平面問題有限單元法課件

第六章用有限單元法解平面問題

第六章用有限元法解平面問題例題第十一節(jié)應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法的基本方程

第十節(jié)計(jì)算實(shí)例

第九節(jié)計(jì)算成果的整理

第八節(jié)解題的具體步驟單元的劃分第七節(jié)結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點(diǎn)平衡方程組習(xí)題的提示與答案教學(xué)參考資料第六章用有限單元法解平面問題第六章用有限元法解平面1第六章用有限單元法解平面問題

第六章用有限單元法解平面問題1.有限元法（FiniteElementMethod）

FEM2.FEM的特點(diǎn)

概述（1）具有通用性和靈活性。

首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再利用分片插值技術(shù)與虛功原理或變分方法進(jìn)行求解。簡稱FEM，是彈性力學(xué)的一種近似解法。第六章用有限單元法解平面問題第六章用有限單元法解平2第六章用有限單元法解平面問題

簡史3.FEM簡史

（2）對同一類問題，可以編制出通用程序，應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。

（3）只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達(dá)到工程要求的精度。1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。FEM是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法。第六章用有限單元法解平面問題簡史3.FEM簡史3第六章用有限單元法解平面問題

1970年后，F(xiàn)EM被引入我國，并很快地得到應(yīng)用和發(fā)展。簡史1956年，特納等人提出了FEM。

20世紀(jì)50年代，平面問題的FEM建立，并應(yīng)用于工程問題。1960年提出了FEM的名稱。20世紀(jì)60年代后，F(xiàn)EM應(yīng)用于各種力學(xué)問題和非線性問題，并得到迅速發(fā)展。第六章用有限單元法解平面問題1970年后，F(xiàn)EM4第六章用有限單元法解平面問題

導(dǎo)出方法5.本章介紹平面問題的FEM

4.FEM的主要導(dǎo)出方法

應(yīng)用靜力方法或變分方法導(dǎo)出。僅敘述按位移求解的方法。且一般都以平面應(yīng)力問題來表示。第六章用有限單元法解平面問題導(dǎo)出方法5.本章介紹平面問5第六章用有限單元法解平面問題

§6-1

基本量和基本方程的

矩陣表示

本章無特別指明，均表示為平面應(yīng)力問題的公式。

采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡潔，且便于編制程序。第六章用有限單元法解平面問題§6-1基本量和基本方6第六章用有限單元法解平面問題

基本物理量：

體力:基本物理量位移函數(shù):應(yīng)變:應(yīng)力:結(jié)點(diǎn)位移列陣:結(jié)點(diǎn)力列陣:面力:第六章用有限單元法解平面問題基本物理量：體力:基本物7第六章用有限單元法解平面問題

物理方程:

FEM中應(yīng)用的方程：

幾何方程:應(yīng)用的方程其中D為彈性矩陣，對于平面應(yīng)力問題是:第六章用有限單元法解平面問題物理方程:FEM中應(yīng)8第六章用有限單元法解平面問題

--結(jié)點(diǎn)虛位移;--對應(yīng)的虛應(yīng)變。應(yīng)用的方程ij虛功方程:其中:

在FEM中，用結(jié)點(diǎn)的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。第六章用有限單元法解平面問題--9第六章用有限單元法解平面問題

3.整體分析。

§6-2有限單元法的概念

FEM的概念，可以簡述為：采用有限自由度的離散單元組合體模型去描述實(shí)際具有無限自由度的考察體，是一種在力學(xué)模型上進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算方法。

其理論基礎(chǔ)是分片插值技術(shù)與變分原理。FEM的概念1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)；

2.單元分析；

FEM的分析過程：第六章用有限單元法解平面問題3.整體分析?！?10第六章用有限單元法解平面問題

結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的對象是離散化結(jié)構(gòu)。如桁架，各單元（桿件）之間除結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián)系（圖（a））。彈力研究的對象，是連續(xù)體（圖（b）)。結(jié)構(gòu)離散化1.

