【微專題】2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊?？键c(diǎn)微專題提分精練（人教版） 網(wǎng)格中求正弦（解析版）

網(wǎng)格中求正弦【法一講解】轉(zhuǎn)移角后求正弦如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)P，則的正弦值為（

）A． B． C． D．解：取格點(diǎn)，連接、，設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1，則，，，∵，，∴，∴，在中，，由題意知，，∴，∴，∴，故選：【法二講解】等面積法求正弦如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的值為（

）A． B． C． D．解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，連接BC，如下圖，∵小正方形的邊長為1，∴，∵，∴，∴，∴．故選：C．【法三講解】構(gòu)造直角三角形求正弦如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．解：如圖，連接格點(diǎn)CD，設(shè)1個(gè)網(wǎng)格的邊長為x，則，∴∴∠BDC＝∠ADC＝90°，∴sin∠A=又∴sin∠A=＝故選：C【綜合演練】1．如圖，由6個(gè)形狀、大小完全相同的小矩形組成矩形網(wǎng)絡(luò)，小矩形的頂點(diǎn)稱為這個(gè)矩形網(wǎng)格的格點(diǎn)，已知小矩形較短邊長為1，點(diǎn)，，，都在格點(diǎn)上，則的值（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】先證明∠ABD=90°，再求出BD=,AD=,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】解：如圖，∵小矩形較短邊長為1，有圖可知，小矩形較長邊長為2，∴AE=BE=2,BF=DF=1,∴∠ABE=45°,∠DBF=45°∴∠ABD=90°,∵AB=,BD=,AD=,∴===,故選A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理和三角函數(shù)的定義，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．2．如圖，的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinC為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)連接格點(diǎn)AD、BD，利用勾股定理列式求出AC2、AD2、CD2，再利用勾股定理逆定理判斷出△ACD是直角三角形，然后根據(jù)銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，連接格點(diǎn)AD、BD，由勾股定理得，AC2=22+42=20，AD2=12+12=2，CD2=32+32=18，∵AD2+CD2=AC2，∴△ACD是直角三角形，∴sinC==．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，作輔助線構(gòu)造成直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么的值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，在中，利用勾股定理求得線段AC的長，再按照正弦函數(shù)的定義計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，則，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，格點(diǎn)A、B、C、D都在同一個(gè)圓上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)圓周角的推論得出，再利用勾股定理計(jì)算AC即可得出結(jié)果【詳解】連接AD、DC、AC由題意可知：∠ADC=90°∵∠AED=∠DCA∴在Rt△ADC中，∵故選：C【點(diǎn)睛】本題考查正弦值的計(jì)算、勾股定理、同弧所對的圓周角相等、熟練掌握圓周角的推論是關(guān)鍵5．如圖，小正方形的邊長均為1，、、分別是小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】連接，先根據(jù)勾股定理求得AB、BC、AC的長，然后再利用勾股定理逆定理證得是直角三角形，最后根據(jù)正弦的定義解答即可【詳解】解：如圖：連接，每個(gè)小正方形的邊長均為1，，，，，是直角三角形，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定義，根據(jù)題意證得是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．6．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為_____．【答案】．【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)勾股定理、逆定理求出三角形的邊長，最后根據(jù)三角函數(shù)的意義求解即可．【詳解】解：如圖，連接格點(diǎn)BD，∵BD2＝12+12＝2，CD2＝12+12＝2，BC2＝22＝4，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°＝∠ADB，由勾股定理得，AB＝＝，BD＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是求網(wǎng)格問題中銳角的三角函數(shù)值，掌握利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理和正弦的定義是解決此題的關(guān)鍵．7．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的的面積等于，則的值是________．【答案】【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理即可求出AB和AC，然后根據(jù)三角形的面積求出CD，再根據(jù)正弦值的定義即可得出結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D根據(jù)勾股定理可得AB=，AC=∵的面積等于∴解得：CD=在Rt△ACD中，=故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理和求一個(gè)角的銳角三角函數(shù)，掌握勾股定理和構(gòu)造直角三角形求一個(gè)角的正弦值是解決此題的關(guān)鍵．8．如圖，在正方形網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則__________．【答案】【分析】根據(jù)所給圖形可得出，再求正弦值即可．【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格所示，可得出，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是用格點(diǎn)解直角三角形，根據(jù)格點(diǎn)找出是解此題的關(guān)鍵．9．如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB，CD都交于O，則sin∠AOD＝_____．【答案】．【分析】直接利用網(wǎng)格結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin∠AOD＝sin∠ABE，即可得出答案．【詳解】解：如圖，由網(wǎng)格可得：AE＝，AB＝，BE=，∵，∴，∴∠AEB=90°，又DC∥BE，且∠AOD＝∠ABE，故sin∠AOD＝sin∠ABE＝；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解直角三角形，掌握勾股定理，解直角三角形是解題的關(guān)鍵.10．如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長均為，則的正弦值是_______．【答案】【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可以得到∠1=∠A，在直角△ABC中，利用三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：如圖：由勾股定理，得：，∵∠1=∠A，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，正確根據(jù)圓周角定理，把所求角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為∠A的三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．在如圖的正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，，，，都在格點(diǎn)處，與相交于，則的值等于_________．【答案】【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)以及勾股定理，通過轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想可以求得sin∠BOD的值，本題得以解決．【詳解】解：連接AE、EF，如圖所示，則AE∥CD，∴∠FAE=∠BOD，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為a，則AE=，AF=，EF=，∵，∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，∴sin∠FAE=即sin∠BOD=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用勾股定理和等積法解答．12．如圖，在4×5的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長均為1，點(diǎn)A、O、B均在格點(diǎn)上，則(1)△AOB的面積是_____________；(2)______________【答案】

