浙江省麗水地區(qū)四校 2108-2023年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)是()A．420 B．210 C．70 D．352．如圖所示莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽力測(cè)試中的成績(jī)單位：分，已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則x、y的值分別為A．7、8 B．5、7C．8、5 D．7、73．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為A． B． C． D．4．在區(qū)間上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)無(wú)零點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．5．已知(為虛數(shù)單位)，則A． B． C． D．6．某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名.為了解男女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則宜采用的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法 C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法7．期末考試結(jié)束后，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)甲：我不能及格.乙：丁肯定能及格.丙：我們四人都能及格.?。阂俏夷芗案瘢蠹叶寄芗案?成績(jī)公布后，四人中恰有一人的預(yù)測(cè)是錯(cuò)誤的，則預(yù)測(cè)錯(cuò)誤的同學(xué)是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．函數(shù)y=x2㏑x的單調(diào)遞減區(qū)間為A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）9．下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）①命題：“、，若，則”，用反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)或；②若，則、中至少有一個(gè)大于；③若、、、、成等比數(shù)列，則；④命題：“，使得”的否定形式是：“，總有”.A． B． C． D．10．設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)a+i1+i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為A．-1B．1C．-2D．211．組合數(shù)恒等于（）A． B． C． D．12．若定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的最大值為（）A．1 B． C． D．－二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)且必過(guò)定點(diǎn)___．14．已知?jiǎng)t_______．15．的展開式中的系數(shù)是.（用數(shù)字填寫答案）16．已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）環(huán)境問(wèn)題是當(dāng)今世界共同關(guān)注的問(wèn)題，我國(guó)環(huán)?？偩指鶕?jù)空氣污染指數(shù)PM2.5濃度，制定了空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：空氣污染指數(shù)(0，50](50，100](100，150](150，200](200，300](300，＋∞)空氣質(zhì)量等級(jí)優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染某市政府為了打造美麗城市，節(jié)能減排，從2010年開始考察了連續(xù)六年11月份的空氣污染指數(shù)，繪制了頻率分布直方圖，經(jīng)過(guò)分析研究，決定從2016年11月1日起在空氣質(zhì)量重度污染和嚴(yán)重污染的日子對(duì)機(jī)動(dòng)車輛限號(hào)出行，即車牌尾號(hào)為單號(hào)的車輛單號(hào)出行，車牌尾號(hào)為雙號(hào)的車輛雙號(hào)出行(尾號(hào)是字母的，前13個(gè)視為單號(hào)，后13個(gè)視為雙號(hào)).王先生有一輛車，若11月份被限行的概率為0.05.(1)求頻率分布直方圖中m的值；(2)若按分層抽樣的方法，從空氣質(zhì)量等級(jí)為良與中度污染的天氣中抽取6天，再?gòu)倪@6天中隨機(jī)抽取2天，求至少有一天空氣質(zhì)量是中度污染的概率；(3)該市環(huán)保局為了調(diào)查汽車尾氣排放對(duì)空氣質(zhì)量的影響，對(duì)限行兩年來(lái)的11月份共60天的空氣質(zhì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如下表：空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)112711731根據(jù)限行前6年180天與限行后60天的數(shù)據(jù)，計(jì)算并填寫2×2列聯(lián)表，并回答是否有90%的把握認(rèn)為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關(guān).空氣質(zhì)量?jī)?yōu)、良空氣質(zhì)量污染總計(jì)限行前限行后總計(jì)參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中.18．（12分）學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目:甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球,乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同.每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球,若摸出的白球不少于2個(gè),則獲獎(jiǎng).(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)（1）求在1次游戲中,①摸出3個(gè)白球的概率;②獲獎(jiǎng)的概率;（2）求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列.19．（12分）環(huán)境監(jiān)測(cè)中心監(jiān)測(cè)我市空氣質(zhì)量，每天都要記錄空氣質(zhì)量指數(shù)(指數(shù)采取10分制，保留一位小數(shù))，現(xiàn)隨機(jī)抽取20天的指數(shù)(見(jiàn)下表)，將指數(shù)不低于視為當(dāng)天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良.天數(shù)12345678910空氣質(zhì)量指數(shù)天數(shù)11121314151617181920空氣質(zhì)量指數(shù)(1)求從這20天隨機(jī)抽取3天，至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率；(2)以這20天的數(shù)據(jù)估計(jì)我市總體空氣質(zhì)量(天數(shù)很多)，若從我市總體空氣質(zhì)量指數(shù)中隨機(jī)抽取3天的指數(shù)，用表示抽到空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知數(shù)列中，，。（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。21．（12分）某屆奧運(yùn)會(huì)上，中國(guó)隊(duì)以26金18銀26銅的成績(jī)稱金牌榜第三、獎(jiǎng)牌榜第二，某校體育愛(ài)好者在高三年級(jí)一班至六班進(jìn)行了“本屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)”的滿意度調(diào)查結(jié)果只有“滿意”和“不滿意”兩種，從被調(diào)查的學(xué)生中隨機(jī)抽取了50人，具體的調(diào)查結(jié)果如表：

