2020屆天津市南開(kāi)區(qū)南開(kāi)中學(xué)高三第五次月考數(shù)學(xué)試題Word版含解析

2020屆天津市南開(kāi)區(qū)南開(kāi)中學(xué)高三第五次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1?設(shè)UGR,a={—2,—l,0,l,2},B={x\x>1},則AI二()A?{1,2}B?{—1,0,1}C?{—2,—1,0}D?{—2,—1,0,1}【答案】C【解析】先根據(jù)補(bǔ)集的定義求出冷B，再由交集的定義可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閁gR，B=(x|x>1}，.?.&B={xIx<1}，U又因?yàn)锳={—2,—1,0,1,2}，AI(dB)={—2,—1,0}，故選C.U【點(diǎn)睛】研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合A且不屬于集合b的元素的集合.本題需注意兩集合一個(gè)是有限集，一個(gè)是無(wú)限集，按有限集逐一驗(yàn)證為妥.y<42?若變量x,y滿足約束條件卜+y—4>0,則z=2x+y的最小值是()、x—y>0A?4B?6C?8D?12【答案】B【解析】試題分析：可行域?yàn)橐粋€(gè)開(kāi)放區(qū)域，如圖其中B(4,4),C22)，所以直線z=2x+y過(guò)點(diǎn)C時(shí)取最小值6，選B.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.3?設(shè)a=0.30.1b=log+5,c=log425，則a,b,c的大小關(guān)系是（）3A?a>b>cB?a>c>bC?b>c>aD?c>b>a【答案】D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出a,b,c的取值范圍，從而可得結(jié)果【詳解】因?yàn)?<a=O.3o.i<O.3o=1，1=log<b=log=log5<log9=2,13315333c=log25>log42=2，44c>b>a，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問(wèn)題，屬于難題.解答比較大小問(wèn)題，常見(jiàn)思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（本題是看三個(gè)區(qū)間（0,1）,（1,2）,（2,+J）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問(wèn)題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.4．下列選項(xiàng)中說(shuō)法正確的是（）rrrrrrA.若非零向量a,b滿足則a與b的夾角為銳角B?“3%gR,x2-x<0”的否定是“VxgR,x2-x>0"0001C.直線l:2ax+y+1=0,l:x+2ay+2=0,l〃l的充要條件是a=—12122D?在AABC中，“若sinA>sinB，則A>B"的逆否命題是真命題【答案】Dvv1【解析】利用,b同向的情況判斷A;利用特稱命題的定義判斷B;利用J/］等價(jià)于a=±-厶判斷C;利用正弦定理邊角互化以及原命題與其逆否命題的等價(jià)性判斷D.【詳解】vvvv對(duì)于A,a,b同向時(shí)，a與b的夾角為0,不是銳角，故不正確；對(duì)于b,"3xgR,x2-x<0”的否定應(yīng)該是“VxgR,x2-x>0”，故不正確；00011對(duì)于C,l//1等價(jià)于4a2=1，即a=±-，得l//1的充要條件是a=±-，故不正確；122122對(duì)于D,QsinA>sinB,???由正弦定理可得a>b,由于大邊對(duì)大角，/.A>B,即原命題正確，???逆否命題是真命題，故正確，故選D.【點(diǎn)睛】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)命題真假的判斷,綜合考查向量的夾角、特稱命題的否定、兩直線平行的充要條件以及正弦定理邊角互化的應(yīng)用,屬于中檔題.做這類題目更要細(xì)心、多讀題,盡量挖掘出題目中的隱含條件,另外,要注意從簡(jiǎn)單的、自己已經(jīng)掌握的知識(shí)點(diǎn)入手,然后集中精力突破較難的命題.5.已知3〕為等差數(shù)列，其公差為—",且心是心與心的等比中項(xiàng)，為2J的前"項(xiàng)和，飛"，則氐的值為（）.-110n-90廠90n110A?B?C?D?【答案】D日3=口］+2d=?。邸?-^0^=位］+6d=t?j_—1_2』=+8c?=(?丄一16【解析】試題分析:【解析】試題分析:又因?yàn)樾氖切呐c心的等比中項(xiàng)，所以"二W卩也一⑵-二匚—二帆—Q,解之得m-20510=10X20+Xf-2)=110，所以，故選D.【考點(diǎn)】1?等差數(shù)列定義與性質(zhì)；2?等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；3?等差數(shù)列的前八項(xiàng)和.