結(jié)構(gòu)離散化－－將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)第六章用有限單元法解平面問題結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的對象是離散化11第六章用有限單元法解平面問題

將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)（圖（c））：即將連續(xù)體劃分為有限多個(gè)、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點(diǎn)處用絞連結(jié)起來，構(gòu)成所謂‘離散化結(jié)構(gòu)’。結(jié)構(gòu)離散化第六章用有限單元法解平面問題將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)（12第六章用有限單元法解平面問題

圖（c）與圖(a）相比，兩者都是離散化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖（c）的單元是三角形塊體（注意：三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。結(jié)構(gòu)離散化例如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點(diǎn)用鉸連接起來。第六章用有限單元法解平面問題圖（c）與圖(a）相比，13第六章用有限單元法解平面問題

2.單元分析

求解方法

每個(gè)三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、各向同性的完全彈性體。因單元內(nèi)部仍是連續(xù)體，應(yīng)按彈性力學(xué)方法進(jìn)行分析。

取各結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量。然后對每個(gè)單元,分別求出各物理量,并均用來表示。

第六章用有限單元法解平面問題2.單元分析求解方法14第六章用有限單元法解平面問題

（1）應(yīng)用插值公式,由單元結(jié)點(diǎn)位移，求單元的位移函數(shù)求解方法這個(gè)插值公式稱為單元的位移模式，為：

單元分析的主要內(nèi)容：

第六章用有限單元法解平面問題（1）應(yīng)用插值公式,由15第六章用有限單元法解平面問題

（4）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力，求出單元的結(jié)點(diǎn)力，表示為（3）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變，求出單元的應(yīng)力，表示為

（2）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)d，求出單元的應(yīng)變，表示為求解方法第六章用有限單元法解平面問題（4）應(yīng)用虛功方程，由單元16第六章用有限單元法解平面問題

－－單元對結(jié)點(diǎn)的作用力，與數(shù)值相同,方向相反，作用于結(jié)點(diǎn)。

--結(jié)點(diǎn)對單元的作用力，作用于單元，稱為結(jié)點(diǎn)力，以正標(biāo)向?yàn)檎?。求解方法第六章用有限單元法解平面問題－－單元對結(jié)點(diǎn)的17第六章用有限單元法解平面問題

（5）將每一單元中的各種外荷載，按虛功等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上，化為結(jié)點(diǎn)荷載，表示為

求解方法第六章用有限單元法解平面問題（5）將每一單元中的各種外18第六章用有限單元法解平面問題

為已知值,是用結(jié)點(diǎn)位移表示的值。通過求解聯(lián)立方程，得出各結(jié)點(diǎn)位移值，從而求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。

各單位移置到i結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)荷載其中表示對圍繞i結(jié)點(diǎn)的單元求和；求解方法3.整體分析各單元對i結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力作用于結(jié)點(diǎn)i上的力有：第六章用有限單元法解平面問題19第六章用有限單元法解平面問題

求解方法

3.整體分析

2.對單元進(jìn)行分析

1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)

歸納起來，F(xiàn)EM分析的主要步驟：

（1）單元的位移模式（2）單元的應(yīng)變列陣（4）單元的結(jié)點(diǎn)力列陣（5）單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣建立結(jié)點(diǎn)平衡方程組，求解各結(jié)點(diǎn)的位移。（3）單元的應(yīng)力列陣第六章用有限單元法解平面問題求解方法3.整體分析20第六章用有限單元法解平面問題

思考題

1.桁架的單元為桿件，而平面體的單元為三角形塊體，在三角形內(nèi)仍是作為連續(xù)體來分析的。前者可用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解，后者只能用彈性力學(xué)方法求解，為什么？2.在平面問題中，是否也可以考慮其它的單元形狀，如四邊形單元？第六章用有限單元法解平面問題思考題1.桁架的單元為桿21第六章用有限單元法解平面問題

應(yīng)用插值公式，可由求出位移。

首先必須解決：由單元的結(jié)點(diǎn)位移來求出單元的位移函數(shù)

