云南省玉溪市玉溪第一中學2023年高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線，過其焦點的直線交拋物線于兩點，若，則的面積（為坐標原點）為（）A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，是復數(shù)的共軛復數(shù)，則下列關(guān)于復數(shù)的說法正確的是（）A． B．C． D．復數(shù)在復平面內(nèi)表示的點在第四象限3．設，向量，若，則等于()A． B． C．－4 D．44．二項式展開式中，的系數(shù)是（

）A． B． C．

D．5．過點且斜率為的直線與拋物線：交于，兩點，若的焦點為，則（）A． B． C． D．6．已知曲線在處的切線與直線平行，則的值為（）A．-3 B．-1 C．1 D．37．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（）A． B． C． D．8．拋擲一枚均勻的骰子兩次，在下列事件中，與事件“第一次得到6點”不互相獨立的事件是（）A．“兩次得到的點數(shù)和是12”B．“第二次得到6點”C．“第二次的點數(shù)不超過3點”D．“第二次的點數(shù)是奇數(shù)”9．函數(shù)的部分圖象可能是（）A． B．C． D．10．已知，則（）A． B． C． D．11．某食堂一窗口供應2葷3素共5種菜，甲、乙兩人每人在該窗口打2種菜，且每人至多打1種葷菜，則兩人打菜方法的種數(shù)為（）A．64 B．81 C．36 D．10012．在底面為正方形的四棱錐中，平面，，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，若展開式的常數(shù)項的值不大于15，則a取值范圍為________.14．已知直線的極坐標方程為，為極點，點在直線上，線段上的點滿足，則點的軌跡的極坐標方程為_______________.15．某校高二學生一次數(shù)學診斷考試成績（單位：分）服從正態(tài)分布，從中抽取一個同學的數(shù)學成績，記該同學的成績?yōu)槭录浽撏瑢W的成績?yōu)槭录?，則在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率______．（結(jié)果用分數(shù)表示）附參考數(shù)據(jù)：；；．16．若三角形內(nèi)切圓半徑為r，三邊長為a,b,c，則，利用類比思想：若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個面的面積為，則四面體的體積________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若數(shù)列的前項和為，且，.（1）求，，；（2）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明.18．（12分）樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此，某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設進展情況的調(diào)查，大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，參與調(diào)查者中關(guān)注此問題的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機選出人，并將這人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示(1)求的值(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人進行問卷調(diào)查，求在第1組已被抽到人的前提下，第3組被抽到人的概率；（3）若從所有參與調(diào)查的人中任意選出人，記關(guān)注“生態(tài)文明”的人數(shù)為，求的分布列與期望.19．（12分）我國2019年新年賀歲大片《流浪地球》自上映以來引發(fā)了社會的廣泛關(guān)注，受到了觀眾的普遍好評.假設男性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為，女性觀眾認為《流浪地球》好看的概率為.某機構(gòu)就《流浪地球》是否好看的問題隨機采訪了4名觀眾（其中2男2女）.（1）求這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多的概率；（2）設表示這4名觀眾中認為《流浪地球》好看的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望.20．（12分）已知點為拋物線的焦點，點在拋物線上，且．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）已知點，延長交拋物線于點，證明：以點為圓心且與直線相切的圓，必與直線相切．21．（12分）如圖所示，三棱錐中，平面，，，為上一點，，，分別為，的中點.（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，不等式有解，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

首先過作，過作（為準線），，易得，.根據(jù)直線：與拋物線聯(lián)立得到，根據(jù)焦點弦性質(zhì)得到，結(jié)合已知即可得到，再計算即可.【詳解】如圖所示：過作，過作（為準線），.因為，設，則，.所以.在中，，所以.則.，直線為.，.所以，.在中，.所以.故選：B【點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，同時考查焦點弦的性質(zhì)，屬于中檔題.2、B【解析】

由復數(shù)的乘法除法運算求出，進而得出答案【詳解】由題可得，在復平面內(nèi)表示的點為，位于第二象限，，故A,C,D錯誤；，，故B正確；【點睛】本題考查復數(shù)的基本運算與幾何意義，屬于簡單題．3、D【解析】

