彈塑性力學(xué)第九章

彈塑性力學(xué)第九章2023/8/141第1頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.1空間軸對稱問題特點(diǎn)：1.域內(nèi)所有物理量（體力、面力、位移、應(yīng)力、應(yīng)變）均為r、z的函數(shù)。與平面軸對稱問題類似，空間軸對稱問題的求解域、荷載和約束繞某一軸（z軸）對稱，導(dǎo)致如下簡化，2．荷載：體力f

=0，面力

，位移u

=0，應(yīng)力

r

=

z

=0，應(yīng)變

r

=

z

=0。第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程2023/8/142第2頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程3．待求的物理量（10個）：ur、w、

r、

、

z、

rz=

zr、

r、

、

z、

rz=

zr1.2基本方程1.平衡微分方程（兩個）：2023/8/143第3頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2.幾何方程（四個）：第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程3.變形協(xié)調(diào)方程（四個）2023/8/144第4頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月4.物理方程（四個）：第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程2023/8/145第5頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

r=

e

2G

r、

=

e

2G

、

z=

e

2G

z、

rz=G

rz

第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程其中——體積應(yīng)變或

2023/8/146第6頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月5.邊界條件第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程位移邊界：在Su上6.按應(yīng)力解法

力的邊界：在r=r0

在z=z0

四個應(yīng)力分量

r、

、

z、

rz為基本未知量。2023/8/147第7頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月基本方程（六個）：兩個平衡微分方程與四個用應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程；再加上力的邊界條件。第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程如果體力為零時，基本方程為齊次方程，則可采用應(yīng)力函數(shù)解法，引入應(yīng)力函數(shù)

(r,z)，使得應(yīng)力用

(r,z)表示:2023/8/148第8頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程

(r,z)滿足第一個平衡微分方程，而第二個平衡方程及四個相容方程，共同要求

2

2

=

4

=0

——

(r,z)應(yīng)滿足的基本微分方程。2023/8/149第9頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

7．按位移法解

第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程其中

a．基本未知函數(shù)：ur和w基本方程兩個：

并考慮適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件。2023/8/1410第10頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月b.

引入Love（拉甫、勒夫）位移函數(shù)（當(dāng)無體力作用時）第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程對于位移法的基本方程的解可由考慮體力的一個特解加上齊次方程的通解。軸對稱問題齊次拉梅方程的通解可以引入一個Love位移函數(shù)

(r,z),使得位移由

(r,z)表示：2023/8/1411第11頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月代入齊次拉梅方程，第一式自然滿足，而第二式為基本方程：

4

=0

(r,z)——為雙調(diào)和方程。第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程同時應(yīng)力分量由

(r,z)表示為：2023/8/1412第12頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月軸對稱問題按位移求解，歸結(jié)為尋找一個恰當(dāng)?shù)闹卣{(diào)和函數(shù)

(r,z)，使按其導(dǎo)出位移和應(yīng)力能滿足給定的邊界條件。第一節(jié)空間軸對稱問題的基本方程比較應(yīng)力函數(shù)解法和love位移法知：

(r,z)=

(r,z)2023/8/1413第13頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）半空間體，體力不計(jì)，邊界受法向集中力P作用.軸對稱問題，P作用在坐標(biāo)原點(diǎn)上。zRr

Px

yz已知，當(dāng)z=0且r

0時,

z=0,

zr=0；當(dāng)R

0時，應(yīng)力奇異。當(dāng)R

時，R=(r2+z2)1/2，

應(yīng)力、位移

0；2023/8/1414第14頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月選

(r,z)

為r和z的正一次冪式:

(r,z)=A1R+A2[R-zln(R+z)]——為雙調(diào)和函數(shù)第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）Boussinesq采取Love函數(shù)求解，