FEM是取結(jié)點(diǎn)位移為基本未知數(shù)的。問題是如何求應(yīng)變、應(yīng)力。

這個(gè)插值公式表示了單元中位移的分布形式，因此稱為位移模式?！?-3單元的位移模式與

解答的收斂性

位移模式第六章用有限單元法解平面問題應(yīng)用插值公式，可由求22第六章用有限單元法解平面問題

插值公式（a）在結(jié)點(diǎn)應(yīng)等于結(jié)點(diǎn)位移值。由此可求出

泰勒級數(shù)展開式中，低次冪項(xiàng)是最重要的。所以三角形單元的位移模式，可取為：

三角形單元（a）第六章用有限單元法解平面問題插值公式（a23第六章用有限單元法解平面問題

將式（a）按未知數(shù)歸納為:

其中包含三角形單元或用矩陣表示為:（b）第六章用有限單元法解平面問題將式（a）按未知數(shù)24第六章用有限單元法解平面問題

N－－

稱為形（態(tài)）函數(shù)矩陣。三角形單元（c）第六章用有限單元法解平面問題N－－稱為形（態(tài)）函數(shù)25第六章用有限單元法解平面問題

A為三角形的面積（圖示坐標(biāo)系中，按逆時(shí)針編號），有：其中:三角形單元第六章用有限單元法解平面問題A為三角形26第六章用有限單元法解平面問題

三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式，略去了2次以上的項(xiàng)，因而其誤差量級是且其中只包含了的1次項(xiàng)，所以在單元中的分布如圖（a）所示，的分布如圖（b）、（c）所示。三角形單元(a)(b)(c)1第六章用有限單元法解平面問題三結(jié)點(diǎn)三角形單元的27第六章用有限單元法解平面問題

所以當(dāng)單元趨于很小時(shí)，即時(shí)，為了使FEM之解逼近于真解。則為了保證FEM收斂性,位移模式應(yīng)滿足下列條件：

FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎(chǔ)的。

收斂性條件第六章用有限單元法解平面問題所以當(dāng)單元28第六章用有限單元法解平面問題

因?yàn)楫?dāng)單元時(shí)，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量－－剛體位移和常量位移。（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。

收斂性條件（2）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。第六章用有限單元法解平面問題因?yàn)楫?dāng)單元29第六章用有限單元法解平面問題

收斂性條件可見剛體位移項(xiàng)在式（a）中均已反映。與剛體位移相比，將式（a）寫成第六章用有限單元法解平面問題收斂性條件可見剛體位移項(xiàng)在30第六章用有限單元法解平面問題

（3）位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。即應(yīng)盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù)性。在三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)；在兩單元邊界ij

上，之間均為線性變化，也為連續(xù)。對式（a）求應(yīng)變，得：收斂性條件可見常量應(yīng)變也已反映。第六章用有限單元法解平面問題（3）位移模式應(yīng)盡可能反映31第六章用有限單元法解平面問題

（1）和（2）是必要條件，而加上（3）就為充分條件。收斂性條件

為了保證FEM的收斂性：第六章用有限單元法解平面問題（1）和（2）32第六章用有限單元法解平面問題

思考題1.應(yīng)用泰勒級數(shù)公式來選取位移模式，為什么必須從低次項(xiàng)開始選?。?.試考慮：將結(jié)構(gòu)力學(xué)解法引入到求解連續(xù)體的問題時(shí)，位移模式的建立是一個(gè)關(guān)鍵性工作，它使得單元(連續(xù)體)內(nèi)部的分析工作都有可能進(jìn)行了。

第六章用有限單元法解平面問題思考題1.應(yīng)用泰勒級數(shù)公式33第六章用有限單元法解平面問題

§6-4單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣位移函數(shù)其中，

單元中的位移函數(shù)用位移模式表示為

第六章用有限單元法解平面問題§6-4單元的應(yīng)變列陣34第六章用有限單元法解平面問題

應(yīng)用幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣：

應(yīng)變第六章用有限單元法解平面問題應(yīng)用幾何方程，求出單元的應(yīng)35第六章用有限單元法解平面問題

應(yīng)變S——稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，寫成分塊形式為再應(yīng)用物理方程，求出單元的應(yīng)力列陣：B——稱為應(yīng)變矩陣，用分塊矩陣表示，

