控制系統(tǒng)的時域分析法

控制系統(tǒng)的時域分析法第1頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月對于線性系統(tǒng)，常用的分析方法有三種：時域分析方法；根軌跡法；頻率特性法。引言

時域分析方法，是一種直接分析方法，具有直觀準確的優(yōu)點，尤其適用于低階系統(tǒng)。第2頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月

時域分析：是根據微分方程，利用拉氏變換直接求出系統(tǒng)的時間響應，然后按照響應曲線來分析系統(tǒng)的性能。

Input(Typical)ControlSystem(DifferentialEquation)LaplaceTransformOutputResponseStabilityTheoremAccuracyEssTransientResponseSpecification第3頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月3-1典型的輸入信號系統(tǒng)的數學模型由本身的結構和參數決定；系統(tǒng)的輸出由系統(tǒng)的數學模型、系統(tǒng)的初始狀態(tài)和系統(tǒng)的輸入信號形式決定；典型的輸入信號有：階躍信號，斜坡信號，加速度信號，脈沖信號，正弦信號；典型輸入信號的特點：數學表達簡單，便于分析和處理，易于實驗室獲得。第4頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月一、階躍信號A為常量，A=1的階躍函數稱為單位階躍函數。表達式：拉氏變換：第5頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月二、斜坡函數拉氏變換：A為常量，A=1的階躍函數稱為單位斜坡函數。表達式：第6頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月A為常量，A=1的階躍函數稱為單位等加速度函數。三、等加速度信號表達式：拉氏變換：第7頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月為常量，=0的階躍函數稱為單位脈沖函數，記為。四、脈沖信號表達式：理想脈沖：拉氏變換：第8頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月五、正弦信號表達式：分析一個實際系統(tǒng)時采用哪種信號，要根據系統(tǒng)的實際輸入信號而定。正弦信號主要用來求取頻率響應。第9頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月3-2控制系統(tǒng)的時域性能指標對于線性定常系統(tǒng)，輸入為：輸出為：用微分方程描述如下：第10頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月由微分方程可以得到傳遞函數：第11頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月

為的極點。為的極點。系統(tǒng)的輸出：時間響應：動態(tài)過程—從初始態(tài)到接近穩(wěn)態(tài)的響應。穩(wěn)態(tài)過程—t趨于無窮大時的輸出狀態(tài)。第12頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月如果和是互異的，那么系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為：其中第一項為系統(tǒng)零狀態(tài)響應的暫態(tài)分量，第二項為系統(tǒng)零狀態(tài)響應的穩(wěn)態(tài)分量。系統(tǒng)的時域性能指標可以從零狀態(tài)響應中求取。第13頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月超調誤差帶穩(wěn)態(tài)誤差EssTdTrTpTs0tH(t)10.90.50.1上升時間峰值時間調整時間階躍響應輸出單位階躍響應性能指標：第14頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月1延遲時間Td：指h(t)上升到穩(wěn)態(tài)的50%所需的時間。2上升時間Tr：指h(t)第一次上升到穩(wěn)態(tài)值的所需的時間。3峰值時間Tp：h(t)第一次達到峰值所需的時間。上述三個指標表征系統(tǒng)初始階段的快慢。4超調量：h(t)的最大值與穩(wěn)態(tài)值之差與穩(wěn)態(tài)值之比：σ℅第15頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月5調節(jié)時間Ts：指h(t)和h()之間的偏差達到允許范圍（2%-5%）時的暫態(tài)過程時間。它反映了系統(tǒng)的快速性。6振蕩次數N：調節(jié)時間內，輸出偏離穩(wěn)態(tài)的次數。7穩(wěn)態(tài)誤差ess：單位反饋時，實際值（穩(wěn)態(tài)）與期望值（1（t））之差。它反映系統(tǒng)的精度。第16頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3一階系統(tǒng)的時域響應一階系統(tǒng)傳遞函數：典型系統(tǒng)：電爐、液位-

