2022-2023學(xué)年陜西省安康市漢濱區(qū)七校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（含解析）

第第頁(yè)2022-2023學(xué)年陜西省安康市漢濱區(qū)七校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（含解析）2022-2023學(xué)年陜西省安康市漢濱區(qū)七校聯(lián)考高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

1.是虛數(shù)單位，()

A.B.C.D.

2.用分析法證明：欲使，只需，這里是的()

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.在平行六面體中，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，則()

A.B.

C.D.

4.“猜想”又稱“角谷猜想”、“克拉茨猜想”、“冰雹猜想”，它是指對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半；如果是奇數(shù)，就將它乘加，不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，最終總能夠得到已知正整數(shù)數(shù)列滿足上述變換規(guī)則，即：若，則()

A.B.C.D.

5.動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是()

A.橢圓B.雙曲線C.雙曲線的一支D.拋物線

6.設(shè)雙曲線：的離心率為，則的漸近線方程為()

A.B.C.D.

7.如圖，陰影部分的面積為()

A.B.C.D.

8.函數(shù)的圖象大致是()

A.B.

C.D.

9.王老師是高三的班主任，為了更好地督促班上的學(xué)生完成作業(yè)，王老師特地組建了一個(gè)學(xué)習(xí)小組的釘釘群，群的成員由學(xué)生、家長(zhǎng)、老師共同組成已知該釘釘群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長(zhǎng)人數(shù)，家長(zhǎng)人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)則該釘釘群人數(shù)的最小值為()

A.B.C.D.

10.已知，直線與曲線相切，則()

A.B.C.D.

11.如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率為()

A.B.C.D.

12.已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.B.C.D.

13.命題：，的否定為______．

14.為迎接年北京冬奧會(huì)，短道速滑隊(duì)組織甲、乙、丙等名隊(duì)員參加選拔賽，已知比賽結(jié)果沒有并列名次，記“甲得第一名”為，“乙得第一名”為，“丙得第一名”為，若是真命題，是真命題，則得第一名的是______．

15.已知空間向量?jī)蓛蓨A角為，其模都為，則______．

16.設(shè)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足，則的面積是______

17.已知復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位．

若是純虛數(shù)，求的值；

設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求的取值范圍．

18.計(jì)算：，；所以；又計(jì)算：，，；所以，．

分析以上結(jié)論，試寫出一個(gè)一般性的命題；

判斷該命題的真假，若為真，請(qǐng)用分析法給出證明；若為假，請(qǐng)說明理由．

19.已知數(shù)列中，，．

求、、的值；

猜測(cè)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

20.已知四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，．

證明：平面平面；

求二面角的余弦值．

21.已知橢圓：的離心率為．

求橢圓的方程；

若直線經(jīng)過的左焦點(diǎn)且與相交于、兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，求的方程．

22.已知函數(shù)．

求的單調(diào)區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，是否恒成立，并說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

故選：．

兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，運(yùn)算求得結(jié)果．

本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查分析法證明的原理和充分必要條件，關(guān)鍵明確分析法證明的本質(zhì)是：證明結(jié)論成立的充分條件成立．屬于基礎(chǔ)題．

分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論成立的充分條件成立，欲使，只需，即表示：條件成立，能推出成立，是的必要條件．

【解答】

解：分析法證明的本質(zhì)是證明結(jié)論成立的充分條件成立，即，所以是的必要條件，

故選：．

3.【答案】

【解析】解：如圖，

取的中點(diǎn)，連接，則，且，

四邊形為平行四邊形，則且，

，又，

．

故選：．

由題意畫出圖形，取的中點(diǎn)，連接，可得四邊形為平行四邊形，則且，用表示即可．

本題考查空間向量基本定理的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：對(duì)于，若，則，，，，顯然不符合題意，A錯(cuò)誤；

對(duì)于，若，則，，，，符合題意，B正確；

對(duì)于，若，則，，，，顯然不符合題意，C錯(cuò)誤；

對(duì)于，若，則，，，，符合題意，D正確．

故選：．

結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)即可．

本題主要考查遞推法求數(shù)列的項(xiàng)，屬中檔題．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，得到點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義可得的軌跡是以為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與基本概念，即可得出點(diǎn)的軌跡方程．

【解答】

解：動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離大，

將直線向左平移個(gè)單位，得到直線，

可得點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離．

因此點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線，

設(shè)拋物線的方程為，可得，得，

拋物線的方程為，即為點(diǎn)的軌跡方程．

故選D．

6.【答案】

【解析】解：因?yàn)殡x心率，所以，

故C的漸近線方程為．

故選：．

利用雙曲線的離心率，轉(zhuǎn)化求解，關(guān)系，即可得到雙曲線的漸近線方程．

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，漸近線方程的求法，是基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查定積分求面積，屬于基礎(chǔ)題．