【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列定義與性質(zhì)、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)、等差數(shù)列的前"項(xiàng)和，屬中檔題；解決等差數(shù)列與等比數(shù)列相關(guān)問(wèn)題最常用的方法就是基本量法，即用首項(xiàng)心及公差"，公比盯來(lái)表示已知條件，列出方程或方程組，求出就可以解決受益人問(wèn)題.TOC\o"1-5"\h\z6?已知雙曲線乂-蘭二l(a>0,b>0)的離心率為3，過(guò)右焦點(diǎn)F作漸近線的垂線，垂足為M，a2b22若AFOM的面積為、5,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x2-包=1B.乂-遼=1525x2y2一=1x2y2一=145D.一=11620【答案】C【解析】運(yùn)用離心率公式，求得漸近線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得F到漸近線的距離為b，由勾股定理可得\OM\=a，運(yùn)用三角形的面積公式，結(jié)合a,b,c的關(guān)系，解得a,b，即可求出雙曲線方程.【詳解】由題意可得c3e==怎①，a2可得b=、:=遼,aa22設(shè)F(c,0)，漸近線為y=bx，abc可得F到漸近線的距離為|MF|==ba2+b2由勾股定理可得|OM|=yjlOF|2-1MF|2=Jc2-b2=a,根，則實(shí)數(shù)"的取值范圍為（）根，則實(shí)數(shù)"的取值范圍為（）因?yàn)锳FOM的面積為帯5,所以2ab=、呂②，又a2+b2二C2③，由①②③解得b仝,a二2,c二3所以雙曲線的方程為扌-*=1，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)，屬于中檔題.求解雙曲線方程的題型一般步驟：（1）判斷焦點(diǎn)位置；（2）設(shè)方程；（3）列方程組求參數(shù)；（4）得結(jié)論.7?已知函數(shù)若方程在?上有且只有四個(gè)實(shí)數(shù)作出2sin令得"作出2sin令得"廠/J"或3-]——+2kTt/kZ,1T.Tk-JI■'工=証+亍帚王=2+警山€乙【答案】B解析】丫f(疋〕—siisjc—v'3cos6>j;—2sinCtox—?的函數(shù)圖象如圖所示:_1y—f(x)(0*+ad設(shè)直線?—與在上從左到右的第4個(gè)交點(diǎn)為，第5個(gè)交點(diǎn)為，、f(X)=-171)■■X4尤甘???方程在(上有且只有四個(gè)實(shí)數(shù)根，.即故選B．8?已知定義在R上的函數(shù)f(x)=］21：；：［-；0)，且f(x+2)=f(x)，若方程f(x)-kx-2=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．B．(_1-A．B．(_1-1]v-3'_4丿11-03U、丿11-03、丿11-031-4U、丿1-4【答案】C【解析】由f(x+2)=f(x)可得函數(shù)周期為2,結(jié)合函數(shù)在［-1,1］上的解析式，利用周期作出f(x)的函數(shù)圖象，根據(jù)y=f(x)和y=kx+2圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷k的范圍.等價(jià)于y等價(jià)于y=f(x)和y=kx+2圖象有三個(gè)不同交點(diǎn),因?yàn)閒(x+2)=f(x),所以f(x)的周期為2,[x2+2,xG[o,l)由函數(shù)f(x)=]2_x2xG[_10)，利用周期性作出f(x)的函數(shù)圖象，如圖所示：不妨設(shè)k>0,當(dāng)直線y=kx+2過(guò)(_3,1),(-1,1)時(shí)，k的值分別為1與1，由圖可知，3<k<1時(shí)直線y=kx+2與f(x)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，3<k<1時(shí)，方程f(x)—kx-2=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，1同理，若k<0，可得_1<k<—3時(shí)，方程f(x)-kx—2=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是_1,_1U1,1，故選C.V3丿13丿【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的周期與函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查了函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)y=f(x)—g(x)的零點(diǎn)O函數(shù)y=f(x)—g(x)在x軸的交點(diǎn)o方程f(x)—g(x)=0的根o函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的交點(diǎn).二、填空題9?已知復(fù)數(shù)z滿足戶=-i，則|z|=.1+z【答案】1【解析】化簡(jiǎn)原式，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則求得z=i，利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可得結(jié)果.【詳解】1—zQ復(fù)數(shù)z滿足——=_i，1+z.(1_i)z=1+i，???(1+i)(1—i)z=(1+i)(1+i)，即2z二2i,z=i,則|z|二1，故答案為1.