R(s)Y(s)一階系統(tǒng)框圖：第17頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月一、單位階躍響應：在單位階躍作用下，一階系統(tǒng)的輸出量隨時間變化曲線為一條指數曲線。第18頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月響應曲線具有非振蕩特征：t=T,y(t)=0.632;t=2T,y(t)=0.865;t=3T,y(t)=0.95;t=4T,y(t)=0.982;第19頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月一階系統(tǒng)的單位階躍響應如果以初始速度等速上升至穩(wěn)態(tài)值1所需的時間應恰好為T。TeTdttdytTt11)(0===-第20頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月一階系統(tǒng)的階躍響應沒有超調量，故其時域性能指標主要以Ts來衡量，Ts的長短反映了系統(tǒng)過程的快慢。由以上可知：t=3T（對5%的誤差）

t=4T（對2%的誤差）因此，T越小，系統(tǒng)過渡過程時間就越短。第21頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月二、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應誤差輸出響應第22頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)態(tài)誤差趨于T，T越小，動態(tài)性能越快，穩(wěn)態(tài)誤差越小，但不能消除。初始速度：穩(wěn)態(tài)誤差：第23頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月單位斜坡響應第24頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月一階系統(tǒng)單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)分量，是一個與輸入斜坡函數斜率相同但在時間上遲后時間常數T的斜坡函數。該曲線的特點是：在t=0處曲線的斜率等于零；穩(wěn)態(tài)輸出與單位斜坡輸入之間在位置上存在偏差T。第25頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應輸入：輸出：第26頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月由上面分析可知，一階系統(tǒng)僅有一個特征參量T——時間常數，調整時間為（3-4T）當t=0時單位階躍響應的變化率和單位脈沖響應的初始值均為1/T，單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)誤差為T。T越小，系統(tǒng)的動、靜態(tài)性能越好。第27頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月一個輸入信號導數的時域響應等于該信號時域響應的導數；一個輸入信號積分的時域響應等于該信號時域響應的積分；線性定常系統(tǒng)第28頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4二階系統(tǒng)的時域響應用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)不僅在工程中比較常見，而且許多高階系統(tǒng)也可以轉化為二階系統(tǒng)來研究，因此研究二階系統(tǒng)具有很重要的意義。第29頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月典型二階系統(tǒng)的結構圖

二階系統(tǒng)的傳遞函數：特征方程：系統(tǒng)框圖：第30頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月二階系統(tǒng)的特征根：第31頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月當時,系統(tǒng)為過阻尼狀態(tài)：系統(tǒng)的極點為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為：時域響應：第32頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月單位階躍響應（>1）

第33頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月當=1時，系統(tǒng)為臨界阻尼狀態(tài)：

單位階躍響應

閉環(huán)系統(tǒng)的極點為

閉環(huán)傳遞函數為

臨界阻尼時的單位階躍響應為

第34頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月當時，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)：輸出響應拉氏變換：第35頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的時域響應：第36頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月

單位階躍響應（0<<1）

y(t)第37頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)響應的暫態(tài)分量為振幅隨時間按指數函數規(guī)律衰減的周期函數，其振蕩頻率（也稱為阻尼振蕩頻率）為：

第38頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月1、二階系統(tǒng)響應特點1、=0時，等幅振蕩；3、=1時，響應處于單調上升變化狀態(tài)；5、-1<<0時，振蕩發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；6、<-1時，單調發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。4>1時，越大，曲線單調上升過程越緩慢；2、0<<1時，越小，振蕩越嚴重，超調越大（最大超調量100%），衰減越慢；第39頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月由曲線進一步知道：1、阻尼比越大，超調量越小，響應越平穩(wěn)。反之，越小，超調量越大，振蕩越強。2、當取=0.707左右時，Ts和%都相對較小，故一般稱=0.707為最佳阻尼比。3、二階系統(tǒng)的單位階躍響應不存在穩(wěn)態(tài)誤差。在一定下欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快達到穩(wěn)態(tài)值；過阻尼系統(tǒng)反應遲鈍，動作緩慢，故一般二階系統(tǒng)都設計成欠阻尼系統(tǒng)。第40頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月閉環(huán)極點坐標與阻尼比的關系第41頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月二階系統(tǒng)響應特點阻尼比與極點分布和系統(tǒng)性能的關系(脈沖響應曲線變化情況)第42頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月2、二階系統(tǒng)響應性能指標(1)上升時間Tr