第六章用有限單元法解平面問題應(yīng)變S——稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣36第六章用有限單元法解平面問題

對于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)力，均成為常量，因此，稱為常應(yīng)變（應(yīng)力）單元。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級是其精度比位移低一階，且相鄰單元的應(yīng)力是跳躍式的。應(yīng)力第六章用有限單元法解平面問題對于37第六章用有限單元法解平面問題

思考題1.如果在位移模式中取到泰勒級數(shù)中的二次冪項(xiàng)，略去高階小量，試考慮位移、應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級。第六章用有限單元法解平面問題思考題1.如果在位移模式中38第六章用有限單元法解平面問題

§6-5單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣

現(xiàn)在來考慮其中一個(gè)單元：模型

在FEM中，首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型。第六章用有限單元法解平面問題§6-5單元的結(jié)點(diǎn)力列39第六章用有限單元法解平面問題

（2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián)系，只在結(jié)點(diǎn)互相聯(lián)系。（1）將作用于單元上的各種外荷載，按靜力等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上去，化為等效結(jié)點(diǎn)荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載。第六章用有限單元法解平面問題（2）單元與周圍的單元在邊40第六章用有限單元法解平面問題

假想將單元與結(jié)點(diǎn)i切開，則：

其數(shù)值與相同，而方向相反。結(jié)點(diǎn)力以沿正坐標(biāo)向?yàn)檎?。對單元而言，這是作用于單元上的“外力”。

結(jié)點(diǎn)作用于單元上的力，稱為結(jié)點(diǎn)力，單元作用于結(jié)點(diǎn)的力，為：第六章用有限單元法解平面問題假想將單元與結(jié)點(diǎn)i切開，41第六章用有限單元法解平面問題

按虛功方程，在虛位移上，外力的虛功等于應(yīng)力的虛功。結(jié)點(diǎn)力而其內(nèi)部有應(yīng)力作用，

考察已與結(jié)點(diǎn)切開后的單元，則此單元上作用有外力－－結(jié)點(diǎn)力，應(yīng)用虛功方程，求單元的結(jié)點(diǎn)力：第六章用有限單元法解平面問題按虛功方程，42第六章用有限單元法解平面問題

假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點(diǎn)虛位移則單元內(nèi)任一點(diǎn)（x,y）的虛位移為單元內(nèi)任一點(diǎn)（x,y）的虛應(yīng)變?yōu)榇胩摴Ψ匠蹋涸趩卧校饬ΓńY(jié)點(diǎn)力）在虛位移（結(jié)點(diǎn)虛位移）上的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功，即：虛功方程第六章用有限單元法解平面問題假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點(diǎn)虛位移43第六章用有限單元法解平面問題

其中與無關(guān)，故式(a)成為式(b)是由應(yīng)力求結(jié)點(diǎn)力的一般公式。

因?yàn)槭仟?dú)立的任意的虛位移，虛功方程對任意的均應(yīng)滿足，可得出代入

(b)第六章用有限單元法解平面問題其中與44第六章用有限單元法解平面問題

式（c）是由結(jié)點(diǎn)位移求結(jié)點(diǎn)力的一般公式，－－稱為單元的勁度矩陣K其中：

再將應(yīng)力公式代入上式，得單元?jiǎng)哦染仃嚕╟）（d）第六章用有限單元法解平面問題式（c）是由結(jié)點(diǎn)位移求結(jié)點(diǎn)45第六章用有限單元法解平面問題

