基本不等式(人教A版)11

基本不等式

這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)．會標(biāo)根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。思考：這會標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？探究1ab1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿２、四個直角三角形的面積和S’

=＿＿３、S與S’有什么樣的不等關(guān)系？

探究１：S___>__S′問：那么它們有相等的情況嗎？ADBCEFGHba重要不等式：一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。ABCDE(FGH)ab思考：你能給出不等式的證明嗎？證明：（作差法）結(jié)論：一般地，對于任意實數(shù)a、b，總有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立文字?jǐn)⑹鰹?兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.適用范圍：a,b∈R問題一問題一替換后得到：即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個不等式嗎？問題二證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,③是成立的.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,③中的等號成立.分析法問題二證明不等式：特別地，若a>0，b>0，則≥通常我們把上式寫作：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，這個不等式就叫做基本不等式.基本不等式在數(shù)學(xué)中，我們把叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：a>0,b>0你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問題三Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?問題三②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD與CD的大小關(guān)系怎樣?OD_____CD＞≥如圖,AB是圓的直徑,O為圓心，點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.幾何意義：半徑不小于弦長的一半ADBEOCab適用范圍文字?jǐn)⑹觥?”成立條件a=ba=b兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較：注意從不同角度認(rèn)識基本不等式

例1：(1)如圖,用籬笆圍成一個面積為100m2的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？解：如圖設(shè)BC=x

，CD=y

，則xy=100，籬笆的長為2(x+y)m.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m.此時x=y=10.x=yABDC若x、y皆為正數(shù)，則當(dāng)xy的值是常數(shù)P時，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+y有最小值_______.例1：(2)如圖，用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC=x

，CD=y

，則2(x+y)=36,x+y=18矩形菜園的面積為xym2得

xy≤81當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，等號成立

因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園面積最大，最大面積是81m2即x=y=9ABDC若x、y皆為正數(shù)，則當(dāng)x+y的值是常數(shù)S時，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，xy有最大值_______；①各項皆為正數(shù)；②和或積為定值；③注意等號成立的條件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值時，要注意已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時,取“=”號).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時,取“=”號).14變式：如圖，用一段長為24m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC=x

，CD=y

，則籬笆的長為矩形花園的面積為xym2ABDC得

144≥2xy當(dāng)且僅當(dāng)

時，等號成立因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時，花園面積最大，最大面積是72m2即

xy≤

72即x=12，y=6x+2y=24x=2y變式：如圖，用一段長為24m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？解：如圖，設(shè)BC=x

，CD=y

，則籬笆的長為矩形花園的面積為xym2ABDCx+y不是

定值.2=24為

得

2xy≤

144當(dāng)且僅當(dāng)

時，等號成立因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時，花園面積最大，最大面積是72m2即

xy≤

72即x=12，y=6x+2y=24x=2y變式：如圖，用一段長為24m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？分析：設(shè)AB=x

，BC=24－2x

，ABDC變式：如圖，用一段長為24m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)AB=x

，BC=24－2x

，矩形花園的面積為x(24－2x)

m2當(dāng)且僅當(dāng)2x=24－2x,即x=6時，等號成立因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時，花園面積最大，最大面積是72m2(其中2x+(24-2x)=24

是定值)變式：如圖，用一段長為24m的籬笆圍一個一邊靠墻的矩形花園，問這個矩形的長、寬各為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？解：設(shè)AB=x

，BC=24－2x

，矩形花園的面積為x(24－2x)

m2因此，這個矩形的長為12m、寬為6m時，花園面積最大，最大面積是72m2當(dāng)x=6時，函數(shù)y取得最小值為72小結(jié)：求最值時注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時,取“=”號).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時,取“=”號).142.利用基本不等式求最值1.兩個重要的不等式１．已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值和此時x的取值．運用均值不等式的過程中，忽略了“正數(shù)”這個條件．“美女”找茬２．已知函數(shù)，求函數(shù)的最小值．用均值不等式求最值，必須滿足“定值”這個條件．用均值不等式求最值,必須注意“相等”的條件.如果取等的條件不成立,則不能取到該最值.作業(yè)課本P100習(xí)題3.4A組第1、題

思考題1.求函數(shù)

f(x)=x

+

(x＞-1)

的最小值.1x+12.若

0<x<,求函數(shù)

y=x(1-2x)

的最大值.12=(x

+1)+

-11x+1

f(x)=x

+

1x+1=1,≥2(x+1)?-11x+1當(dāng)且僅當(dāng)取“=”號.∴當(dāng)

x=0

時,函數(shù)

f(x)

的最小值是

1.x+1=

,即

x=0

時,1x+1解:

∵

x＞-1,∴x+1>0.∴1.求函數(shù)

f(x)=x

+

(x＞-1)

的最小值.1x+1配湊系數(shù)分析:

x+(1-2x)

不是

常數(shù).2=1為

解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=?2x?(1-2x)12≤

?[]22x+(1-2x)21218=.