【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查乘除運(yùn)算，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分.10?在(2x-1)6的展開(kāi)式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)是(請(qǐng)用數(shù)字作答)?【答案】-160【解析】先求出二項(xiàng)式(2X-1X的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于3，求出r的值，即可求得展開(kāi)式中x3的項(xiàng)的系數(shù).【詳解】(2X一1)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T=C(2X)6-rX(-1)r=Cr26-rX6-rX(-1)r，r+166令6—r二3nr二3，6x5x43x2x1所以含x啲項(xiàng)是C；(2x)3X6x5x43x2x1X23Xx3X(—1)=—160x3，.含x3項(xiàng)的系數(shù)是—160，故答案為—160.點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.二項(xiàng)展開(kāi)式定理的問(wèn)題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：(1)考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式T=C；(可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù))(2)考查r+1n各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(3)二項(xiàng)展開(kāi)式定理的應(yīng)用.11．已知直線ax+by—6=0(a>0,b>0)被圓x2+y2—2x—4y=0截得的弦長(zhǎng)為2亦，則ab的最大值為.9【答案】2【解析】由圓的方程得到圓的半徑為空5,再由弦長(zhǎng)為用得到直線過(guò)圓心,可得到a與b滿足的關(guān)系式,再利用基本不等式即可得到結(jié)論.【詳解】圓x2+y2—2x—4y=0^可化^為(x—1)2+(y—2)2=5,則圓心為(1,2)，半徑為r虧,又因?yàn)橹本€ax+by-6=0(a>0,b>0)被圓x2+y2-2x-4y二0截得的弦長(zhǎng)為2弱=2r,所以直線ax+by一6=0(a>0,b>0)過(guò)圓心，即a+2b—6二0,化為a+2b=6,a>0,b>0,???6=a+2b>241ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等號(hào)，999?ab<ab的最大值為-，故答案為-.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程與性質(zhì)以及基本不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用屬于中檔題.轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅使問(wèn)題得到了解決，還可以使解決問(wèn)題的難度大大降低，本題將弦長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線過(guò)圓心是解題的關(guān)鍵.12．《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且由一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑?若三棱錐P—ABC為鱉臑，PA丄平面ABC,PA=AB=2,AC=4，三棱錐P—ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為■【答案】20n【解析】由題意得該四面體的四個(gè)面都為直角三角形，且PA丄平面ABC，可得PC=2弱，PB=2、遼.因?yàn)閂PBC為直角三角形，可得BC=2、込，所以PB丄BC，因此AB丄BC，結(jié)合幾何關(guān)系，可求得外接球O的半徑R=jr2+]PAJ=毎+T=逛，，代入公式即可求球o的表面積?！驹斀狻勘绢}主要考查空間幾何體．由題意得該四面體的四個(gè)面都為直角三角形，且PA丄平面ABC,PA=AB=2,AC=4,PC=2^5,PB=2邁?因?yàn)閂PBC為直角三角形，因此BC=2j3或BC=2、訂（舍）.所以只可能是BC=2、打，此時(shí)PB丄BC，因此AB丄BC，AC所以平面ABC所在小圓的半徑即為r=￥=2，2又因?yàn)镻A=2，所以外接球O的半徑R=Jr2+牛］=J22+1=75，所以球O的表面積為S=4nR2=20n?【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球問(wèn)題，難點(diǎn)在于確定BC的長(zhǎng)，即得到AB丄BC，再結(jié)合幾何性質(zhì)即可求解，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯推理能力，計(jì)算能力，屬中檔題。「x=8t213?