班號(hào)

一班

二班三班

四班

五班

六班

頻數(shù)

5

9

11

9

7

9

滿意人數(shù)

4

7

8

5

6

6（1）在高三年級(jí)全體學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)估計(jì)該生持滿意態(tài)度的概率；（2）若從一班至二班的調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取4人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中對(duì)“本屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)”不滿意的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．22．（10分）對(duì)某種書籍的成本費(fèi)（元）與印刷冊(cè)數(shù)（千冊(cè)）的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.表中.為了預(yù)測(cè)印刷20千冊(cè)時(shí)每?jī)?cè)的成本費(fèi)，建立了兩個(gè)回歸模型：.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，擬認(rèn)為選擇哪個(gè)模型預(yù)測(cè)更可靠?（只選出模型即可）（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)和（1）中的模型選擇，求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)印刷20千冊(cè)時(shí)每?jī)?cè)的成本費(fèi).附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

將不同的染色方案分為：相同和不同兩種情況，相加得到答案.【詳解】按照的順序：當(dāng)相同時(shí)：染色方案為當(dāng)不同時(shí)：染色方案為不同的染色方案為：種故答案為A【點(diǎn)睛】本題考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分為相同和不同兩種情況是解題的關(guān)鍵.2、D【解析】

根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的公式分別進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，，得，則，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的公式是解決本題的關(guān)鍵．中位數(shù)即最中間的數(shù)據(jù)，平均數(shù)即將所有數(shù)據(jù)加到一起，除以數(shù)據(jù)個(gè)數(shù).3、D【解析】分析：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：，，，據(jù)此可得：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．4、D【解析】

在區(qū)間上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，其對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫?，所求事件?gòu)成的區(qū)域?yàn)樘菪螀^(qū)域，利用面積比求得概率.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)無(wú)零點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，則事件函數(shù)無(wú)零點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)樘菪危趨^(qū)間上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫危院瘮?shù)無(wú)零點(diǎn)的概率.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型計(jì)算概率，考查利用面積比求概率，注意所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域和事件所含基本事件構(gòu)成的區(qū)域.5、B【解析】

由題得，再利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算得解.【詳解】由題得，故答案為：B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.6、D【解析】試題分析：由于樣本中男生與女生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面存在差異性，因此所采用的抽樣方法是分層抽樣法，故選D.考點(diǎn)：抽樣方法.7、A【解析】分析：若甲預(yù)測(cè)正確，顯然導(dǎo)出矛盾．詳解：若甲預(yù)測(cè)正確，則乙，丙，丁都正確，乙：丁肯定能及格.丙：我們四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格顯然矛盾，故甲預(yù)測(cè)錯(cuò)誤.故選A.點(diǎn)睛：本題考查推理與論證，根據(jù)已知分別假設(shè)得出矛盾進(jìn)而得出是解題關(guān)鍵．8、B【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得（x>0）,令解得，因此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，故選B考點(diǎn)定位：本小題考查導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，意在考查考生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)本身隱含的定義域9、C【解析】

根據(jù)命題的否定形式可判斷出命題①的正誤；利用反證法可得出命題②的真假；設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列的定義和等比中項(xiàng)的性質(zhì)可判斷出命題③的正誤；利用特稱命題的否定可判斷出命題④的正誤.【詳解】對(duì)于命題①，由于可表示為且，該結(jié)論的否定為“或”，所以，命題①正確；對(duì)于命題②，假設(shè)且，由不等式的性質(zhì)得，這與題設(shè)條件矛盾，假設(shè)不成立，故命題②正確；對(duì)于命題③，設(shè)等比數(shù)列、、、、的公比為，則，.由等比中項(xiàng)的性質(zhì)得，則，命題③錯(cuò)誤；對(duì)于命題④，由特稱命題的否定可知，命題④為真命題，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，涉及反證法、等比中項(xiàng)以及特稱命題的否定，理解這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】a+i1+i=(a+i)(1-i)11、D【解析】

根據(jù)組合數(shù)的公式得到和，再比較選項(xiàng)得到答案.【詳解】．，可知故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)的計(jì)算公式，意在考查基本公式，屬于基礎(chǔ)題型.12、A【解析】