直接利用向量垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因為，且，所以，化為，解得，故選D.【點睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是命題的熱點，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.4、B【解析】通項公式：，令，解得，的系數(shù)為，故選B.【方法點晴】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應用.5、D【解析】分析：由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標，由點斜式求出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標，利用數(shù)量積的坐標表示可得結(jié)果.詳解：拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線為，聯(lián)立直線與拋物線，消去可得，，解得，不仿，，則，故選D.點睛：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應用，平面向量的數(shù)量積的應用，意在考查綜合運用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題.6、C【解析】

由導數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線的斜率，根據(jù)兩直線平行斜率相等即可得到的值?！驹斀狻恳驗?，所以線在處的切線的斜率為，由于曲線在處的切線與直線平行，故，即，故選C．【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題7、C【解析】分析：先根據(jù)正態(tài)分布得再求最后求得=0.34.詳解：由正態(tài)分布曲線得所以所以=0.5-0.16=0.34.故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合思想和方法.（2）解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，要結(jié)合正態(tài)分布曲線的圖像和性質(zhì)解答，不要死記硬背.8、A【解析】

利用獨立事件的概念即可判斷．【詳解】“第二次得到6點”，“第二次的點數(shù)不超過3點”，“第二次的點數(shù)是奇數(shù)”與事件“第一次得到6點”均相互獨立，而對于“兩次得到的點數(shù)和是12”則第一次一定是6點，第二次也是6點，故不是相互獨立，故選D．【點睛】本題考查了相互獨立事件，關(guān)鍵是掌握其概念，屬于基礎題．9、A【解析】

考查函數(shù)的定義域、在上的函數(shù)值符號，可得出正確選項.【詳解】對于函數(shù)，，解得且，該函數(shù)的定義域為，排除B、D選項.當時，，，則，此時，，故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，一般從函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點、函數(shù)值符號進行判斷，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.10、B【解析】

由題意首先求得的值，然后利用二倍角公式整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意結(jié)合誘導公式可得：，則.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查誘導公式、二倍角公式的應用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.11、B【解析】

由題甲，乙均有兩種情況，一葷一素和兩素，再由分步原理可得種數(shù)?！驹斀狻考子袃煞N情況：一葷一素，種；兩素，種.故甲共有種，同理乙也有9種，則兩人打菜方法的種數(shù)為種.故選B.【點睛】本題考查分類加法和分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎題。12、B【解析】

底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，因為PB∥CM，所以就是異面直線PB與AC所成的角.【詳解】解：由題意：底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，

.

∴PBCM是平行四邊形，

∴PB∥CM，

所以∠ACM就是異面直線PB與AC所成的角.

設PA＝AB＝，在三角形ACM中，

∴三角形ACM是等邊三角形.

所以∠ACM等于60°，即異面直線PB與AC所成的角為60°.

故選：B.【點睛】本題考查了兩條異面直線所成的角的證明及求法.屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由二項式定理及展開式通項得：，又，所以，又時，展開式無常數(shù)項，即a取值范圍為，得解．【詳解】由二項式定理可得：展開式的常數(shù)項為，又展開式的常數(shù)項的值不大于15，則，又，所以，又時，展開式無常數(shù)項，即a取值范圍為，故答案為：．【點睛】本題考查了二項式定理及展開式通項，屬中檔題．14、【解析】

設的極坐標為，的極坐標為，將點的坐標代入直線上得出，由，得，得，代入后化簡看得出答案。【詳解】設的極坐標為，的極坐標為.所以,,且.由得，即.故答案為：。【點睛】本題考查動點的極坐標方程，考查相關(guān)點法求動點的軌跡方程，解本題的關(guān)鍵在于弄清楚主動點與從動點兩點之間極徑與極角之間的關(guān)系，并用這種相互關(guān)系進行替換，考查推理能力，屬于中等題。15、【解析】