4

【分析】（1）利用正方形的面積減去各頂點(diǎn)上三角形的面積即可得到結(jié)果；（2）作OB邊上的高AC，算出AC，再利用正弦的定義求解．【詳解】解：（1）S△AOB===4；（2）作OB邊上的高AC，∵AO=，BO=，AB=，∴AC=S△AOB×2÷OB=4×2÷=，∴sin∠AOB==，故答案為：4；．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，正弦的定義，解題的關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特點(diǎn)．13．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則的值為_______．【答案】【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】在網(wǎng)格上取個(gè)點(diǎn)D，得∵CD=4，AD=3∴∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，涉及勾股定理逆定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)，屬于學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識．14．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)正方形邊長都相等，A、O、B在如圖的格點(diǎn)上，則_____．【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式求出邊OA上的高BC即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作，垂足為C，，，即，，在中，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格與勾股定理，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．15．如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的值為______．【答案】【分析】找到∠ABC所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜邊長，進(jìn)而求得,的鄰邊與斜邊之比即可．【詳解】解：如圖所示，作AD⊥BC，垂足為D，AD=3，BD=4，∵∠ADB=∴利用勾股定理可得，∴cosB=＝，∴=+=．故答案為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，根據(jù)題意得出cos∠ABC,是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題16．如圖所示的方格紙是由9個(gè)大小完全一樣的小正方形組成的．點(diǎn)A、B、C、D均在方格紙的格點(diǎn)(即圖中小正方形的頂點(diǎn))上，線段AB與線段CD相交于點(diǎn)E．設(shè)圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1．（1）求證：AB⊥CD；（2）求sin∠BCD的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）證明，可得，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理先計(jì)算和的長，根據(jù)面積法可得的長，最后由三角函數(shù)定義可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，，，，，，又，，，；（2）解：在中，，，，同理，，，，，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格型問題，還考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，勾股定理和三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)面積法和數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．17．圖①、圖②均是邊上為1的小正方形組成的的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中作正方形；（2）在圖②中作，使點(diǎn)在格點(diǎn)上，且．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析【分析】（1）確定AB=，再根據(jù)正方形的四邊相等，四個(gè)角是直角即可作圖；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可作圖．【詳解】解：（1）如圖所示，正方形ABCD為所求；（2）如圖所示，為所求，且．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格圖中的創(chuàng)新作圖問題，設(shè)計(jì)了正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟悉正方形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義．18．如圖，由12個(gè)形狀、大小完全相同的小矩形組成一個(gè)大的矩形網(wǎng)格，小矩形的頂點(diǎn)稱為這個(gè)矩形網(wǎng)格的格點(diǎn)，已知這個(gè)大矩形網(wǎng)格的寬為6，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)．（1）求每個(gè)小矩形的長與寬；（2）在矩形網(wǎng)格中找一格點(diǎn)E，使△ABE為直角三角形，求出所有滿足條件的線段AE的長度．（3）求sin∠BAC的值．【答案】（1）每個(gè)小矩形的長為3，寬為1.5；（2）3或3或；（3）．【詳解】分析：（1）設(shè)每個(gè)小矩形的長為x，寬為y，根據(jù)圖形可知小矩形的長與寬間的數(shù)量關(guān)系有兩個(gè)：2個(gè)矩形的寬=矩形的長；兩個(gè)矩形的寬+1個(gè)矩形的長=6，據(jù)此列出方程組，并解答即可；

（2）利用圖形和勾股定理逆定理進(jìn)行解答；

（3）過B作BP⊥AC于P，則BM=MN=y，AM=2y，AB=AN=．由S△ABN=BN×AM=AN×BP，得到BP的長．在Rt△ABP中，利用正弦的定義求解即可．詳解：（1）設(shè)每個(gè)小矩形的長為x，寬為y，依題意得：，解得：，所以每個(gè)小矩形