機械制圖教案2

第2章點、直線和平面的投影2.1投影法的基本知識

2.2點的投影

2.3直線的投影

2.4平面的投影2.1投影法的基本知識2.1.1投影法的基本概念

2.1.2投影法的分類

2.1.1投影法的基本概念PABCcba●S投影面投射線投射中心（光源）投影投影法：由投射中心發(fā)出的投射線通過物體，向選定的投影面進行投影，并在投影面上得到圖形的方法。2.1.2投影法的分類中心投影法平行投影法正投影斜投影投影方法2.2點的投影Pa●A1●a●A2●A3●A●

點在一個投影面上的投影不能確定該點的空間位置。V2.2.1點的兩面投影1、兩投影面體系的建立HOX正立投影面V（簡稱正面）水平投影面H（簡稱水平面）1四個分角：兩投影面把空間分為四個區(qū)域234互相垂直的兩投影面投影軸（OX軸）：兩投影面之間的交線2、點在兩投影面體系中的投影繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90o不動XOVH●A●a●a

axaa

●●HVOXaxXO●●aaxa

3、點的兩面投影規(guī)律（1）點的兩面投影的連線垂直于OX軸，即aa′⊥OX。

（2）點的正面投影到OX軸的距離反映A點到H面的距離；點的水平投影到OX軸的距離反映該點到V面的距離，即aaX＝Aa′

和aXa′＝Aa。2.2.2點的三面投影1.三投影面體系的建立HWVOXZY互相垂直的三投影面正立投影面（簡稱正面或V面）水平投影面（簡稱水平面或H面）側(cè)立投影面（簡稱側(cè)面或W面）投影軸OX軸（簡稱X軸）：V面與H面的交線OY軸（簡稱Y軸）：H面與W面的交線OZ軸（簡稱Z軸）：V面與W面的交線空間點A的三面投影HWVOXZYa

●a●a

●A●2．點在三投影面體系中的投影a'——點A的正面投影

a——點A的水平投影

a"——點A的側(cè)面投影

ZHWVOXYAa

aa

●●●●axaYaZ保持不動向右旋轉(zhuǎn)90o向下旋轉(zhuǎn)90oWVHZaa

axXYHYWO●aZa

aYHaYW●●Zaa

axXO●aZa

aYHaYW●●YHYW3.點的三面投影規(guī)律（1）點的兩面投影的連線，必定垂直于相應的投影軸。即：點的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸：

aa'⊥OX；點的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸：a'a"⊥OZ；由于水平投影和側(cè)面投影不能直接連線，需借助45o斜線實現(xiàn)聯(lián)系，這時a、a"滿足：aaYH⊥OYH、a"aYW⊥OYW。（2）點的投影到投影軸的距離，等于空間點到相應的投影面的距離。即：a'aX

＝a"aY

＝A點到H面的距離aaX＝a"aZ

＝A點到V面的距離aaY＝a'aZ＝A點到W面的距離4.點的三面投影與直角坐標空間點到投影面的距離就等于點相應的空間坐標值，即：Aa"＝aXO＝XA，Aa'＝aYO＝Y(jié)A，Aa＝aZO＝ZA。

例2-1

已知點A的坐標為（15、10、20），求點A的三面投影。1）畫投影軸,建立三投影面體系；2）沿OX軸正方向量取15，得到aX；3）過aX作OX軸的垂線，并使aXa＝10，aXa'＝20，分別得到a和a'；ZXOYHYWax15●a●10a

●204）過a'點作OZ軸的垂線，并使aZa″＝10，得到a″。

利用45o斜線，求得a″。

或aYHaYWa

aZ●10例2-2

已知點A的兩面投影（a'、a"），求作第三面投影a。

Za

XO●a

●YWYH2）自a"作OYW的垂線與OYW相交于aYW；1）過a′作OX軸的垂線，a必然在這條垂線上；axaYW3）以O為圓心、OaYW為半徑作圓弧，與OYH軸相交于aYH；aYH4）過aYH作OYH的垂線與aaX相交，即得到a點。a●2.2.4兩點的相對位置兩點的相對位置就是指兩點間左右、前后、上下的位置關系。1.兩點相對位置的確定

兩點間的相對位置可以通過投影圖上各組同面投影的坐標差來確定。判斷方法如下：兩點間的左、右位置關系：由X坐標差來確定，坐標值大者在左邊兩點間的前、后位置關系：由Y坐標差來確定，坐標值大者在前邊兩點間的上、下位置關系：由Z坐標差來確定，坐標值大者在上邊Zaa

XO●a

●●YHYW●●●bb

b

A點在B點的左、后、下方ZfXOf

●●YHYW●●●ee

2.重影點

當兩點的兩個坐標相等時，該兩點位于同一投射線上，它們在投射線所垂直的投影面上的投影是重合的，這兩個點就稱為該投影面的一對重影點。重影點可見性的判斷H面重影點根據(jù)Z坐標差確定其可見性，Z坐標大者可見，即“上遮下”；

V面重影點根據(jù)Y坐標差確定其可見性，Y坐標大者可見，即“前遮后”；

W面重影點根據(jù)X坐標差確定其可見性，X坐標大者可見，即“左遮右”。

e(f')e'可見f'不可見，不可見者用（）ZXYWOYH●aYH●aaX●●a

●aZa

●例2－3：如圖所示為點A的三面投影，已知點B在點A的左方15mm、后方5mm、上方10mm，點C在點A的正后方10mm處，試求作B、C兩點的三面投影?！瘛馼XbYHbZ●●●●bb

b

作圖步驟：

1、分別自aX、aYH、aZ沿OX、OYH、OZ軸量取15mm、5mm、10mm，得到bX、bYH、bZ；2、根據(jù)點的投影規(guī)律，作出B點的三面投影b、b′、b″。求C點三面投影的作圖步驟