確定積分區(qū)間與被積函數(shù)，求出原函數(shù)，即可求得定積分．

【解答】

解：由題意陰影部分的面積等于

，

故選C．

8.【答案】

【解析】解：當(dāng)時(shí)，，故排除；

當(dāng)時(shí)，，故排除．

故選：．

由及時(shí)，判斷函數(shù)值的情況，結(jié)合選項(xiàng)得解．

本題考查函數(shù)圖象的確定，屬于基礎(chǔ)題．

9.【答案】

【解析】解：依題意，設(shè)教師、家長(zhǎng)、女生、男生人數(shù)分別為，，，，且，，，，

于是，，，則，

又，解得，因此，

此時(shí)，所以當(dāng)，，，時(shí)，，

即該釘釘群人數(shù)的最小值為．

故選：．

設(shè)教師、家長(zhǎng)、女生、男生人數(shù)分別為，，，，根據(jù)給定的信息，建立不等關(guān)系，即可求解作答．

本題考查不等關(guān)系，考查不等式性質(zhì)，屬于中檔題．

10.【答案】

【解析】解：設(shè)切點(diǎn)為，

由，得，則，

由，得，

過切點(diǎn)的切線方程為，

把代入，可得，

．

令，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

而，可得在上的零點(diǎn)為，

即在上滿足的．

．

故選：．

設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)求出過切點(diǎn)的切線方程，把定點(diǎn)代入，求解，進(jìn)一步求解值．

本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

11.【答案】

【解析】解：類比“黃金橢圓”，在黃金雙曲線中，，，，

當(dāng)時(shí)，，

，

，整理得，

，解得，或舍去．

故黃金雙曲線的離心率．

故選A．

類比“黃金橢圓”，在黃金雙曲線中，當(dāng)時(shí)，，由此可知，整理得，即，解這個(gè)方程就能求出黃金雙曲線的離心率．

本題主要考查了類比推理、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．注意尋找黃金雙曲線中，，之間的關(guān)系，利用雙曲線的性質(zhì)求解．

12.【答案】

【解析】解：由在上有解，可得，在上有解，

令，，則，

則，

則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取德最小值．

故．

故選：．

由已知可得，在上有解，令，，則轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求．

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性及利用分離參數(shù)法求解最值問題，屬于中檔試題．

13.【答案】，使得

【解析】解：命題：，，

命題的否定為：，使得，

故答案為：，使得

根據(jù)全稱命題的否定方法，結(jié)合已知中的原命題，可得答案．

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的否定，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】甲

【解析】解：若是真命題，則，都是假命題，

此時(shí)是真命題，是真命題成立，

若是真命題，則，都是假命題，

此時(shí)是真命題，是假命題，此時(shí)是真命題不成立，

若是真命題，則，都是假命題，此時(shí)是真命題不成立，

故得第一名的是甲，

故答案為：甲．

分別討論，，是真命題，然后驗(yàn)證是真命題，是真命題是否成立即可．

本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的應(yīng)用，結(jié)合條件分別進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋覂蓛蓨A角為，

所以，

所以，

所以．

故答案為：．

根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義可求得，進(jìn)而求得的值，從而求解．

本題主要考查向量的概念與向量的模，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：如圖：

由得，，

，，

由題意：，，

，

所以．

故答案為：．

由雙曲線定義和勾股定理可得，可得．

本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】解：．

是純虛數(shù)，，即；

，

，

由復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，

得，解得．

的取值范圍是

【解析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)．

由實(shí)部為且虛部不為求得值；

求出，再由其實(shí)部與虛部均大于聯(lián)立不等式組求得的取值范圍．

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．

18.【答案】解：一般性命題：是正整數(shù)，

則；

命題為真命題，

證明如下：

，

，

，

．

【解析】根據(jù)所給結(jié)論，即可求解；

根據(jù)已知條件，結(jié)合綜合法，即可求證．

本題主要考查綜合法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：數(shù)列中，，，

，

，

．

由猜想．

下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：

當(dāng)時(shí)，，成立；

假設(shè)時(shí)成立，即，

則當(dāng)時(shí)，

，也成立，

．

【解析】由已知條件分別令，，，能求出、、的值．

由猜想然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

本題考查數(shù)列的前項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的猜想，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．

20.【答案】解：在等腰梯形中，，，，所以，即，

又因?yàn)?，且，所以平面?/p>

又因?yàn)槠矫妫虼似矫嫫矫妫?/p>

連接，由知，平面，所以，

所以，

所以，即，

又，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?/p>

令，則，，

所以平面的一個(gè)法向量，平面，平面的一個(gè)法向量，

所以，

所以二面角的余弦值為．

【解析】可得，即，即可得平面，即可證明平面平面．

連接，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量和平面的一個(gè)法向量即可得二面角的余弦值．

本題考查了空間面面垂直的判定、二面角的求解，屬于中檔題

21.【答案】解：由題意得，，，

解得，

橢圓方程為；

由題目可知不是直線，且、，

設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，

代入橢圓方程，整理得：，恒成立，

，，

由，得：，，

，

由題意知，

，

將代入上式并整理得，

，

因此，直線的方程為或．

【解析】根據(jù)離心率求出，即可得到方程；

直線的方程為，點(diǎn)、，利用向量求解即可．