泛函分析-空間理論學(xué)習(xí)通超星課后章節(jié)答案期末考試題庫2023年

泛函分析—空間理論學(xué)習(xí)通超星課后章節(jié)答案期末考試題庫2023年[0,1]上的全體有理系數(shù)多項(xiàng)式在連續(xù)函數(shù)空間C[0,1]中是稠密的.

參考答案:

正確

Banach空間必為Hilbert空間，但反之不成立.

參考答案:

錯誤

N維實(shí)向量空間【圖片】上所定義的任何兩個(gè)范數(shù)都等價(jià).

參考答案:

正確

N維歐氏空間中點(diǎn)列的按距離收斂等價(jià)于（）.

參考答案:

按坐標(biāo)收斂

一個(gè)非空集合上的距離滿足（）.

參考答案:

對稱性_非負(fù)性_三角不等式

一切無限維Hilbert空間都與【圖片】內(nèi)積同構(gòu).

參考答案:

錯誤

以下關(guān)于有限維賦范空間的描述正確的是（）.

參考答案:

有限維賦范空間必可分._有限維賦范空間必完備._有限維賦范空間的任一子空間都是閉子空間.

以下關(guān)于線性空間中相關(guān)概念的敘述，不正確的是（）.

參考答案:

子集一定是子空間

以下實(shí)數(shù)空間的子空間中，不完備的是（）.

參考答案:

__

以下抽象空間中，既是距離空間，又是線性空間的是（）.

參考答案:

__

以下線性空間，不可以定義內(nèi)積的是（）.

參考答案:

其它三項(xiàng)都不對

以下線性空間中，可以定義內(nèi)積的是（）.

參考答案:

___

以下賦范空間中，具有Schauder基的無限維空間是（）.

參考答案:

_

以下選項(xiàng)中，不可分的距離空間為（）.

參考答案:

有界數(shù)列空間

任何Hilbert空間都具有標(biāo)準(zhǔn)正交基.

參考答案:

錯誤

任何有限維內(nèi)積空間必是可分的Hilbert空間.

參考答案:

正確

具有Schauder基的賦范空間一定是可分的.

參考答案:

正確

內(nèi)積同構(gòu)映射必為（）.

參考答案:

雙射_拓?fù)渫瑯?gòu)映射_等距映射_線性映射

內(nèi)積空間一定是（）.

參考答案:

線性空間_距離空間_賦范空間

內(nèi)積空間中的任何一個(gè)線性無關(guān)集，通過Schmidt正交化，可得到一個(gè)（）.

參考答案:

標(biāo)準(zhǔn)正交系

內(nèi)積空間的任何一個(gè)正交系都是線性無關(guān)集.

參考答案:

正確

在一個(gè)非空集合上()可以定義距離.

參考答案:

一定

在不可數(shù)集X上定義離散距離d，則距離空間（）是不可分的.

參考答案:

正確

在全體有理數(shù)Q上定義離散距離d，則（）是不完備的距離空間.

參考答案:

錯誤

在內(nèi)積同構(gòu)的意義下，可分Hilbert空間只有（）個(gè).

參考答案:

2

在可分的距離空間中，必包含（）.

參考答案:

可數(shù)子集_有限子集_稠密子集

在實(shí)數(shù)空間中，以下選項(xiàng)中是列緊集的有（）.

參考答案:

__

在實(shí)數(shù)空間中，全體有理數(shù)在全體無理數(shù)中稠密.

參考答案:

正確

在離散的距離空間中，以下選項(xiàng)中是列緊集的是（）.

參考答案:

單點(diǎn)集

在離散的距離空間中，列緊集一定是緊集.

參考答案:

正確

在等距同構(gòu)的意義下，任何距離空間都存在唯一的完備化空間.

參考答案:

正確

在賦范空間中，（）是凸集.

