脈沖作用下的生物力學(xué)系統(tǒng)非光滑分岔分析

脈沖作用下的生物力學(xué)系統(tǒng)非光滑分岔分析

1基于周期脈沖的分岔控制1999年，陳關(guān)榮等?，F(xiàn)實(shí)世界中的許多現(xiàn)象是呈狀態(tài)突變的,如動(dòng)物體中的心臟跳動(dòng)、生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和病理學(xué)中的并發(fā)節(jié)拍等.這些突變的持續(xù)時(shí)間與整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的持續(xù)時(shí)間相比是非常短暫的,可以認(rèn)為是瞬間發(fā)生的,人們提出了脈沖系統(tǒng)以描述這些特征.另一方面,基于脈沖系統(tǒng)理論的脈沖控制技術(shù)具有易于實(shí)施、控制成本相對(duì)較低等優(yōu)點(diǎn),而且有時(shí)能取得良好的控制性能,所以脈沖控制技術(shù)得到了廣泛的應(yīng)用,如應(yīng)用于衛(wèi)星運(yùn)行軌道的改變、生態(tài)系統(tǒng)的管理與控制、混沌系統(tǒng)的脈沖控制與同步等目前,周期解的穩(wěn)定性及分岔受到了許多學(xué)者的關(guān)注Chen系統(tǒng)的方程為其中a,b,c為Chen系統(tǒng)的參數(shù).在Chen系統(tǒng)的第一個(gè)方程上加一個(gè)周期脈沖,系統(tǒng)可以表示為其中δ(.)為Diracδ函數(shù),即δ(t)=0,t≠0且當(dāng)t=kτ,k∈N時(shí),系統(tǒng)(2)可表示為并假設(shè)即系統(tǒng)的解(x(t),y(t),z(t))在kτ時(shí)刻右連續(xù).參數(shù)a,b,c分別固定為a=35,b=3,c=19.此時(shí)未加脈沖作用的Chen系統(tǒng),即系統(tǒng)(1)具有三個(gè)平衡點(diǎn)A(0,0,0),B(3,3,3),C(-3,-3,3),其中A為鞍點(diǎn),B與C為穩(wěn)定焦點(diǎn);且未加脈沖作用的Chen系統(tǒng)具有自然的對(duì)稱性,即它在變換(x,y,z)→(-x,-y,z)下保持不變.系統(tǒng)初值均取為(-3.5,-3.5,1).未加脈沖作用時(shí)Chen系統(tǒng)的時(shí)間序列及相圖如圖1所示.2閃映射屬性與原系統(tǒng)的關(guān)系首先固定周期τ=1.57,取h作為分岔參數(shù),利用頻閃映射研究幅值h對(duì)系統(tǒng)的影響.針對(duì)h的某個(gè)變化范圍中的每一個(gè)值,求出系統(tǒng)的數(shù)值解,然后取出系統(tǒng)狀態(tài)的頻閃映射的點(diǎn),得到h對(duì)系統(tǒng)的影響.對(duì)每一個(gè)h的值,求出長度為1000個(gè)脈沖周期的數(shù)值解.然后對(duì)每一個(gè)h的值,畫出該狀態(tài)的最后200個(gè)頻閃點(diǎn).系統(tǒng)(2)隨h變化的分岔圖如圖2所示.頻閃映射是Poincaré映射的一種特殊情形.利用Poincaré映射的性質(zhì)及其與相應(yīng)系統(tǒng)的關(guān)系,可得頻閃映射與原系統(tǒng)具有如下關(guān)系從圖2可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)h≤3.55時(shí),系統(tǒng)(2)有1T周期解.當(dāng)h=0.01時(shí),由于C為穩(wěn)定焦點(diǎn),系統(tǒng)經(jīng)過周期τ后接近焦點(diǎn),然后受脈沖作用后稍離開焦點(diǎn),最終形成1T周期解,如圖3所示.當(dāng)h>3.55時(shí),由于A為鞍點(diǎn),B和C為穩(wěn)定焦點(diǎn),系統(tǒng)(2)具有3T周期解,如圖4所示;然后經(jīng)6T周期解,12T周期解等倍周期分岔到達(dá)混沌,如圖5和圖6所示.