dnn第43頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)峰值時間Tp第44頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)超調量%%的大小完全決定于，越小，%越大。第45頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)調節(jié)時間Ts當△y=0.05(或0.02)時，對應的調整時間為Ts第46頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月由于正弦函數的存在，和的關系為不連續(xù)的，為簡單起見，可以近似計算如下：第47頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可見：越大，就越小，當為一定時，則與成反比，這與的關系正好相反。第48頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月3、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應當輸入信號為單位斜坡信號時第49頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月4、欠阻尼二階系統(tǒng)的單位斜坡響應穩(wěn)態(tài)分量：瞬態(tài)分量：第50頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月動態(tài)誤差：對誤差響應求導，并令其為0，得到誤差峰值時間：誤差峰值：穩(wěn)態(tài)誤差：第51頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月誤差最大偏離量可以表示為：誤差的調節(jié)時間——誤差進入穩(wěn)態(tài)值5%誤差帶所需時間：第52頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月5、采用比例微分控制改善二階系統(tǒng)響應特性第53頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月特征方程中，一次項系數為

引入了比例-微分控制，增大了系統(tǒng)的等效阻尼比，自然振蕩角頻率不變，系統(tǒng)的超調減小。

同時增加了一個零點第54頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月引入比例-微分控制后，系統(tǒng)的特征根將發(fā)生變化，系統(tǒng)的阻尼增加了，系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到了改善。引入比例-微分控制后，系統(tǒng)附加了一個零點，該零點會消弱附加阻尼的影響，同時在一定程度上可改善系統(tǒng)的響應速度。第55頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月例：單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為求（1）單位階躍輸入響應。（2）性能指標。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為

系統(tǒng)的輸出為：

第56頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的輸出時域響應為

對輸出響應求導，并令導數為0得：

根據峰值時間很容易得到：第57頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月6、采用輸出微分反饋改善二階系統(tǒng)響應特性系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為