對于三角形單元，B矩陣內(nèi)均為常數(shù)，有

代入B，D，得出k如書中（6-37）及（6-38）所示。第六章用有限單元法解平面問題對于三角形單元，B矩陣內(nèi)46第六章用有限單元法解平面問題

（1）是6×6的方陣，中每一個(gè)元素都表示單元各結(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)所引起的結(jié)點(diǎn)力。（2）由反力互等定理，所以是對稱矩陣，以對角線為對稱軸。單元?jiǎng)哦染仃噆的性質(zhì)：（3）當(dāng)單元作剛體平移時(shí)，如三角形內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，結(jié)點(diǎn)力也為0。第六章用有限單元法解平面問題（1）是6×6的方陣47第六章用有限單元法解平面問題

（4）由（3）可導(dǎo)出行列式。（5）的元素與單元的形狀和方位等有關(guān)，但與單元的大小和剛體的平動(dòng)以及作度轉(zhuǎn)動(dòng)無關(guān)。即有：中每一行（或列）的元素之和為零（其中第1、3、5元素之和或2、4、6元素之和也為0）。第六章用有限單元法解平面問題（4）由（3）可導(dǎo)出行列式48第六章用有限單元法解平面問題

（書中P.117頁），以直角三角形單元為例，計(jì)算了應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S和單元?jiǎng)哦染仃嚒?/p>

從例題中可以看出，將單元邊界上的應(yīng)力向結(jié)點(diǎn)移置，化為作用于結(jié)點(diǎn)上的力，正好就是結(jié)點(diǎn)力。在FEM中，單元邊界之間的聯(lián)系和相互作用力，都向結(jié)點(diǎn)簡化，歸結(jié)成為結(jié)點(diǎn)的鉸結(jié)和結(jié)點(diǎn)力。

思考題

例題試求出書中例題的位移模式。第六章用有限單元法解平面問題（書中P.49第六章用有限單元法解平面問題

§6－6荷載向結(jié)點(diǎn)移置

單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣

在FEM中，須將作用于單元中的外荷載向結(jié)點(diǎn)移置，化為等效結(jié)點(diǎn)荷載，第六章用有限單元法解平面問題§6－6荷載向結(jié)點(diǎn)移置50第六章用有限單元法解平面問題

（2）變形體靜力等效原則－－在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。

1、等效原則（1）剛體靜力等效原則－－使原荷載與移置荷載的主矢量以及對同一點(diǎn)的主矩也相同。

移置原則

剛體靜力等效原則只從運(yùn)動(dòng)效應(yīng)來考慮，得出移置荷載不是唯一的解；變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng)，在一定的位移模式下，其結(jié)果是唯一的，且也滿足了前者條件的。所以在FEM中，采用變形體的靜力等效原則。第六章用有限單元法解平面問題（2）變形體靜力等效原則－51第六章用有限單元法解平面問題

假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點(diǎn)虛位移，則點(diǎn)的虛位移為。使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功：

2、集中力的移置公式

原荷載作用于單元中任一點(diǎn)為單位厚度上的作用力；移置荷載作用于結(jié)點(diǎn)集中力第六章用有限單元法解平面問題假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點(diǎn)虛52第六章用有限單元法解平面問題

3、單元邊界上面力的移置公式

應(yīng)用式，將代之為并在邊界上積分，得:對于任意的虛位移，虛功方程都必須滿足，得：

面力第六章用有限單元法解平面問題3、單元邊界上面力53第六章用有限單元法解平面問題

應(yīng)用式，將代之為并對單元域A積分，得

4、單元內(nèi)體力的移置公式

體力

當(dāng)位移模式為線性函數(shù)時(shí)，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結(jié)點(diǎn)荷載相同。第六章用有限單元法解平面問題應(yīng)用式，將代之54第六章用有限單元法解平面問題

思考題1.試導(dǎo)出書中例題的荷載移置公式。

第六章用有限單元法解平面問題思考題1.試導(dǎo)出書中例題55第六章用有限單元法解平面問題

在單元分析中，從單元的結(jié)點(diǎn)位移→求位移分布→求應(yīng)變→求應(yīng)力→求結(jié)點(diǎn)力，為單元的內(nèi)力分析；外荷載移置到結(jié)點(diǎn)荷載，為單元的外力分析?！?－7結(jié)構(gòu)的整體分析