在混沌區(qū)域中有周期窗口.當(dāng)h=4.6718時(shí)系統(tǒng)開始由混沌狀態(tài)突變?yōu)?T周期解,如圖7所示.當(dāng)h=9.3511時(shí)系統(tǒng)開始由2T周期解突變?yōu)榛煦鐮顟B(tài).在混沌區(qū)域中也有周期窗口.當(dāng)h=10.7767時(shí)系統(tǒng)開始由混沌狀態(tài)突變?yōu)?T周期解,如圖8所示.當(dāng)h=16.4755時(shí)系統(tǒng)開始由1T周期解經(jīng)倍周期分岔變?yōu)?T周期解.當(dāng)h=21.815時(shí)系統(tǒng)經(jīng)倒倍周期分岔變?yōu)?T周期解.總之,脈沖作用下的Chen系統(tǒng)向混沌的演化過程可能是倍周期分岔到達(dá)混沌,也可能是由周期解直接到達(dá)混沌,中間伴隨陣發(fā)性混沌出現(xiàn).在混沌區(qū)域中,出現(xiàn)不同的周期窗口.3脈沖作用下的系統(tǒng)分岔機(jī)理由于脈沖作用下的Chen系統(tǒng)為非光滑系統(tǒng),故不能用連續(xù)系統(tǒng)的分岔分析方法進(jìn)行分析.下面利用文獻(xiàn)[9—11]所提出的非光滑系統(tǒng)的分岔分析方法對(duì)脈沖作用下的Chen系統(tǒng)的分岔行為進(jìn)行分析.設(shè)系統(tǒng)(2)的解為其中(x定義映射PP則整個(gè)系統(tǒng)的Poincaré映射P可定義為即設(shè)Poincaré映射P有平衡點(diǎn)u(x,y,z),即u=T(u).此時(shí)系統(tǒng)具有周期τ的解,即1T周期解.相應(yīng)地,如果Poincaré映射P有k個(gè)周期點(diǎn)u(x,y,z),即u=T映射P(i)當(dāng)所有特征值的模都小于1時(shí),系統(tǒng)(2)的周期解是漸近穩(wěn)定的.(ii)當(dāng)一個(gè)特征值通過-1穿過單位圓,而其他特征值的模都小于1時(shí),系統(tǒng)(2)的周期解產(chǎn)生倍周期分岔.(iii)當(dāng)一個(gè)特征值通過1穿過單位圓,而其他特征值的模都小于1時(shí),系統(tǒng)(2)的周期解產(chǎn)生鞍結(jié)分岔.(iv)當(dāng)一對(duì)共軛復(fù)特征值穿過單位圓,而其他特征值的模都小于1時(shí),系統(tǒng)(2)的周期解產(chǎn)生Hopf分岔.下面利用Floquet理論揭示脈沖作用下的Chen系統(tǒng)的分岔機(jī)理.3.1系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)情況當(dāng)0<h<3.5480時(shí),系統(tǒng)所有的Floquet特征乘子都在單位圓內(nèi),而在h=3.5480處有一Floquet特征乘子通過1穿出單位圓,如表1所列.根據(jù)Floquet理論可判斷,當(dāng)0<h<3.5480時(shí),系統(tǒng)做穩(wěn)定的1T周期解運(yùn)動(dòng),在h=3.5480處系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔,系統(tǒng)由穩(wěn)定的1T周期解變?yōu)榉€(wěn)定的3T周期解,此結(jié)果與圖2(b)一致.當(dāng)4.6718<h≤9.2874時(shí),系統(tǒng)所有的Floquet特征乘子都在單位圓內(nèi),而在h=9.2875處有一Floquet特征乘子通過1穿出單位圓,如表2所列.根據(jù)Floquet理論可判斷,當(dāng)4.6718<h≤9.2874時(shí),系統(tǒng)做穩(wěn)定的2T周期解運(yùn)動(dòng),在h=9.2875處系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔,系統(tǒng)由穩(wěn)定的周期解直接到達(dá)混沌狀態(tài),此結(jié)果與圖2(c)一致.