其等效阻尼為

第58頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的等效阻尼比增大，抑制了輸出量的超調和振蕩，改善了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。系統(tǒng)的誤差傳遞函數單位斜坡輸入作用下由終值定理速度反饋會降低系統(tǒng)斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。第59頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月對于圖示系統(tǒng)，（1）求當a=0，阻尼比、自然振蕩角頻率和單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。（2）當時，確定系統(tǒng)的a和單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。若第60頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月若第61頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月7、比例微分控制與輸出微分反饋的比較1、增加阻尼的來源不同：兩者都增大了系統(tǒng)阻尼，但來源不同；2、對于噪聲和元件的敏感程度不同；3、對開環(huán)增益和自然振蕩角頻率的影響不同；4、對動態(tài)響應的影響不同。第62頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）增加阻尼的來源比例微分的阻尼來自誤差信號的速度；輸出微分反饋的阻尼來自輸出響應的速度；因此對于給定的開環(huán)增益和指令速度，輸出微分的穩(wěn)態(tài)誤差更大；第63頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）對于噪聲和元件的敏感程度比例微分控制對于噪聲具有明顯的放大作用，輸入噪聲大，不宜使用；輸出微分反饋對輸入的噪聲具有濾波作用——第5章，對噪聲不敏感；比例微分控制加在誤差后，能量一般較小，需要放大器放大倍數較大，抗噪聲能力強；輸出微分反饋輸入能量一般很高，對元件沒有特殊要求，適用范圍更廣；第64頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）開環(huán)增益和自然振蕩角頻率的影響比例微分控制對于開環(huán)增益和自然振蕩角頻率都沒有影響；輸出微分反饋影響自然振蕩角頻率，但開環(huán)增益會明顯減小——本章最后一節(jié)；使用輸出微分反饋要求開環(huán)增益較大，導致自然振蕩角頻率隨之增大，容易和高頻噪聲產生共振；第65頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）對動態(tài)性能的影響比例微分控制在閉環(huán)系統(tǒng)中引入了零點，加快了系統(tǒng)的響應速度——第4章；相同阻尼比的情況下，比例微分控制引起的超調大于輸出微分反饋系統(tǒng)的超調。第66頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月3-5高階系統(tǒng)的響應前面研究了兩種低階系統(tǒng)；用高階微分方程描述的系統(tǒng)為高階系統(tǒng)；工程實際中的系統(tǒng)決大多數為高階系統(tǒng)；高階系統(tǒng)的解析解比較復雜，有時高階系統(tǒng)可以用低階系統(tǒng)的響應來近似——主導極點——第4章。第67頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月1、高階系統(tǒng)的一般形式閉環(huán)傳函第68頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月2、高階系統(tǒng)的單位階躍響應為實數極點的個數，為共軛復數極點的個數，。設上述極點互異并都位于平面的左半平面，則經過整理后第69頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月經拉氏反變換由上式分析可知：（1）高階系統(tǒng)的時間響應是由若干個一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時間響應函數項組成的。（2）系統(tǒng)的暫態(tài)響應類型取決于閉環(huán)極點是實數還是復數。

第70頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由閉環(huán)極點在S平面的位置所決定。如果系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點在S平面的左半平面，則系統(tǒng)的暫態(tài)響應是收斂的，控制系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。只要有一個閉環(huán)極點在S的右半平面，系統(tǒng)的暫態(tài)響應就是發(fā)散的，控制系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。（4）穩(wěn)定控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應形狀不僅取決于左極點離虛軸的距離，還取決于閉環(huán)零點、極點在S平面的具體分布。（5）穩(wěn)定的控制系統(tǒng)，則離S平面的虛軸最近的閉環(huán)極點對系統(tǒng)的暫態(tài)響應特性起了主導的作用，這樣的極點為閉環(huán)主導極點。主導極點有可能是一對共軛復數極點，也可能是一個實數極點。第71頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月3、高階系統(tǒng)舉例例：設三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為

試確定其單位階躍響應。解：輸出信號的拉氏變換：經拉氏反變換：第72頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月4、高階系統(tǒng)的近似分析如果控制系統(tǒng)的閉環(huán)主導極點離虛軸的距離小于等于其他閉環(huán)極點離虛軸距離的五分之一，而且主導極點的附近沒有其他的閉環(huán)零點。則該系統(tǒng)可以降階近似成一階或者二階控制系統(tǒng)。這就是高階系統(tǒng)的近似分析方法。

根軌跡分析法將詳細說明為什么高階系統(tǒng)可以近似來分析。第73頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月3-6穩(wěn)定性和勞斯判據穩(wěn)定性的基本概念勞斯判據兩種特殊情況穩(wěn)定裕度的檢驗參數對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響第74頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月一、穩(wěn)定性的基本概念(a)(b)ABA圖(a)表示小球在一個凹面上，原來的平衡位置為A，當小球受到外力作用后偏離A,例如到B,當外力去除后，小球經過幾次振蕩后，最后可以回到平衡位置，所以，這種小球位置是穩(wěn)定的；反之，如圖(b)就是不穩(wěn)定的。第75頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定性的定義

