導(dǎo)數(shù)的幾何意義（兩課時）

導(dǎo)數(shù)的幾何意義第1課時①平均變化率函數(shù)y=f(x)的定義域D,x1.x2∈D,f(x)從x1到x2平均變化率為:②割線的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y③導(dǎo)數(shù)（瞬時變化率的概念）

由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的基本方法是:注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù).自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應(yīng)的形式.回顧問題1平面幾何中我們是怎樣判斷直線是否是圓的割線或切線的呢？直線和圓有唯一公共點(diǎn)問題2如圖直線l1是曲線C的切線嗎?l2呢?l2l1AB0xy問題3

那么對于一般的曲線，切線該如何尋找呢？PQoxyy=f(x)割線切線T

我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時,割線PQ如果趨近于確定位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.探究一：動手拖動點(diǎn)，觀察割線的變化趨勢，即:這個概念:①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).oxyPQy=f(x)割線切線T結(jié)論：

割線PQ切線PT，割線PQ的斜率

切線PT的斜率。

y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率．例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:①求出P點(diǎn)的坐標(biāo);②利用切線斜率的定義求出切線的斜率;③利用點(diǎn)斜式求切線方程.注意,曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個交點(diǎn),可以有多個,甚至可以無窮多個.結(jié)論:圓是一種特殊的曲線，圓的切線的定義并不能適用于一般曲線的切線，如圖中的雖然與曲線Ｃ有唯一的公共點(diǎn)，但我們不能認(rèn)為它與曲線Ｃ相切。而另一條直線，雖然與曲線Ｃ有且不只一個公共點(diǎn)，我們還是認(rèn)為它是曲線Ｃ在點(diǎn)A的切線。通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線，適用于各種曲線。所以這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。l2l1師生活動--實(shí)驗(yàn)探索探究二:解決“問題2”

l2l1B0xAy例2、如圖，它表示跳水運(yùn)動中高度隨時間變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖象。根據(jù)圖象，請描述、比較曲線h(t)在t0,t1,t2附近的變化情況。thot0t1t3

當(dāng)t=t0時,曲線h(t)在t0處的切線l0平行于x軸.

所以,在t=t0附近曲線比較平坦,

幾乎沒有下降.

當(dāng)t=t1時,曲線h(t)在t1處的切線l1的斜率

h′(t1)<0.

所以,在t=t1附近曲線下降,即函數(shù)h(t)在t=t1附近單調(diào)遞減.(3)當(dāng)t=t2時,曲線h(t)在t2處的切線l2的斜率

h′(t2)<0.

所以,在t=t2附近曲線下降,即函數(shù)h(t)在t=t2附近也單調(diào)遞減.與t2相比,曲線在t1附近下降得緩慢些.通過觀察跳水問題中導(dǎo)數(shù)的變化情況,你得到了哪些結(jié)論?(1)以直代曲：大多數(shù)函數(shù)就一小段范圍看，大致可以看作直線，某點(diǎn)附近的曲線可以用過該點(diǎn)的切線近似代替；(2)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系；(3)曲線的變化快慢及切線的傾斜角的內(nèi)在聯(lián)系.導(dǎo)數(shù)的幾何意義第2課時PQoxyy=f(x)割線切線T

我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時,割線PQ如果趨近于確定位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.復(fù)習(xí)回顧：1.曲線y=f(x)在某點(diǎn)處的切線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為：2.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率．即:練習(xí)：根據(jù)已知條件，畫出函數(shù)圖象在該點(diǎn)附近的大致形狀051510-55101520yx例1、如圖，它表示人體血管中藥物濃度c=f(t)(單位：mg/mL)隨時間t(單位：min)變化的函數(shù)圖象。根據(jù)圖象，估計t=0.5,0.8時，血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到0.1)00.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.80.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.8t(min)c(mg/mL)解：血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率，就是藥物濃度f(t)在此時刻的導(dǎo)數(shù)。作t=0.5處的切線,它的斜率約為0所以,作t=0.8處的切線,它的斜率約為-1.5所以,因此在t=0.5和0.8處藥物濃度的瞬時變化率分別為0和-1.5.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)即：

（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的,就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)。（1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個常數(shù)，不是變數(shù)?！昂瘮?shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”,“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系。

（3）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，即。這也