結(jié)點(diǎn)平衡方程組

假設(shè)將結(jié)點(diǎn)i與周圍的單元切開，則圍繞i結(jié)點(diǎn)的每個(gè)單元對i結(jié)點(diǎn)有結(jié)點(diǎn)力(）的作用,也有外荷載移置的結(jié)點(diǎn)荷載（）的作用。下面考慮整體分析。第六章用有限單元法解平面問題在單元分析中，從單56第六章用有限單元法解平面問題

對某一個(gè)單元，其中是對圍繞i結(jié)點(diǎn)的單元求和。

i結(jié)點(diǎn)的平衡條件為

結(jié)點(diǎn)平衡條件第六章用有限單元法解平面問題對某一個(gè)單元57第六章用有限單元法解平面問題

是單元結(jié)點(diǎn)的局部編號；

是整體結(jié)點(diǎn)的整體編號。

代入式

，可表示為

將式按整體結(jié)點(diǎn)編號排列，得整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組。第六章用有限單元法解平面問題是單元結(jié)點(diǎn)的局58第六章用有限單元法解平面問題

考慮結(jié)構(gòu)的約束條件后，從式求出，就可以求出各單元的位移和應(yīng)力。

－－整體結(jié)點(diǎn)位移列陣，－－整體結(jié)點(diǎn)荷載列陣，－－整體勁度矩陣。結(jié)點(diǎn)平衡方程組第六章用有限單元法解平面問題考慮結(jié)構(gòu)的約59第六章用有限單元法解平面問題

例2例1列出圖示結(jié)構(gòu)i結(jié)點(diǎn)的平衡條件。（見書中P.121）②①③④第六章用有限單元法解平面問題例2例1列出圖示結(jié)構(gòu)i結(jié)60第六章用有限單元法解平面問題

有限單元法的具體計(jì)算步驟：

§6－8解題的具體步驟

單元的劃分1、劃分單元網(wǎng)格，對單元和結(jié)點(diǎn)編號。

2、選定直角坐標(biāo)系，按程序要求填寫和輸入有關(guān)信息。單元內(nèi)的ijm的局部編號應(yīng)按書中規(guī)定的右手規(guī)則編號。否則會(huì)使三角形的面積出現(xiàn)負(fù)號等問題。第六章用有限單元法解平面問題有限單元法的具體計(jì)算步驟：61第六章用有限單元法解平面問題

3、使用已編好的程序進(jìn)行上機(jī)計(jì)算。事先須將有限單元法的公式，計(jì)算方法和步驟都編入程序。4、對成果進(jìn)行整理、分析。

對第1和第4步的工作，也盡可能讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行，以減少人工的工作量。如自動(dòng)劃分網(wǎng)格，整理成果等。第六章用有限單元法解平面問題3、62第六章用有限單元法解平面問題

關(guān)于單元的劃分，注意幾點(diǎn)：（8）結(jié)構(gòu)具有凹槽或孔洞等應(yīng)力集中處等。（1）單元大小問題；（2）單元在不同部位的合理布置問題；（3）三角形三個(gè)內(nèi)角最好較接近；（4）利用對稱性和反對稱性；（5）厚度突變之處和材料不同之處；（6）載荷作用（集中力或突變分布載荷）處；（7）水利閘壩工程問題；第六章用有限單元法解平面問題關(guān)于單元的劃分，注意幾點(diǎn)63第六章用有限單元法解平面問題

在有限單元法中，位移的精度較高，其誤差量級是，即與單元尺度的二次冪成正比。應(yīng)力的誤差量級是，即與單元的大小成正比。

§6－9計(jì)算成果的整理第六章用有限單元法解平面問題在有限單元64第六章用有限單元法解平面問題

三結(jié)點(diǎn)三角形單元的應(yīng)力的成果，不但應(yīng)力的精度較低，而且還產(chǎn)生了所謂應(yīng)力的波動(dòng)性。