任何系統(tǒng)在擾動的作用下都會偏離原平衡狀態(tài)產生初始偏差。所謂穩(wěn)定性就是指當擾動消除后，由初始狀態(tài)回復原平衡狀態(tài)的性能；若系統(tǒng)可恢復平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的固有特性，對線性系統(tǒng)來說，它只取決于系統(tǒng)的結構、參數，而與初始條件及外作用無關。第76頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定性分析有以下幾種方法：特征方程法特征值判據法代數判據法根軌跡法頻率穩(wěn)定判據法第77頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定性的數學描述設線性定常系統(tǒng)微分方程為：穩(wěn)定性是研究擾動去除后系統(tǒng)的運動情況，它與系統(tǒng)的輸入信號無關，因而可以用系統(tǒng)的脈沖響應函數來描述，如果脈沖響應函數是收斂的，則系統(tǒng)穩(wěn)定。反之，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第78頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月則脈沖響應為：式中：為待定常數。設系統(tǒng)傳遞函數有個實根對共軛復根如果則系統(tǒng)穩(wěn)定。反之，系統(tǒng)不穩(wěn)定；第79頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月下面分析上式：（1）若系統(tǒng)最終能夠恢復平衡狀態(tài)，由于有復數根存在，系統(tǒng)輸出呈振蕩曲線衰減。（2）若系統(tǒng)輸出按指數曲線衰減。（3）若有任一個大于零，時系統(tǒng)輸出系統(tǒng)不穩(wěn)定。（4）只要中有一個為零，系統(tǒng)不能恢復原來平衡狀態(tài)或為等幅振蕩。這時仍認為系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第80頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月二、勞斯判據由上面分析可以看出，上面的方法必須求出閉環(huán)傳函的所有極點。這對二階以下的系統(tǒng)是有用的，但是對于三階以上系統(tǒng)，求解極點一般來說是比較困難的。因此人們希望不求解高階方程而進行穩(wěn)定性的間接判斷。1877年，英國學者勞斯（ROUTH）提出了利用特征方程的系數進行代數運算，得到全部極點具有負實部的條件，以此判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。第81頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式的全部根（閉環(huán)極點）都是負實數或具有負實部的公軛復數。由于特征方程的根是s平面上一點，所以系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點均在s的左半平面。第82頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月閉環(huán)控制系統(tǒng)特征方程為：因為所有根都在S平面的左半平面，即上式中所有系數均為實數，并設設系統(tǒng)傳遞函數有個實根對共軛復根閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:特征方程的所有系數都大于零。第83頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月勞斯判據1、列出系統(tǒng)閉環(huán)特征方程：上式中所有系數均為實數，并設2、按系統(tǒng)閉環(huán)特征方程列寫勞斯行列表：第84頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月第85頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月3、考察行列表若第一列各數均為正數，則系統(tǒng)的所有特征根（閉環(huán)極點）均在根平面的左半平面，該系統(tǒng)穩(wěn)定。若第一列中有負數則說明系統(tǒng)不穩(wěn)定，第一列中符號變化的次數表示右半平面閉環(huán)極點的個數。第86頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月三、兩種特殊情況1、勞斯行列表中某一行的左邊第一個元素為0，其余不為0或沒有。這時可以用一個很小的正數來代替這個0，使運算繼續(xù)下去。2、勞斯行列表中第K行全部為0。說明有對稱于原點的根。這時可以建立一個輔助方程繼續(xù)進行分析，方法是：（a）用K-1行構成輔助多項式，它的次數為偶數。（b）對輔助多項式求導，求導后的S多項式的系數代替K行。然后繼續(xù)計算。（c）對于對稱于原點的閉環(huán)極點，可由輔助多項式等于0求得。第87頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月四、穩(wěn)定裕度的檢驗應用勞斯判據不僅可以判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否，即相對穩(wěn)定性。也可以判斷系統(tǒng)的是否具有一定的穩(wěn)定裕度，即相對穩(wěn)定性。這時可以移動S平面的坐標系，然后再應用勞斯判據。如圖：將上式代入原方程，得到以Z為變量的新的特征方程，再檢驗其穩(wěn)定性。此時系統(tǒng)如果仍然穩(wěn)定，則說系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕度α。第88頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月例：系統(tǒng)特征方程為判斷系統(tǒng)是否有閉環(huán)極點在S的右半平面，并驗有幾個根在s=-1的右邊。故S右半平面無閉環(huán)極點。系統(tǒng)是穩(wěn)定的將s=z-1代入原方程得：NEWROUTH’STABLE：故有一個根在s=-1的右邊。ROUTH’STABLE：第89頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月五、分析參數對穩(wěn)定性的影響例：或特征方程為：ROUTH’STABLE：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表第一列應為正數。即有：故系統(tǒng)的穩(wěn)定臨界值為K=30。第90頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月例：系統(tǒng)特征方程為求系統(tǒng)穩(wěn)定T的臨界值。ROUTH’STABLE：要使系統(tǒng)穩(wěn)定必須有：T必須大于25，系統(tǒng)才穩(wěn)定。第91頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差的概念和定義給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差提高系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的方法第92頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)的性能：動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能用穩(wěn)態(tài)誤差來描述討論穩(wěn)態(tài)誤差的前提是系統(tǒng)是穩(wěn)定的控制系統(tǒng)結構圖一、穩(wěn)態(tài)誤差的概念第93頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月二、穩(wěn)態(tài)誤差的定義輸入端定義：誤差為輸入量與反饋量的差值