1、從A的水平投影a沿aaX方向量取10mm，得到c；2、由aXc=cYH

，根據(jù)投影關系求出c″；3、c'與a'重合，其中a'可見，c'不可見?！馽●c

（c

）2.3直線的投影2.3.1直線投影的基本性質(zhì)2.3.2直線的三面投影圖

2.3.3各種位置直線的投影特性2.3.4直線上的點2.3.5兩直線的相對位置2.3.1直線投影的基本性質(zhì)（1）顯實性平行于投影面時其投影反映實長

（2）積聚性（3）類似性PABabPABa(b)●垂直于投影面時其投影積聚為一點

PABab傾斜于投影面時其投影仍為直線，但小于實長

2.3.2直線的三面投影圖ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

根據(jù)“兩點確定一條直線”，將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的同面投影。2.3.3各種位置直線的投影特性正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）投影面平行線：平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線：垂直于某一投影面水平線（平行于Ｈ面）一般位置直線：同時傾斜于三個投影面的直線特殊位置直線ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

1．投影面平行線βγαγαβ①在直線平行的投影面上的投影反映實長，且反映直線與另兩投影面傾角。②另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。α、β、γ分別為直線對H面、V面、W面的傾角

水平線投影特性正平線側(cè)平線ZXYWOYH●a

a

●●●●b(a)b

b

ZXYWOYH●a●a

●●●bb

b(a")ZXYWOYH●a●a(b')a

●●●bb

鉛垂線2．投影面垂直線正垂線側(cè)垂線投影特性①在直線垂直的投影面上，投影具有積聚性。②另外兩個投影，反映線段實長，且同時平行于一根投影軸。3．一般位置直線ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

投影特性三面投影都是直線，且同時傾斜于三個投影面,即不反映實長，又不反映實際夾角。HWVOXZYAb

aa

●b●●●●●b

a

Bαγ●●β求一般位置直線段的實長和直線與投影面的夾角

方法1：過b點作ab的垂線bB0，在此垂線上量取bB0＝zB－zA，則aB0即為所求直線AB的實長，∠B0ab即為傾角α。方法2：過a'

作X軸的平行線，與b'b相交于b0（b'b0＝zB－zA），量取b0A0＝ab，則b'A0也是所求直線段的實長，∠b'A0b0即為傾角α。

2.3.4直線上的點從屬性

直線上的點的投影必然在該直線的同面投影上，且符合點的投影規(guī)律。定比性

點分線段成定比，其投影也成同樣的比例。

ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

●●●k

k

k判斷點屬于直線的方法

ZXYWOYH●a●a

a

●●●●bb

b

●●●dd

d

點K在直線AB上，滿足ak：kb＝a'k'：k'b'＝a"k"：k"b"由于d"不在a"b"上，所以點D不屬于直線AB。2.3.5兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置有平行、相交和交叉三種情況。

1．兩直線平行若空間兩直線平行，則它們的各組同面投影必然互相平行；反之，如果兩直線的各組同面投影互相平行，則空間兩直線必平行。ZXYWOYHaa

a

bb

d

b

c

c

d

cdZXYWOYHaa

a

bb(d")d

b

c

c

dc平行不平行2．兩直線相交ZXYWOYHaa

a

bb

b

●●●cdc

c

d

kkk

k

若兩直線相交，則兩直線的各組同面投影必相交，交點同時屬于兩直線，為兩直線的共有點，且符合點的投影規(guī)律。ZXYWOYHaa

b

bb

a

●cdc

c

d

●d

●●哪個是交點？兩直線不相交3．兩直線交叉既不平行，又不相交的兩條直線稱為交叉兩直線。

★同面投影可能相交，但投影的“交點”不滿足點的投影規(guī)律?！锿队暗摹敖稽c”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。d

b

a

abcdc

OX1

(2

)3(4)●12●●投影特性

●3

4

●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點2.4平面的投影2.4.1平面的表示法2.4.2平面的投影特性

2.4.3各種位置平面的三面投影及特性2.4.4平面上的點和直線的投影2.4.1平面的表示法●●●●●●abca

b

c

●●●●●●abca

b

c

abca

b

c

●●●●●●d●d

●abca

b

c

●●●●●●●●●●●●abca

b

c

直線及該直線外一點兩平行直線兩相交直線平面圖形不在同一直線上的三個點2.4.2平面的投影特性顯實性積聚性類似性平面平行于投影面時其投影反映實形平面垂直于投影面時其投影積聚為一條直線平面傾斜于投影面時其投影為原形的類似形CPABacbPACBacbPACBacb2.4.3各種位置平面的三面投影及特性

正平面（平行于Ｖ面）側(cè)平面（平行于Ｗ面）正垂面（垂直于Ｖ面）側(cè)垂面（垂直于Ｗ面）鉛垂面（垂直于Ｈ面）投影面平行面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面投影面垂直面垂直于某一投影面傾斜于另兩個投影面水平面（平行于Ｈ面）一般位置平面與三個投影面都傾斜特殊位置平面1.投影面平行面a

b

c

a

b

c

abcZXYWOYH投影特性1、在平面所平行的投影面上的投影反映實形；2、另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。反映實形積聚成直線且平行于OX積聚成直線且平行于OY2.投影面垂直面投影特性1.在平面所垂直的投影面上的投影積聚成直線；2.另兩個投影面上的投影分別為原形的類似形。積聚成直線原形的類似形原形的類似形a

b

c

a

b

c

abcZX