參考答案:

單位開球_單位閉球_子空間

在距離空間中，以下關(guān)于“完全有界集的性質(zhì)”的描述，正確的是（）.

參考答案:

完全有界集必可分_有限個(gè)完全有界集的并集是完全有界集_完全有界集的子集是完全有界集_完全有界集是有界集

在距離空間中，以下說法正確的是（）.

參考答案:

任意多個(gè)閉集的交集是閉集_任意多個(gè)開集的并集是開集

在距離空間中，壓縮映射一定是（）.

參考答案:

連續(xù)映射

在距離空間中，等距映射一定是（）.

參考答案:

單射_連續(xù)映射

在連續(xù)函數(shù)空間中，以下說法正確的是（）.

參考答案:

柯西列一定是收斂列_收斂列一定是柯西列

在通常的范數(shù)意義下，以下賦范空間是Banach空間的是（）.

參考答案:

__

復(fù)內(nèi)積空間上的內(nèi)積滿足（）.

參考答案:

對第一變元的線性性質(zhì)_非負(fù)性

如果一個(gè)非空集合上可定義一個(gè)距離，則以下說法正確的是（）.

參考答案:

可以無限多個(gè)距離

完備的距離空間一定是列緊空間

參考答案:

錯誤

實(shí)內(nèi)積空間上的內(nèi)積滿足（）.

參考答案:

對第一變元的線性性質(zhì)_對第二變元的線性性質(zhì)_對稱性_非負(fù)性

對任一賦范空間，其范數(shù)未必滿足平行四邊形法則。

參考答案:

正確

平方可和的數(shù)列空間【圖片】具有Schauder基.

參考答案:

正確

開集恰好由該集合的所有（）構(gòu)成.

參考答案:

內(nèi)點(diǎn)

無窮維可分的Hilbert空間與（）是內(nèi)積同構(gòu)的.

參考答案:

_

有界數(shù)列空間中點(diǎn)列的按距離收斂是（）.

參考答案:

其余三項(xiàng)都不對

有界數(shù)列空間的任何子空間都是不可分的.

參考答案:

錯誤

每個(gè)非零的線性空間都存在一個(gè)Hamel基.

參考答案:

正確

由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)滿足（）.

參考答案:

正齊次性_平行四邊形法則_三角不等式_非負(fù)性

線性空間上的任何兩個(gè)范數(shù)都等價(jià).

參考答案:

錯誤

記P[0,1]為[0,1]的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體,按照范數(shù)【圖片】成為賦范空間.則以下結(jié)論正確的是（）.

參考答案:

賦范空間P[0,1]不是Banach空間_P[0,1]是C[0,1]的子空間

設(shè)E與F是距離空間中的點(diǎn)集.以下命題中，相互等價(jià)的是（）.

參考答案:

E在F中稠密_F中每個(gè)點(diǎn)都是E的接觸點(diǎn)_F中每個(gè)點(diǎn)都是E中某點(diǎn)列的極限

設(shè)E和F是距離空間中的點(diǎn)集，則以下關(guān)于“E在F中稠密”的表述，正確的是（）.

參考答案:

_

設(shè)【圖片】與【圖片】為線性空間X上的兩個(gè)等價(jià)范數(shù)，則【圖片】與【圖片】都是Banach空間.

參考答案:

錯誤

設(shè)【圖片】與【圖片】為線性空間X上的兩個(gè)等價(jià)范數(shù)，則賦范空間【圖片】與【圖片】具有相同的（）.

參考答案:

列緊性_柯西列_收斂列_完備性

設(shè)【圖片】與【圖片】為線性空間X上的兩個(gè)等價(jià)范數(shù)，則賦范空間【圖片】與【圖片】具有相同的可分性.

參考答案:

正確

設(shè)【圖片】是Hilbert空間H的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，【圖片】則以下命題中正確的是（）.

參考答案:

S是完備的.__S是完全的._x關(guān)于S的Fourier級數(shù)收斂于x.

