木嚯x）視線俯角為，求此時(shí)的距離．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】(1)(2)【解析】（1）解：連接，圖，∵，，，∴，，，∴，∴在中，，即A處離地面；（2）解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，圖②，根據(jù)題意有：，則可得四邊形是矩形，即有，，∵，，∴，∴，，∴，∴，在中，，∴．答：的長(zhǎng)度約為．【變式訓(xùn)練4】如圖，花城廣場(chǎng)對(duì)岸有廣州塔AB，小明同學(xué)站在花城廣場(chǎng)的C處看塔頂點(diǎn)A的仰角為32°，向塔前進(jìn)360米到達(dá)點(diǎn)D，在D處看塔頂A的仰角為45°．(1)求廣州塔AB的高度（sin32°≈0．530，cos32°≈0．848，tan32°≈0．625）；(2)一架無人機(jī)從廣州塔頂點(diǎn)A出發(fā)，沿水平方向AF飛行300米到處，求此時(shí)從處看點(diǎn)D的俯角的正切值．【答案】(1)廣州塔AB的高度約為600米；(2)從處看點(diǎn)D的俯角的正切值為2．【解析】（1）解：設(shè)廣州塔AB的高度為x米，∵∠ADB=45°，∠ABD=90°，∴∠DAB=45°，∴∠ADB=∠DAB，∴BD=AB=x，∴BC=360+x，∵∠ACB=32°，tan∠ACB=，∴，解得，x=600（米），答：廣州塔AB的高度約為600米；（2）解：過D作DH⊥AF于H，則四邊形ABDH是矩形，∵∠ADB=45°，∴BD=AB，∴四邊形ABDH是正方形，∴AH=HD=AB=600米，∠AHD=90°，∵=300，∴=AH-=300（米），∴tan==2，答：此時(shí)從處看點(diǎn)D的俯角的正切值為2．類型二、方位角問題例1．如圖，某漁船沿正東方向以10海里／小時(shí)的速度航行，在A處測(cè)得島C在北偏東方向，1小時(shí)后漁船航行到B處，測(cè)得島C在北偏東方向，已知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁．參考數(shù)據(jù)：，，．(1)B處離島C有多遠(yuǎn)？如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險(xiǎn)？(2)如果漁船在B處改為向東偏南方向航行，有無觸礁危險(xiǎn)？【答案】(1)B處離島C有10海里；有觸礁危險(xiǎn)，證明見解析(2)沒有觸礁危險(xiǎn)，證明見解析【解析】（1）過C作于O，CO為漁船向東航行到C的最短距離，∵在A處測(cè)得島C在北偏東的方向，∴，又∵B處測(cè)得島C在北偏東方向，∴，，∴，∴（海里），∵，，∴，∴如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險(xiǎn)；（2）過C作交BF于D，交BO于E，，∴沒有觸礁危險(xiǎn)．【變式訓(xùn)練1】如圖，在一筆直的海岸線l上有AB兩個(gè)觀測(cè)站，A在B的正東方向，AB=2（單位：km）．有一艘小船在點(diǎn)P處，從A測(cè)得小船在北偏西60°的方向，從B測(cè)得小船在北偏東45°的方向．(1)求點(diǎn)P到海岸線l的距離；(2)小船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處，此時(shí)，從B測(cè)得小船在北偏西15°的方向．求點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離．（上述兩小題的結(jié)果都保留根號(hào)）【答案】(1)點(diǎn)P到海岸線l的距離為（-1）km；(2)點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離為km．【解析】（1）解：如圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．設(shè)PD=xkm．在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，∴BD=PD=xkm．在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，∴AD=PD=xkm．∵BD+AD=AB，∴x+x=2，x=-1，∴點(diǎn)P到海岸線l的距離為（-1）km；（2）解：如圖，過點(diǎn)B作BF⊥AC于點(diǎn)F．根據(jù)題意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=AB=1km．在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴BC=BF=km，∴點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離為km．【變式訓(xùn)練2】小明學(xué)了《解直角三角形》內(nèi)容后，對(duì)一條東西走向的隧道進(jìn)行實(shí)地測(cè)量．如圖所示，他在地面上點(diǎn)C處測(cè)得隧道一端點(diǎn)A在他的北偏東方向上，他沿西北方向前進(jìn)米后到達(dá)點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得點(diǎn)A在他的東北方向上，端點(diǎn)B在他的北偏西方向上，（點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)）(1)求點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離；(2)求隧道的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】(1)點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離為300米(2)隧道的長(zhǎng)為米【解析】（1）由題意可知：，在中，∴（米）答：點(diǎn)D與點(diǎn)A的距離為300米．