(r,z)為重調(diào)和函數(shù)，由

(r,z)的三次微分導(dǎo)出應(yīng)力。zRr

Px

yz2023/8/1415第15頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

(r,z)=A1R+A2[R-zln(R+z)]則

(r,z)自然滿足

4

=0。代入位移、應(yīng)力計(jì)算式.第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）zRr

Px

yz位移：2023/8/1416第16頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力：

第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）2023/8/1417第17頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)邊界條件來確定A1和A2：第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）zRr

Px

yz在z=0且r

0邊界上,

z=0自然滿足。在z=0且r

0邊界上,

zr=0

（1-2

）A1+A2=0—(a)2023/8/1418第18頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月在z=z0

0平面上，要求

z的合力與P平衡。還需一個條件（包括P的）。第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）將

z表達(dá)式代入，得zPrrdrz0

z2023/8/1419第19頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月P-4

A1(1-

）-2

A2=0——(b)第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）而2023/8/1420第20頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月由式(a)、(b)解得

A1=P/(2

)、A2=-（1-2

）P/（2

）第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）

代回位移、應(yīng)力表達(dá)式，見徐芝綸（上冊）P.297（9－17）、（9－18）式，稱為Boussinesq問題解。由P.297（9－17）、（9－18）式見：位移和應(yīng)力隨R的增加而減小。2023/8/1421第21頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月Prz第二節(jié)半空間體在邊界上受法向集中力

（Boussinesq問題）在z=0平面上2023/8/1422第22頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q已知條件：半空間體在邊界上受均布法向荷載q作用，在半徑為a的圓面積。zaqar尋求解答：1.

z=0邊界上的沉陷w

z=0

=?2.r=0（對稱軸）上的應(yīng)力和位移。求解方法：采用疊加法和半空間體邊界受法向集中力P的計(jì)算結(jié)果求解。2023/8/1423第23頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1邊界上一點(diǎn)M的豎向位移w：第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q1.設(shè)M點(diǎn)為圓面積之外：M點(diǎn)可以在荷載圓面積之外也可在之內(nèi)。zaqar當(dāng)半空間體邊界上受法向集中力P時，邊界上距P點(diǎn)為r的點(diǎn)豎向位移為：2023/8/1424第24頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月圓面積均布荷載q對圓外M點(diǎn)豎向位移影響可取一個微面元，距M點(diǎn)為s，角度為

處，dA=sd

ds，dA上q對M點(diǎn)影響：

第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q

rraMs1s2sdsd

zaqar2023/8/1425第25頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

rraMs1s2sdsd

第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q2023/8/1426第26頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月整體圓面積荷載對M點(diǎn)影響為第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q而

rraMs1s2sdsd

2023/8/1427第27頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

1為M點(diǎn)作為圓相切線OM線的夾角第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q

rraMs1s2sdsd

為了簡化積分將積分變量

轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

2023/8/1428第28頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月由圖形可見

asin

=rsin

,兩邊微分

acos

d

=rcos

d

第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q

rraMs1s2sdsd

2023/8/1429第29頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q

的取值范圍：由0

1

rraMs1s2sdsd

的取值范圍：0

2023/8/1430第30頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q2023/8/1431第31頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第二類橢圓積分

第一類橢圓積分第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q對于不同a/r可由橢圓積分表得到。2023/8/1432第32頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2．M點(diǎn)載荷在圓之內(nèi)：Ma

sdsd

rmn第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q圓內(nèi)距M點(diǎn)s處微面積q對M點(diǎn)沉陷的影響仍為2023/8/1433第33頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月整個圓面積荷載引起M點(diǎn)沉陷為：第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q第二類橢圓積分利用asin

=rsin

2023/8/1434第34頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)r=0為圓心處沉陷：當(dāng)r=a時圓周上沉陷：