對于結(jié)點(diǎn)位移的成果，可以直接采用。第六章用有限單元法解平面問題三結(jié)點(diǎn)三角形單元的65第六章用有限單元法解平面問題

應(yīng)力的波動(dòng)性在三結(jié)點(diǎn)三角形單元中較為顯著。由于計(jì)算出的應(yīng)力的精度較低。假設(shè)Ⅰ單元的應(yīng)力成果為，其中為真解，為誤差。則由于在結(jié)點(diǎn)都列出了平衡方程并令其滿足，從而使相鄰的Ⅱ單元的應(yīng)力趨近于。這就產(chǎn)生了應(yīng)力的波動(dòng)性。

原因是，第六章用有限單元法解平面問題應(yīng)66第六章用有限單元法解平面問題

為了提高應(yīng)力的精度，解決應(yīng)力波動(dòng)性問題，可以采用兩種應(yīng)力成果的整理方法：

一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因?yàn)樗婕暗膮^(qū)域范圍較小。

（1）兩相鄰單元平均法。

（2）繞結(jié)點(diǎn)平均法。第六章用有限單元法解平面問題為了提高67第六章用有限單元法解平面問題

在受面力邊界線附近，求得的應(yīng)力誤差較大?？刹捎孟蛲獠逯档姆椒ǎɡ龗佄锞€插值）來解決。

第六章用有限單元法解平面問題在受面力邊界線68第六章用有限單元法解平面問題

為了提高應(yīng)力的精度，可以采用兩種方法。是加密網(wǎng)格，減少單元的尺寸，以提高應(yīng)力的精度。是可以采用較多結(jié)點(diǎn)的單元，并使

位移模式中包含一些高冪次的項(xiàng)，從而提

高位移和應(yīng)力的精度。二一第六章用有限單元法解平面問題為了提高應(yīng)力的精69第六章用有限單元法解平面問題

書中應(yīng)用三結(jié)點(diǎn)三角形單元，計(jì)算了下列例題：§6－10

計(jì)算實(shí)例1.楔形體受自重及齊頂水壓力。

2.簡支梁受均布荷載。

3.圓孔附近的應(yīng)力集中。第六章用有限單元法解平面問題書中應(yīng)用三70第六章用有限單元法解平面問題

在整理應(yīng)力成果時(shí)，讀者應(yīng)注意，應(yīng)用三角形單元時(shí)，（1）采用兩單元平均法和繞結(jié)點(diǎn)平均法的應(yīng)力成果比較接近，但前者的精度略好于后者。

（2）邊界面的應(yīng)力，宜采用向外插值的方法求出。

第六章用有限單元法解平面問題在整理應(yīng)力71第六章用有限單元法解平面問題

在FEM中，將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)之后，有兩種導(dǎo)出FEM公式的主要方法：

§6－11應(yīng)用變分原理導(dǎo)出

有限單元法基本方程第六章用有限單元法解平面問題在FEM中，將連續(xù)體72第六章用有限單元法解平面問題

（2）建立單元的位移模式，求出單元中的位移分布，1.按靜力方法導(dǎo)出FEM公式

（1）取結(jié)點(diǎn)位移為基本未知數(shù)；（3）由幾何方程求出單元的應(yīng)變，（4）由物理方程求出單元的應(yīng)力，按結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出FEM公式第六章用有限單元法解平面問題（2）建立單元的位移模式，73第六章用有限單元法解平面問題

（5）由虛功方程求出單元的結(jié)點(diǎn)力，（6）由虛功方程求出單元的結(jié)點(diǎn)荷載

，

（7）建立結(jié)點(diǎn)平衡方程組，

按結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出FEM公式第六章用有限單元法解平面問題（5）由虛功方程求出單元的74第六章用有限單元法解平面問題

