【微專題】2023學年九年級數(shù)學下冊?？键c微專題提分精練（人教版） 構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)求邊長小題（原卷版）

構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)求邊長小題【典例講解】Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一個內(nèi)角為60°，點P是直線AB上不同于A、B的一點，且∠ACP=30°，則PB的長為_______．【詳解】分兩種情況考慮：當∠ABC=60°時，如圖所示：∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°．又∵∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°．又∵∠ABC=60°，∴△PCB為等邊三角形．又∵BC=4，∴PB=4．當∠ABC=30°時，（i）當P在A的右邊時，如圖所示：∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°．又∠B=30°，BC=4，∴，即．（ii）當P在A的左邊時，如圖所示：∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°．又∠B=30°，∴∠BCP=∠B．∴CP=BP．在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC=BC=2．根據(jù)勾股定理得：，∴AP=AB－PB=－PB．在Rt△APC中，根據(jù)勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，即22+（－PB）2=BP2，解得：BP=．綜上所述，BP的長為4或或．【綜合演練】1．在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，則△ABC的面積為（

）A． B．＋1 C． D．＋12．如圖，在中，，，為邊上的一個動點（不與、重合），連接，則的最小值是（

）A． B． C． D．23．如圖，有一塊三角形空地需要開發(fā)，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知該空地的面積為（

）A． B． C． D．4．如圖，，，AC＝10，則的面積是（）A．42 B．43 C．44 D．455．如圖，正六邊形ABCDEF中，AB=2，點P是ED的中點，連接AP，則AP的長為（）A． B．4 C． D．6．已知在中，、是銳角，且，，，則的面積等于__．7．△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面積為5，那么∠A的度數(shù)是_________．8．如圖，在四邊形中，，，，．則的長的值為__________．9．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，則S△ABC＝__．10．如圖，在中，，，，，垂足為，的平分線交于點，則的長為__________．11．如圖，某小區(qū)物業(yè)想對小區(qū)內(nèi)的三角形廣場進行改造，已知與的夾角為，米，米，請你幫助物業(yè)計算出需要改造的廣場面積是______平方米.（結(jié)果保留根號）12．如圖，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，AB的長___________．13．如圖，等腰直角△ABC的面積為16，點D在斜邊AC的延長線上，∠BDC＝30°，則△BDC的面積是__.14．已知：在△ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為（即cosC=），則AC邊上的中線長是_____________．15．在中，，，為銳角且．(1)求的面積；(2)求的值；(3)求的值．16．如圖，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，則△ABC的面積為多少？17．已知在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝8，D、E分別是邊BC、AB上的一點，若tan∠DEA＝2，DE＝，S△DEB＝4，求四邊形ACDE的面積．18．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC邊上一點，∠BAD＝45°，AC＝3，AB＝，求BD的長．19．如圖，的角平分線，，、所對的邊記為、.（1）當時，求的值；（2）求的面積（用含，的式子表示即