e(t)=r(t)-b(t)拉斯變換后為：穩(wěn)態(tài)誤差為:如果需要可以將誤差轉換成輸出量的量綱2.輸出端定義：誤差為期望值與實際值的差值

e(t)=r(t)-y(t)[H(s)=1]第94頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為：其中為開環(huán)增益，為系統(tǒng)中含有的積分環(huán)節(jié)數。對應于的系統(tǒng)分別稱為0型，Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)。三、給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差第95頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月定義為靜態(tài)位置誤差系數，有1、階躍輸入對于0型系統(tǒng)：對于Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)第96頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月由于0型系統(tǒng)無積分環(huán)節(jié)，其階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差為與K有關的一定值，因此常稱為有差系統(tǒng)。為減小穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下，增大K值。若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則應使系統(tǒng)的類型高于I型。

第97頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月定義為靜態(tài)速度誤差系數，有2、斜坡輸入對于0型系統(tǒng)：對于Ⅰ型系統(tǒng)：對于Ⅱ型系統(tǒng)：第98頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月可見，0型系統(tǒng)不能跟蹤斜坡輸入信號。隨時間的推移,誤差越來越大；I型系統(tǒng)可以跟蹤斜坡輸入信號。但具有與K有關的穩(wěn)態(tài)誤差，可用增加K的方法提高穩(wěn)態(tài)精度；II型及以上系統(tǒng)可完全跟蹤斜坡輸入信號，即穩(wěn)態(tài)誤差為零。第99頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月定義為靜態(tài)加速度誤差系數，有3、拋物線輸入對于0型系統(tǒng)：對于Ⅰ型系統(tǒng)：對于Ⅱ型系統(tǒng)：第100頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月對于Ⅲ型系統(tǒng)及以上系統(tǒng)：可見，I型及以下系統(tǒng)不能跟蹤拋物線輸入，誤差越來越大；II型系統(tǒng)可以跟蹤拋物線輸入信號。但具有與K有關的穩(wěn)態(tài)誤差，可用增加K的方法提高穩(wěn)態(tài)精度；III型及以上系統(tǒng)可完全跟蹤斜坡輸入信號，即穩(wěn)態(tài)誤差為零。第101頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月設由擾動引起的誤差為：四、擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差第102頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣對應于的系統(tǒng)分別稱為0型，Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)。設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數改寫為：其中第103頁，課件共112頁，創(chuàng)作于2023年2月一般情況下，階躍信號：1、對于0型系統(tǒng)：在階躍擾動的作用下，穩(wěn)態(tài)誤差正比于擾