設(shè)【圖片】是內(nèi)積空間H的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，【圖片】則x的Fourier級數(shù)【圖片】必收斂于x.

參考答案:

錯誤

設(shè)【圖片】是內(nèi)積空間H的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，【圖片】則以下命題正確的是（）.

參考答案:

__

設(shè)【圖片】是內(nèi)積空間H的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交系，則以下命題中與其它三項(xiàng)不等價(jià)的是（）.

參考答案:

S是完備的.

設(shè)A、B是線性空間X的子空間，當(dāng)它們滿足（）時(shí)，X為A與B的直和.

參考答案:

_

設(shè)A是線性空間X的子集，則A的線性包是包含A的最小閉子空間.

參考答案:

錯誤

設(shè)A是距離空間X中的緊集，f是X到R的連續(xù)函數(shù).則f是有界的，并可取到上、下確界.

參考答案:

正確

設(shè)C[0,1]是[0,1]上的連續(xù)函數(shù)全體，定義【圖片】則d是C[0,1]上的一個(gè)距離.

參考答案:

正確

設(shè)E是內(nèi)積空間H的子空間，【圖片】則x在E中的最佳逼近點(diǎn)即為x在E中的投影.

參考答案:

正確

設(shè)E是賦范空間X的子空間。若E是Banach空間，則E是閉子空間。反之不成立。

參考答案:

正確

設(shè)H是數(shù)域K上的內(nèi)積空間,x,y【圖片】H.則以下命題中與“【圖片】”等價(jià)的是（）.

參考答案:

對任意的有_對任意的有_對任意的有

設(shè)M,N是內(nèi)積空間H的兩個(gè)非空開集，若【圖片】則【圖片】

參考答案:

正確

設(shè)M是Hilbert空間H的非空子集，則【圖片】當(dāng)且僅當(dāng)【圖片】

參考答案:

正確

設(shè)M是內(nèi)積空間H中的子集，【圖片】若【圖片】,則（）.

參考答案:

___

設(shè)M是內(nèi)積空間H的子集，則M的正交補(bǔ)是H的閉子空間.

參考答案:

正確

設(shè)M是內(nèi)積空間H的緊凸集，則x在M中的最佳逼近點(diǎn)是存在的，但不唯一.

參考答案:

錯誤

設(shè)M是線性空間X的子集，當(dāng)M滿足（）時(shí)，稱M為X的Hamel基.

參考答案:

M中任何有限個(gè)向量的線性組合都線性無關(guān)_X中任一向量都可以表示成M中有限個(gè)向量的線性組合

設(shè)R是實(shí)數(shù)集，定義d(x,y)=1+|x-y|,則d是R上的距離.

參考答案:

錯誤

設(shè)T是從距離空間X到距離空間Y的映射，則以下命題中與“T是連續(xù)映射”等價(jià)的是（）.

參考答案:

Y中任何閉集的原像是X中的閉集_Y中任何開集的原像是X中的開集

設(shè)X是Banach空間，則以下命題中正確的是（）.

參考答案:

X中任一絕對收斂的級數(shù)必收斂_X的完備化空間是它自己_X的閉子空間是Banach空間

設(shè)X是無限維賦范空間，則以下命題正確的是（）.

參考答案:

X中的有界閉集不是緊集_X中的單位開球不是列緊集

設(shè)X是賦范空間，則以下命題中與“X是有限維”等價(jià)的是（）.

參考答案:

X中的單位閉球是緊集_X中的有界集是列緊集_X中的單位開球是列緊集_X中的有界閉集是緊集

賦范子空間一定是距離子空間.

參考答案:

正確

賦范空間是內(nèi)積空間的充分必要條件是，其范數(shù)滿足平行四邊形法則。

參考答案:

正確

賦范空間的子空間一定不是開子空間.

參考答案:

錯誤

賦范空間的子空間必為閉子空間.

參考答案:

錯誤