3.2在z軸r=0上的應(yīng)力和位移在z軸上的應(yīng)力和位移比同一水平面上其它點(diǎn)的應(yīng)力和位移要大。第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q2023/8/1435第35頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月1.應(yīng)力：由于z軸對稱軸，所以在z軸上的應(yīng)力無剪應(yīng)力，均為主應(yīng)力：

r=

、

z第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q2023/8/1436第36頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2．位移：z軸上的ur=0，僅存在w第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q2023/8/1437第37頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)半空間體在邊界上受法向分布力q2023/8/1438第38頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力接觸壓力問題是在機(jī)械工程、土木工程中經(jīng)常碰到的問題，接觸問題在1881年由德國赫茲（HeinrichHerty）首先用數(shù)學(xué)彈性力學(xué)導(dǎo)出了計(jì)算公式。4.1接觸問題的特點(diǎn)：

1．兩個彈性體互相接觸，當(dāng)無壓力作用時，為點(diǎn)接觸或線接觸。當(dāng)有壓力作用時，彈性體發(fā)生變形，點(diǎn)接觸（或線接觸）變?yōu)槊娼佑|。2023/8/1439第39頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月2．彈性體變形后的接觸面為非常小的局部區(qū)域（相對于彈性體幾何尺寸）所以可看成半空間（半無限平面）體法向受局部分布力作用問題，但這里分布力q不是均勻的，同時q也未知，接觸面的局部區(qū)域也是未知的。第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力3．不計(jì)接觸面摩擦力。

2023/8/1440第40頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月

4.2

兩球體之間的接觸壓力：已知兩球體變形前在o點(diǎn)接觸，兩個坐標(biāo)系

roz1、roz2第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力rOz1z2O2O1R2R1球1：E1

、

1、R1球2：E2

、

2、R2

M1M2r距接觸點(diǎn)z軸為r的兩球表面上M1和

M2點(diǎn)的z坐標(biāo)分別為（M1和M2與點(diǎn)o很近）2023/8/1441第41頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力rOz1z2O2O1R2R1M1M2r則2023/8/1442第42頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力在已知P壓力作用下，兩球在接觸點(diǎn)附近發(fā)生變形有一個接觸面，根據(jù)對稱性接觸面為以a為半徑的圓。rOz1z2O2O1R2R1M1M2rM1rPPoz1z2O1M2ar2023/8/1443第43頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力1．a(chǎn)為待求量，同時接觸面上有接觸壓力q（待求）。2．由于接觸問題是局部變形，在球體遠(yuǎn)離o點(diǎn)的任意點(diǎn)位移為剛體位移。兩球內(nèi)距o點(diǎn)很遠(yuǎn)處的相對位移（剛體位移）為

？下面要建立（找出）三個條件（幾何、物理、平衡方程）尋求a

、q

和

。2023/8/1444第44頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力求解：首先根據(jù)接觸面變形（位移）來建立一個關(guān)系球1：觸面上o點(diǎn)、M1點(diǎn)沿z1軸位移為w1(o)、w1而w1(o)=w1+z1

M1rPPoz1z2O1M2ar2023/8/1445第45頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力球2：觸面上o點(diǎn)、M2點(diǎn)沿z2軸位移為w2(o)、w2w2(o)=w2+z2

而w1(o)+w2(o)=w1+z1+w2+z2w1(o)+w2(o)=w1+w2+

r2或M1rPPoz1z2O1M2ar2023/8/1446第46頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月而w1(o)+w2(o)=

第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力——兩球體距o點(diǎn)較遠(yuǎn)處兩點(diǎn)的趨近距離。

=w1+w2+

r2——變性協(xié)調(diào)關(guān)系w1(o)+w2(o)=w1+w2+

r2由于接觸問題可看成半無限體受局部垂直分布力問題，w1和w2可以利用上一節(jié)的結(jié)果。M1rPPoz1z2O1M2ar2023/8/1447第47頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)兩球體之間的接觸壓力—相當(dāng)物理和幾何關(guān)系2023/8/1448第48頁，課件共57頁，創(chuàng)作于2023年2月代入

=w1+w2+

r2在此式中a、q和

未知。第四節(jié)兩