總之,脈沖作用下的Chen系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔可能由周期解變?yōu)榱硪恢芷诮?也可能由周期解直接到達(dá)混沌.3.2脈沖作用下的分岔當(dāng)3.55<h≤3.7160時(shí),系統(tǒng)所有的Floquet特征乘子都在單位圓內(nèi),而在h=3.7169處有一Floquet特征乘子通過-1穿出單位圓,如表3所列.根據(jù)Floquet理論可判斷,當(dāng)3.55<hi≤3.7160時(shí),系統(tǒng)做穩(wěn)定的3T周期解運(yùn)動(dòng),在h=3.7169處系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔,系統(tǒng)由3T周期解變?yōu)榉€(wěn)定的6T周期解,進(jìn)而進(jìn)入混沌,即由倍周期分岔到達(dá)混沌,此結(jié)果與圖2(b)一致.當(dāng)4.0150<h≤4.0500時(shí),系統(tǒng)所有的Floquet特征乘子都在單位圓內(nèi),而在h=4.0150處有一Floquet特征乘子通過-1穿出單位圓,如表4所列.根據(jù)Floquet理論可判斷,當(dāng)4.0150<h≤4.0500時(shí),系統(tǒng)做穩(wěn)定的4T周期解運(yùn)動(dòng),在h=4.0150處系統(tǒng)發(fā)生倒倍周期分岔,系統(tǒng)由8T周期解變?yōu)榉€(wěn)定的4T周期解,此結(jié)果與圖2(b)一致.當(dāng)10.7767<h≤15.9375時(shí),系統(tǒng)所有的Floquet特征乘子都在單位圓內(nèi),而在h=15.9376處有一Floquet特征乘子通過-1穿出單位圓,如表5所列.根據(jù)Floquet理論可判斷,當(dāng)10.7767<h≤15.9375時(shí),系統(tǒng)做穩(wěn)定的1T周期解運(yùn)動(dòng),在hh=15.9376處系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔,系統(tǒng)由1T周期解變?yōu)榉€(wěn)定的2T周期解,此結(jié)果與圖2(d)一致.總之,脈沖作用下的Chen系統(tǒng)可能僅發(fā)生一次倍周期分岔,即系統(tǒng)的周期解變?yōu)榱硪粌杀吨芷诘闹芷诮?也可能發(fā)生級(jí)聯(lián)倍周期分岔,即系統(tǒng)的周期解經(jīng)倍周期分岔到達(dá)混沌.相應(yīng)地,脈沖作用下的Chen系統(tǒng)還存在倒倍周期分岔.從圖2可見,系統(tǒng)的分岔圖軌跡存在間斷點(diǎn).例如,在h=14.5附近,系統(tǒng)由穩(wěn)定的1T周期解突然變成另一穩(wěn)定的1T周期解.我們計(jì)算了h=14.5的Floquet特征乘子,如表6所列.由計(jì)算結(jié)果可知,間斷點(diǎn)處的Floquet特征乘子并未發(fā)生較大的變化.以上主要討論了周期τ=1.57的情形,對(duì)于其他周期及脈沖幅值我們也作了研究.圖9給出了系統(tǒng)關(guān)于周期及脈沖幅值的二維分岔圖,圖中的灰度值1,2,…代表1T周期解、2T周期解、….從圖9可以看到,系統(tǒng)在其他周期及脈沖幅值情形下有類似的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為,也是經(jīng)過兩種途徑到達(dá)混沌,即經(jīng)鞍結(jié)分岔到達(dá)混沌和倍周期分岔到達(dá)混沌.4非滑動(dòng)分岔的物理本構(gòu)模型floquet理論對(duì)生物系統(tǒng)脈沖本文研究了脈沖作用下的Chen系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為.利用非光滑系