已知曲線C的參數(shù)方程為｛o（t為參數(shù)），點(diǎn)f為其焦點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,1b=ot以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2p2-4pcos。-12=0，點(diǎn)A,B分別在曲線C和C的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)（如圖所示），且AB總是平行于x軸，則AFAB的周長(zhǎng)的取值范圍是.【答案】（8,12）【解析】將參數(shù)方程化為普通方程可得C為拋物線y2二8x，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程可得C為以（2,0）為圓心，以4為半徑的圓，求出拋物線與圓的交點(diǎn)可得0<%<2,解得2Ax-2+J16-8%，結(jié)合拋物線定義可將三角形周長(zhǎng)表示為8+\：'16-8%從而可得結(jié)果.TOC\o"1-5"\h\zBAA【詳解】廠x8t2由］得y2_8x，即C為拋物線y2_8x，①〔y_8t1拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0），準(zhǔn)線方程為x_-2，由p2-4pcos。-12_0，得x2一4x+y2一12_0，②即C為以（2,0）為圓心，以4為半徑的圓，2x_2由①②得<，A0<x<2,y2_8x_y2，Iy_±4AAABx2-4x+y2-12_0,AxBBBB由拋物線的定義可得FA_x+2，A又AB_r_4，所以AFAB的周長(zhǎng)l_FA+FB+AB_（x+2）+4+x—xABA_8+J16—8x，Q0vJ16-8x^<4，8<l<12，即AFAB的周長(zhǎng)的取值范圍是（8,12）,故答案為（8,12）.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，以及圓的方程與性質(zhì)x_pcos0拋物線定義的應(yīng)用，屬于難題.利用關(guān)系式｛.0，可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程Iy_psin0

互化，極坐標(biāo)問(wèn)題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問(wèn)題．14?如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=2,ZA=120。,E,F分別是AB,AC上的點(diǎn)，uuuruuuruuuruuur且AE=九AB，AF=卩AC(其中九，卩uLur則MN的最小值為,uuuruuuruuuruuur且AE=九AB，AF=卩AC(其中九，卩uLur則MN的最小值為,【答案】竽uuuruuur【解析】由向量的數(shù)量積公式求出AB?AC=-2，連接AM,AN，利用向量加法的運(yùn)算法則得出uuuuruuurAM,AN，再根據(jù)平面向量減法運(yùn)算法則以及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則可得uuuur結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得MN2的最小值，進(jìn)而可得結(jié)果.詳解】MN2二21卩2—6卩+結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得MN2的最小值，進(jìn)而可得結(jié)果.詳解】連接AM,AN，Q等腰三角形ABC中，AB=AC=2,A=120。，uuuruuuruuuruuur???AB?AC=1ABI?IACIcos120。=—2,uuuur1uuuruuur1uuuruuurQAM是AAEF的中線，?AM=-(AE+AF)=-(XAB+yAC)22uuur1uuuruuur同理,可得AN=_(AB+AC),2uuuuruuuruuuur1uuuruuur1uuuruuur由此可得MN=AN-AM=2(AB+AC)-尹AB"AC)1uuur1uuur=_(1—X)AB+—(1—)AC，uuuurMNuuuurMN21uuLr1uuirn2-(1—X)AB+_(1—)AC^2^2

1uuur1uuuuruuur1uuur=—（1—九）2AB2+_（1—九）（1—卩）AB-AC+—（1—卩）2AC2424二（1—九）2—（1—卩）（1—九）+（1—卩）2QX+4卩=1,可得1—九=4卩,uuuur???代入上式得MN2=（4卩）2—4卩（1—卩）+（1—卩）2=21p2—6卩+1,q九,聽(tīng)(0」),.?.當(dāng)=7時(shí)，MN2的最小值為7,uLurc百nFt此時(shí)MN的最小值為少，故答案為2巴.77點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，考查零點(diǎn)二次函數(shù)的性rrrr質(zhì)，屬于難題.向量數(shù)量積的運(yùn)算主要掌握兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式a-b=abcos9；二r是向量的平方等于向量模的平方a2三、解答題15?已知函數(shù)?求函數(shù)數(shù)'=山的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；fAJT已知"疏的三個(gè)內(nèi)角人琢的對(duì)邊分別為心",其中煮=7,若銳角A滿足/-：且sin￡?+sinC=13且sin￡?+sinC=13V314求"骯的面積.【答案】（1）一“-亍斤+二一出已2i(^)二空【解析】(1)f(x)解析式利用二倍角正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出3的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函數(shù)的單