（1）變分原理中的極小勢能原理是2.按變分方法導(dǎo)出FEM公式

保留上述（1）-（4）步驟，然后應(yīng)用極小勢能原理導(dǎo)出FEM基本方程。按變分法導(dǎo)出FEM公式對于平面問題，第六章用有限單元法解平面問題（1）變分原理中的極小勢能75第六章用有限單元法解平面問題

對于連續(xù)體,變分的宗量是位移函數(shù)變分方程可表示為總勢能對的導(dǎo)數(shù)等于0，即

第六章用有限單元法解平面問題對于連續(xù)體,變分的宗量是位76第六章用有限單元法解平面問題

變分宗量由變換成（2）將經(jīng)典變分原理應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，則

總勢能、形變勢能和外力勢能，可以用單元的勢能之和來表示第六章用有限單元法解平面問題變分宗量由變換成（77第六章用有限單元法解平面問題

其中為三角形單元的面積。應(yīng)用前面記號,內(nèi)力勢能為第六章用有限單元法解平面問題其中為三角形單元的面積78第六章用有限單元法解平面問題

其中為三角形單元的受面力邊界。引用前面記號

外力勢能為總勢能為

第六章用有限單元法解平面問題其中為三角形單元79第六章用有限單元法解平面問題

故總勢能極小值條件變換為

（3）對于離散化結(jié)構(gòu)，泛函數(shù)的宗量變換為則式(n)成為引用矩陣運(yùn)算公式，第六章用有限單元法解平面問題故總勢能極小值條件變換80第六章用有限單元法解平面問題

其中第六章用有限單元法解平面問題其中81第六章用有限單元法解平面問題

代入式(o)，得出與結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出的相同方程，

從物理意義上講，將連續(xù)體的經(jīng)典變分原理(g)或(i)應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，成為式(p)。

第六章用有限單元法解平面問題代入式(o82第六章用有限單元法解平面問題

代入式(o)，得出與結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出的相同方程，

從物理意義上講，將連續(xù)體的經(jīng)典變分原理(g)或(i)應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，成為式(p)。

第六章用有限單元法解平面問題代入式(o83第六章用有限單元法解平面問題

第六章例題例題1例題2例題3例題4例題第六章用有限單元法解平面問題第六章例題例題1例題2例題84第六章用有限單元法解平面問題

例題1平面問題中采用的四結(jié)點(diǎn)矩陣單元，如圖所示。該單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣是

第六章例題ba第六章用有限單元法解平面問題例題185第六章用有限單元法解平面問題

采用的位移模式是

其中的系數(shù),由四個(gè)結(jié)點(diǎn)處的位移值,應(yīng)等于結(jié)點(diǎn)位移值的條件求出。

ab第六章用有限單元法解平面問題采用的位移模式是其中的系86第六章用有限單元法解平面問題

讀者試檢查其收斂性條件是否滿足？并估計(jì)位移和應(yīng)力的誤差量級。第六章例題第六章用有限單元法解平面問題讀87第六章用有限單元法解平面問題

例題2平面問題中采用的六結(jié)點(diǎn)三角形單

元，如圖所示。

該單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣為

其位移模式取為

第六章例題第六章用有限單元法解平面問題例題288第六章用有限單元法解平面問題

可以相似地表示。然后由六個(gè)結(jié)點(diǎn)處的條件求出讀者試檢查其位移模式的收斂性，并估計(jì)其位移和應(yīng)力的誤差量級。第六章用有限單元法解平面問題可以相89第六章用有限單元法解平面問題

在空間問題中，采用的最簡單的單元，是如圖所示的4結(jié)點(diǎn)四面體單元，

其位移模式是例題3第六章例題第六章用有限單元法解平面問題90第六章用有限單元法解平面問題

試考慮如何求出其系數(shù)并檢查位移模式的收斂性條件,并估計(jì)其位移和應(yīng)力的誤差量級。第六章用有限單元法解平面問題試考慮如何求出其系數(shù)91第六章用有限單元法解平面問題

例題4

圖（a）所示的深梁，在跨中受集中力F的作用，若取

試用有限單元法求解跨中的位移。第六章例題第六章