（2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．∵是東西走向∴在中，∴在中，∴∴（米）答：隧道的長(zhǎng)為米【變式訓(xùn)練3】如圖，我國(guó)某海域有A，B，C三個(gè)港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile是單位“海里”的符號(hào)）處，A港口在B港口北偏西50°方向且距離B港口40nmile處，在A港口北偏東53°方向且位于C港口正北方向的點(diǎn)D處有一艘貨船，求貨船與A港口之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）【答案】貨船與A港口之間的距離約為80海里【詳解】解：過點(diǎn)A作AE⊥CD，垂足為E，過點(diǎn)B作BF⊥AE，垂足為F，由題意得：EF=BC=33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD=∠ADC=53°，在Rt△ABF中，∠ABF=50°，AB=40海里，∴AF=AB?sin50°≈40×0.77=30.8（海里），∴AE=AF+EF=64（海里），在Rt△ADE中，AD=≈=80（海里），∴貨船與A港口之間的距離約為80海里．【變式訓(xùn)練4】如圖，m，n為河流南北兩岸的平行道路，北岸道路A，B和南岸道路D點(diǎn)處各有一株古樹．已知B，D兩株古樹間的距離為200米，為了測(cè)量A，B兩株古樹之間的距離，在南岸道路C點(diǎn)處測(cè)得古樹A位于北偏西42°方向，在D處測(cè)得古樹B位于北偏西30°方向．已知CD=280米，求A，B兩株古樹之間的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，sin42°，cos42°≈，tan42°≈．【答案】A，B兩株古樹之間的距離為336米【詳解】解：如圖，由題意可知：四邊形CDFE是矩形，∴CE=DF，CD=EF，在Rt△BDF中，∠BDF=30°，BD=200米，∴BF=BD=100米，由勾股定理得：DF==100米，在Rt△ACE中，∠ACE=42°，CE=DF=100米，∴AE=tan42°×CE=×100≈155.7（米），∴AB=AE+BE=AE+CD-BF=155.7+280-100≈336米，∴A，B兩株古樹之間的距離為336米．類型三、坡度比問題例1．小明和小亮利用數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)邊升旗臺(tái)上的旗桿高度．如圖，旗桿立在水平的升旗臺(tái)上，兩人測(cè)得旗桿底端到升旗臺(tái)邊沿的距離為，升旗臺(tái)的臺(tái)階所在的斜坡長(zhǎng)為，坡角為，小明又測(cè)得旗桿在太陽光下的影子落在水平地面上的部分的長(zhǎng)為，同一時(shí)刻，小亮測(cè)得長(zhǎng)的標(biāo)桿直立于水平地面時(shí)的影子長(zhǎng)為請(qǐng)你幫小明和小亮求出旗桿的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）【答案】旗桿的高度約為【詳解】解：延長(zhǎng)交于，過作于，則四邊形是矩形，，，，，，，，，同一時(shí)刻，物高和影長(zhǎng)成正比，，，，，答：旗桿的高度約為．【變式訓(xùn)練1】如圖，在建筑物DF的左邊有一個(gè)小山坡，坡底B、C同建筑底端F在同一水平線上，斜坡AB的坡比為，小李從斜坡底端B沿斜坡走了26米到達(dá)坡頂A處，在坡頂A處看建筑物的頂端D的仰角α為，然后小李沿斜坡AC走了米到達(dá)底部C點(diǎn)，已知建筑物上有一點(diǎn)E，在C處看點(diǎn)E的仰角為，（點(diǎn)A、B、C、D、E、F在同一平面內(nèi)）建筑物頂端D到E的距離DE長(zhǎng)度為28.8米，求建筑物DF的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】40.8米【詳解】解：如圖于G，于H，連接、，∵的坡比，設(shè)，，∴在中，，∴，∴，在中，，設(shè)，在中，，∴，∵四邊形是矩形，∴，又∵，在中，，，，∴，答：建筑物的高度為40.8米．【變式訓(xùn)練2】如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)山坡，坡上面是一塊平地．，BE⊥AD，斜坡AB長(zhǎng)26m，斜坡AB的坡比為12：5．為了減緩坡面，防止山體滑坡，學(xué)校決定對(duì)該斜坡進(jìn)行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過50°時(shí)，可確保山體不滑坡．如果改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，則坡頂B沿BC至少向右移多少米時(shí)，才能確保山體不滑坡．（取tan50°＝1.2）【答案】10米【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)B沿BC向右移動(dòng)至點(diǎn)H，使得∠HAD=50°，過點(diǎn)H作HF⊥AD于點(diǎn)F，根據(jù)題意有BE⊥AD，∵AB=26，斜坡的坡比為12∶5，則設(shè)BE=12a，AE=5a，∴，解得：a=2，∴BE=24，AE=10，∴HF=BE=24，∵∠HAF=50°，則，解得：AF=20，∴EF=AF-AE=EF=20-10=10（m），∵，HF⊥AD，BE⊥AD，∴可得四邊形BEFH是矩形，∴BH=EF=10（m），故