調(diào)性確定出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間即可；(2)由f(X)解析式，以及fm-v求出_1W3A的度數(shù)，將sinB+sinC，利用正弦定理化簡(jiǎn)，求出be的值即可.【詳解】(1)f(x)=2sinx?cosx+2eos2xsin2xcos2x=2sin(2x")，T3=2，?：f(x)的最小正周期T=n，2k2kn2x2kn??.f(??.f(x)的單調(diào)減區(qū)間為［knUkn+W，k?A71(2)由A71(2)由f(「)A71=2sin[2(I'■)JsinA二曲即sinATA為銳角，???A匸，-_2_-L_-14_b+r_L3V3由正弦定理可得2R'—，sinB+sinC=二，_曲*昱—???b+c工匚13,_bz+cz-a2_(b+c)z-2bc-az_1由余弦定理可知：cosA二—：，整理得：bc=40.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面積的計(jì)算，考查三角恒等變換和三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.16?為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)與抽象(能力指標(biāo)J、推理(能力指標(biāo)')、建模(能力指標(biāo)二)的相關(guān)性，并將它們各自量化為1、2、3三個(gè)等級(jí)，再用綜合指標(biāo)"='+一二的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；若"上〔則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí)；若■遼-則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí)；若-ir--,則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí)，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問(wèn)了某校10名學(xué)生，得到如下結(jié)果：學(xué)生編號(hào)且8貝9^10（兀護(hù)〕(2,2,3如2)(3^3)(尊)(2,3,2)(2,3,3K2A2)(2^3)(2^2（1）在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標(biāo)相同的概率；（2）從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)是一級(jí)的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為*，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)不是一級(jí)的學(xué)生中任取一人，其綜合指標(biāo)為'，記隨機(jī)變量n,求隨機(jī)變量免的分布列及其數(shù)學(xué)期望.1629【答案】（1）X'（2）工【解析】試題分析：（1）由題可知：建模能力一級(jí)的學(xué)生是?。唤Ｄ芰Χ?jí)的學(xué)生是①汕八七心」■:;建模能力三級(jí)的學(xué)生是圧—心出.（2）由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級(jí):'心—數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級(jí)的:出444；*的可能取值為1,2,3,4,5.具體如下：學(xué)生編號(hào)%^10（扎臚〕(2,2J皿Z：心：綜合指標(biāo)7795786846

核心素養(yǎng)等—一—一—一二—一一二—一三二級(jí)級(jí)級(jí)級(jí)級(jí)級(jí)級(jí)級(jí)級(jí)級(jí)級(jí)試題解析：(1)由題可知：建模能力一級(jí)的學(xué)生是?。唤Ｄ芰Χ?jí)的學(xué)生是七廠4':;建模能力三級(jí)的學(xué)生是記“所取的兩人的建模能力指標(biāo)相同”為事件A,則…—16則…—1645(2)由題可知，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一級(jí):'心4七』",數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是一級(jí)的：疋“小」；山的可能取值為1,2,3,4,5.???隨機(jī)變量"的分布列為山的可能取值為1,2,3,4,5.???隨機(jī)變量"的分布列為?已-??17?如圖1,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，ZBAD=60。,DE丄AB于點(diǎn)E，將AADE沿DE折起到AADE的位置，使AD丄BE，如圖2?