計算出和，然后利用條件概率公式可得出的值.【詳解】由題意可知，，事件為，，，所以，，，由條件概率公式得，故答案為：.【點睛】本題考查條件概率的計算，同時也考查了正態(tài)分布原則計算概率，解題時要將相應的事件轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布事件，充分利用正態(tài)密度曲線的對稱性計算，考查計算能力，屬于中等題.16、．【解析】試題分析：由題意得三角形的面積可拆分成分別由三條邊為底，其內(nèi)切圓半徑為高的三個小三角形的面積之和，從而可得公式，由類比思想得，四面體的體積亦可拆分成由四個面為底，其內(nèi)切圓的半徑為高的四個三棱錐的體積之和，從而可得計算公式．考點：1．合情推理；2．簡單組合體的體積（多面體內(nèi)切球）．【方法點晴】此題主要考查合情推理在立體幾何中的運用方面的內(nèi)容，屬于中低檔題，根據(jù)題目前半段的“分割法”求三角形面積的推理模式，即以三角形的三條邊為底、其內(nèi)切圓半徑為高分割成三個三角形面積之和，類似地將四面體以四個面為底面、其內(nèi)切球半徑為高分割成四個三棱錐（四面體）體積之和，從而問題可得解決．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），證明見解析【解析】

（1）由已知條件分別取，能依次求出，，的值；（2）猜想.證明當是否成立，假設時，猜想成立，即：，證明當也成立，可得證明【詳解】解：（1）由題意：，，當時，可得，可得同理當時：，可得當時：，可得（2）猜想.證明如下：①時，符合猜想，所以時，猜想成立.②假設時，猜想成立，即：.（），，兩式作差有：，又，所以對恒成立.則時，，所以時，猜想成立.綜合①②可知，對恒成立.【點睛】本題主要考查數(shù)列的遞推式及通項公式的應用，數(shù)學歸納法的證明方法的應用，考查學生的計算能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.18、(1)(2)（3）【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖求出的值；（2）設從12人中隨機抽取3人，第1組已被抽到1人為事件，第3組抽到2人為事件，由條件概率公式得到所求概率；（3）的可能取值為0，1，2，3，求出相應的概率值，從而得到的分布列與期望.試題解析：（1）由，得，（2）第1，2，3組的人數(shù)分別為20人，30人，70人，從第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取12人，則第1，2，3組抽取的人數(shù)分別為2人，3人，7人.設從12人中隨機抽取3人，第1組已被抽到1人為事件，第3組抽到2人為事件，則（3）從所有參與調(diào)查的人中任意選出1人，關(guān)注“生態(tài)文明”的概率為的可能取值為0，1，2，3.，，所以的分布列為，19、（1）（2）見解析【解析】

設表示2名女性觀眾中認為好看的人數(shù)，表示2名男性觀眾中認為好看的人數(shù)，則，.(1)設事件表示“這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多”，則,從而可得結(jié)果；(2)的可能取值為0，1，2，3，4，求出相應的概率值，即可得到分布列與期望.【詳解】設表示2名女性觀眾中認為好看的人數(shù)，表示2名男性觀眾中認為好看的人數(shù)，則，.（1）設事件表示“這4名觀眾中女性認為好看的人數(shù)比男性認為好看的人數(shù)多”，則,.（2）的可能取值為0，1，2，3，4，，，=，,，,，，∴的分布列為01234∴.【點睛】求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是:“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布X～B(n，p))，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析．【解析】解法一：（Ⅰ）由拋物線的定義得．因為，即，解得，所以拋物線的方程為．（Ⅱ）因為點在拋物線上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設．由，可得直線的方程為．由，得，解得或，從而．又，所以，，所以，從而，這表明點到直線，的距離相等，故以為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）設以點為圓心且與直線相切的圓的半徑為．因為點在拋物線上，所以，由拋物線的對稱性，不妨設．由，可得直線的方程為．由，得，解得或，從而．又，故直線的方程為，從而．又直線的方程為，所以點到直線的距離．這表明以點為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．考點：1、拋物線標準方程；2、直線和圓的位置關(guān)系．21、(1)見解析；（2）見解析.【解析】分析：由PA=AC=AB，N為AB上一點，AB=4AN，我們不妨令PA=1，然后以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系．由此不難得到各點的坐標（1）要證明CM⊥SN，我們可要證明即可，根據(jù)向量數(shù)量積的運算，我們不難證明；（2）要求平面與平面CMN所成角的大小，我們只要利用求向量夾角的方法，求出平面與平面CMN的法向量的夾角，再由它們之間的關(guān)系，易求出平面與平面CMN所