根據(jù)已知的偶函數(shù)以及f（2﹣x）＝﹣f（x）可以求得函數(shù)f（x）在[﹣2，2]上的解析式，進(jìn)而得到g（x）在[﹣2，2]上的解析式，對(duì)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)可知g（x）的增減性，通過(guò)增減性求得最大值【詳解】根據(jù),得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,且當(dāng)時(shí),,則時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，;又函數(shù)為偶函數(shù),所以當(dāng)時(shí)，則,可知當(dāng)，故在[-2，0)上單調(diào)遞增,時(shí)，在[0,2]上單調(diào)遞減,故.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)：對(duì)稱性，奇偶性，周期性．同時(shí)利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)研究了函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的最值問(wèn)題，是中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

令x﹣2＝0求得f（2）＝a0+2＝3，可得定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】令x﹣2＝0，即x＝2，可得f（2）＝a0+2＝3，可得函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），故答案為：（2，3）．【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和特殊點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

x用x+1代入二項(xiàng)式，可得，只需求二項(xiàng)式展開式的第3項(xiàng)，即可求?！驹斀狻縳用x+1代，可得，由第3項(xiàng)公式，得，填8.【點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用(1)求二項(xiàng)式定理中有關(guān)系數(shù)的和通常用“賦值法”．(2)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式Tr＋1＝Can－rbr是展開式的第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)．15、【解析】由題意，二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，令，得，則的系數(shù)是.考點(diǎn)：1.二項(xiàng)式定理的展開式應(yīng)用.16、0【解析】

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知，由可求得周期和，利用周期化簡(jiǎn)所求式子可求得結(jié)果.【詳解】為定義在上的奇函數(shù)，.由得：，是周期為的周期函數(shù)，令得：..故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求解函數(shù)值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)得到函數(shù)的周期.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)0.003；(2)；(3)有.【解析】

(1)因?yàn)橄扌蟹謫坞p號(hào)，王先生的車被限行的概率為0.05，再利用概率和為1解得答案.(2)利用分層抽樣得到空氣質(zhì)量良的天氣被抽取的有4天，空氣中度污染的天氣被抽取的有2天，利用排列組合公式的到?jīng)]有中度污染的概率，用1減得到答案.(3)補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算，跟臨界值表作比較得到答案.【詳解】(1)因?yàn)橄扌蟹謫坞p號(hào)，王先生的車被限行的概率為0.05，所以空氣重度污染和嚴(yán)重污染的概率應(yīng)為0.05×2＝0.1，由頻率分布直方圖可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得m＝0.003.(2)因?yàn)榭諝赓|(zhì)量良好與中度污染的天氣的概率之比為0.3∶0.15＝2∶1，按分層抽樣的方法從中抽取6天，則空氣質(zhì)量良的天氣被抽取的有4天，空氣中度污染的天氣被抽取的有2天.記事件A為“至少有一天空氣質(zhì)量是中度污染”.則(3)2×2列聯(lián)表如下：空氣質(zhì)量?jī)?yōu)、良空氣質(zhì)量污染總計(jì)限行前9090180限行后382260總計(jì)128112240由表中數(shù)據(jù)可得，，所以有90%的把握認(rèn)為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，分層抽樣，列聯(lián)表，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.18、（I）（i）；（ii）（II）X的分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望【解析】解：(1)①設(shè)“在一次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件Ai(i＝0,1,2,3)，則P(A3)＝·＝.②設(shè)“在一次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則B＝A2∪A3，又P(A2)＝＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2，P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C21·＝，P(X＝2)＝2＝，所以X的分布列是X

0

1

2

P

X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.19、（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)組合數(shù)公式計(jì)算所有可能的情況種數(shù)，得出答案；

（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式得出分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望．試題解析：(1)解：由表中數(shù)據(jù)可知，空氣質(zhì)量指數(shù)不低于的天數(shù)是12天，即空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)是12天.記“至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件，方法1：；方法2：.(2)20天中優(yōu)良天數(shù)的概率為.于是估計(jì)我市總體空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的概率為，因此服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布.即.所有可能取值為0，1，2，3.所以，，，.故的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望為：.20、(1)見(jiàn)證明；(2)【解析】

（1）由題設(shè)條件，化簡(jiǎn)得到，即可證得數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式．（2）由（1）可得，利用求和公式即可得出．【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以?shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以，即.（2）因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】分析：（1）因?yàn)樵诒怀槿〉?0人中，持滿意態(tài)度的學(xué)生共16人，即可得出持滿意態(tài)度的頻率．

（2）ξ的所有可能取