（1）求證：AE丄平面BCDE；（2）求二面角E-AD-B的余弦值；BP（3）在線段BD上是否存在點(diǎn)P,使平面AEP丄平面ABD?若存在，求--的值；若不存在,11BD說(shuō)明理由.【答案】⑴證明見(jiàn)解析【答案】⑴證明見(jiàn)解析亨3)【解析】⑴由DE丄AB，可得BE丄DE，結(jié)合AD丄BE可得到BE丄平面ADE，由此得AE丄BE，結(jié)合AE丄DE利用線面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）以E為原點(diǎn)，分別以EB，11ED，EA為x，y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面ABDuuuv的法向量，結(jié)合平面ADE的法向量為EB，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果；（3）假設(shè)在線段BD上存在一點(diǎn)P滿足條件，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合對(duì)應(yīng)的比例關(guān)系，通過(guò)兩平面法向量的數(shù)量積為零來(lái)確定相應(yīng)的參數(shù)值，進(jìn)而得以確定存在性問(wèn)題.【詳解】（1）因?yàn)锳D丄BE，DE丄BE，ADnBE二D，11所以BE丄平面ADE，1因?yàn)锳Eu平面ADE，11所以AE丄BE，1又因?yàn)锳E丄DE，BEnDE=E，1所以AE丄平面BCDE.1（2）以E為原點(diǎn)，分別以EB，ED，EA為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0),DC,j3,o),A(0,0,1),uuuv所以BA=1(—1,0,1),RD=C1,\3,0),xx=zx=J3y設(shè)平面A1BD的法向量V=(x，y,?,vuuuvn-BA二一x+z=0<vuuiv1L得［n-BD二-x+、3y二0因?yàn)锽E丄平面ADE,1uuuv所以平面ADE的法向量EB=(1,0,0)，1vuuvn-EB3v21-~uuv=—^=，vuuuvcosn,EB=n-EB777因?yàn)樗蠖娼菫殇J角，所以二面角E-A1D-B的余弦值為孕⑶假設(shè)在線段BD上存在一點(diǎn)P,使得平面A1EP丄平面A1BD，),uuuvuuuv設(shè)P(x,y,z)，BP=XBD(0<X<1),則(x—1,y,z)=X所以pC—九人3九,0),UULVz、UUV(—)所以EA=(0,0,1),EP=“—九J3九01設(shè)平面AEP的法向量m=(x,y,z),1vuuuvm-EA=z=0曰］z=0m-Ep=(1―九)x+?y=0'得］(1—九)x=―朽九y'令x=朽九，得m=C/3九,九-1,0),因?yàn)槠矫鍭EP丄平面ABD,11所以m-n=3九+九一1=0，解得九=g[o,l],4BP1所以在線段BD上存在點(diǎn)P,使得平面AEP丄平面ABD，且——=-.11BD4【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面關(guān)系的判定與性質(zhì)、二面角的計(jì)算、空間向量的應(yīng)用，屬于綜合題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.18?已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，且S=2a一n.nnnn（1）證明數(shù)列｛a+1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；nn11（2）記b=——+——，求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和t?naaannn+1nn+11【答案】（1）證明見(jiàn)解析，a=2n一1；（2）1-—-.n2n+1一1【解析】⑴由S=2a-n，可得S=2a-（"+1）,兩式相減，可化為a+1=2（a+1）,結(jié)nnn+1n+1n+1n11a+111合等比數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論；（2）由（1）b=——+——==—-?，利用aaaaa2n一12n+1一1n+1nn+1nn+1“裂項(xiàng)法”，即可求得數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和T.nn【詳解】（1）令n=1，得a=2a一1，由此得a=1,111由于S=2a-n，則S=2a-（n+1），TOC\o"1-5"\h\znnn+1n+1兩式相減得S-S=2a-（n+1）-2a+n，即a=2a+1，n+1nn+1nn+1na+1所以a+1=2a+1+1=2（a+1），即厶+^=2，n+1nna+1n故數(shù)列｛a+1｝是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a+1=2，a+1=2-2?-1=2，n1n

故數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式是an11(2)b二+naaan+1nn+1a+1——naann+1/、-(2n—1)(2n+1—1)(2n+1—1)—(2n—1)(2n—1)(2n+1—1)一一2n—12n+1—121-「21-「22-1丿22—123—1丿2n—12n+1—1丿1111—+—+L+—21—122—121111—+—+L+—21—122—122—123—12n—12n+1—1-1-丄.2n+1—1點(diǎn)睛】本題主要考查遞推關(guān)系求通項(xiàng)、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式以及裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題.裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：⑴一C1■訂二kn\n+k)k(n，(2)v-'n+k+\n=—(n+k—、：n丿;k(1/C、1_1⑶(2n—1)(2n+1)—2<2n—12n+1丿,(2n+1—1)—(2n—1)—Gn—1)Gn+1—1)2n—12n+l—11;此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.19?設(shè)橢圓C:乂+蘭=1(a>b>0)的離心率e二1，拋物線E:y2二4x的焦點(diǎn)恰好是橢圓C的a2b22右焦點(diǎn)F．求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率都存在的直線l,l,設(shè)l與橢圓C